旋轉(zhuǎn)幾何證明

1、巧用旋轉(zhuǎn)解題溫州市實驗中學(xué) 周利明傳統(tǒng)幾何中，有許多旋轉(zhuǎn)的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋轉(zhuǎn)的方法是幾何學(xué)習(xí)中必備的技巧，本文將介紹旋轉(zhuǎn)方法的幾種典型用法，與廣大讀者共同學(xué)習(xí)、交流。1 .利用旋轉(zhuǎn)求角度的大小例1 :在等腰直角中，/ 90° , P是內(nèi)一點，滿足,6、2、1 求/的度數(shù).分析：本題借助常規(guī)方法的入手是比較困難的，雖然三條線段的實長度是已知的，但是這三條線段不是三角形的三條邊長，因Ab 要得到角度的大小是不太容易的，因此我們可以借助旋轉(zhuǎn)來分析問題，因為，這就給我們利用旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造了條件，因此可以考慮將APC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)900 ,得BPC,連接PP，通過三角形的邊

2、與角的關(guān)系分別求得CPP和PPB，就可得到 BPC的大小。解：由已知，將 APC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)900，得BPC,連接PP ；由旋轉(zhuǎn)可知： PCB ACP , CP CP , AP BP ；0P CB PCB ACB 90 ,二 P CP是等腰 直 角三角 形，二 CPP CP P 45°且PP 、2 ,在 PPB 中，T PB2 PP 2222）26 （、一6）2 AP2 BP 2 ,二 PPB是直角三角形，且 P PB 90° ,二 BPC CPP P PB 45°90°135° .例2:如圖所示，正方形的邊長為1, P、Q分別為邊、上的點

3、，APQ 的周長為2，求PCQ的大小.分析：本題在已知三角形的周長和正方形的邊長的條件下求角度的大小是比較困難的，因為正方形的邊長,所以可以考慮將PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,易證E、D、Q三點共線，通過證明ECQ和PCQ全等即可求得 PCQ的大小. 將PBC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得EDC CBP900 ,ECDCE CP ；ECD DCQPCQ PCBPCB ,DCQ且 EDC CDA0180 , E、D Q三點共線，APQ的周長為2，即AQ APPQ 2 ,又/ AQ AP PB QD AB AD 2 , PQ PBDQ EDDQEQ ,CECP在ECQ和PCQ 中：EQPQ ,

4、 ECQPCQ ；CQCQ練習(xí)1：P為正方形內(nèi)一點，且123,求/的大小.2. 利用旋轉(zhuǎn)求線段的長度 例3：如圖，P是等邊內(nèi)一點，2，PB 2 3，4，求的長。分析：本題雖然和、同處一個三角形，但是要求其長還缺角邊三1A度，因此直接從已知條件入手是比較困難的，運用旋轉(zhuǎn)的方法，就可以是問題簡單化；因為本題的是等 角形，所以其三邊是相等的，因此聯(lián)想到將內(nèi)部的 某個三角形進行旋轉(zhuǎn)也是比較容易的；解： 是等邊三角形，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,則與重合，二 ABP EBC且，連接；0ABP CBP EBC CBP 60 ,二EBP是等邊三角形，二 EP PB 2、3在 ECP 中：EP2 EC

5、2（2、3）22216 CP2 ;0 CEP 90 ,-EC PC， EPC 300 ,20 BPC 90 ,二 BCPC2 PB2 . 42 (2.3)228 2 7 .例4:如圖，在梯形中，(>),/ 90°, 12,/ 45°,若10。求的長度。分析：仔細分析就會發(fā)現(xiàn)本題所給的條件不易D穴戸一尸直接求得的長度，還需要做一些變化，經(jīng)觀察!容易發(fā)現(xiàn)把把繞點 B順時針旋轉(zhuǎn)9C°；.”，可構(gòu)成一個正方形，然后通過三角形全等C就找出B邊之間的關(guān)系。解：把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得BGF，連接AG，易證AG F三點一線，且易知四邊形為正方形.練習(xí)2:如圖四

6、邊形中，/ / 90,其面積為16,求A到的距離.由旋轉(zhuǎn)可得：CBE GBF , BE BF ,ABE 45° ,ABFABGBE BFGBFABGCBE 450在ABE 禾口 ABF 中:ABEABF ,AB AB在ABEABF, AE AF10,設(shè)CEx，貝U AG 10x, AD DGAG 12(10x) 2 x ,DEDC CE 12 x ;在Rt ADE , AE2 AD2DE2 ,即 102(x 2)2(12x)2 ；x210x 240 ,解之得：花4,X26；的長為4或6.3. 利用旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系 例5 :如圖，在凸四邊形中，/ 30 ° , / 60

7、 ° ,求證:BD2 AB2 BC2 .分析：由本題的結(jié)論不難想到在直角三角形中應(yīng)用勾股定理可以證得含有平方關(guān)系的線段之間的關(guān)系，因此 我們就需要將結(jié)論中的這三條線段放到同一個直角三角形中,-B由于，所以可以考慮將 ADB繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)、°,一 一使和重合，這樣就可以得到 Rt BCE，然后通過證明EDBE是等邊三角形就可以得到結(jié)論中線段之間的關(guān)系.解：將ADB繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,使和重合，得DCE并連接EB ,由旋轉(zhuǎn)可得：ADBCDE , DCE DAB , DB DE ；0BDEBDCCDEBDCADE ADC 60 , DBE是等邊三角形，二

8、DB BE,DCBDCEDCBDAB270°BCE0 90 ,Rt BCE 中:BE2 CE2 BC2 ,22 亠2 _亠2 BDBECEBC .例6:如圖，在中，/90°,D、E在上，/ 45°,求證:2 2CD BEDE2分析：由本題的結(jié)論我們可以聯(lián)想到直角三角形中勾股定理的結(jié)論，因此我們就需要將結(jié)論中的三條線段放在同一個直角三我們不難想到將 ADC繞點A延順時針方向旋轉(zhuǎn).角形中，再由，這樣我們就將DC、BE放到了同一個三角形中，EDC同時我們也不難證明FBE 90° ,然后我們只要設(shè)法證明AFEAED，則結(jié)論可得.解：，將ADC繞點A延順時針方向旋

9、轉(zhuǎn)90 °得AFB ,連接EF ,由旋轉(zhuǎn)可得：FABCAD , FBA ACD45° ,FB DC , AFAD ；T EAD45°,二 BAECADBAE FAB FAE45° ,AF AD在 AFE 禾口 AED 中： EAD FAE，二 AFE AED ；AE AEEF ED ,FBE FBA ABC ACD ABC 90°FBE 是 Rt ,BF2 BE2 EF2 ED2 .練習(xí)3:如圖、，是正三角形，是頂角/=12°o的等腰三角形，以D為頂點作一個6°o角，角的兩邊分別交、邊于 M N兩點，連接.探究：線段、之間的

10、關(guān)系，并加以證明.4. 利用旋轉(zhuǎn)求面積的大小例7:如圖正方形中，AB .3，點E、F分別在、上，且/ 30 / 15°，求的面積.分析：本題由已知條件直接去求結(jié)論是比較困難的，IEF由于該題中含15°, 30°等特殊角度，因此通過 可構(gòu)作出45°角，構(gòu)造三角形全等，通過等積變形來解決 問題是比較容易的。解：將繞A點延順時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得厶，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AG AF , BAG FAD 150, ABG FDA 90° ,ABGABC 1800 ,點G B、E三點共線，又GAEGABBAE45(50 000 EAF90(1530

11、)45 ,AGAF在AFE和AGE 中:GAEFAE，二AFEAGEAEAEEF EG，又TAEFAEG600 ,RtABE 中:AB .3 ,/ 30°, BE1 ,在中，F(xiàn)EC 180°(60060'0)600 , EC BCBE , 31 , EF2EC2(、一 3 1),EF EG 2( ,3 1),11S AEG EG AB 2( 3 1)333 ,22S AEFS AEG例8：如圖A、B、C、D是圓周上的四個點，Ab Cd Ac Bd .且弦8,弦6,貝U圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少?分析：從已知條件直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知 條件Ab

12、Cd Ac Bd，容易發(fā)現(xiàn)Ab Cd正好是整個圓弧的一半， 因此通過將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)使點D與點B重合，就可以得到直角三角形，然后求陰影部分的面積就會很容易.解：由于Ab Cd Ac ?d，知Ab Cd的長正好是整個圓弧的 一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點 D與點B重合（如圖2）：則Abc 恰好為半圓弧，二為eO的直徑，/ 90°,二由勾股定理可求得AC 10,s陰影S半圓SRt ABC52 1 6 8 12.5224 .練習(xí)4:如圖是等腰直角三角形，D為的中點，2,扇形和分別 是以、為半徑的圓的丄，求陰影部分面積.4DE練習(xí)練習(xí)12:距離為4,練習(xí)2練習(xí)如圖通過旋轉(zhuǎn)變換得正方形.練習(xí)練習(xí)

13、3： MNNC BM ,把繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°得至U CDM ，易證DMNCDM .練習(xí)1)，將扇形和繞D點順時針旋轉(zhuǎn)180°.參考答案:練習(xí)1:1350，提示：如圖將 BPC逆時針旋轉(zhuǎn)900得AEB，連接PE，分別求得 APE和BPE .觀察巧旋轉(zhuǎn)妙解題沈岳夫旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運動中的重要變換，隨著課程改革的進一步深入，利用旋轉(zhuǎn)知識進行有關(guān)計算或證明的題目很多，尤其是題目中沒有涉及到旋轉(zhuǎn)等文字， 使不少學(xué)生在解答時無從著手， 找不到解題的途徑，但如果能根據(jù)題目特征加以觀察，通過旋轉(zhuǎn)， 找到解題的突破口，那么問題就簡單化了，現(xiàn)采擷部分試題加以 歸納，供參考。一.通過旋轉(zhuǎn)，解

14、答角度問題例1.如圖1, P是正三角形內(nèi)的一點，且 6, 8, 10。求/的 度數(shù)。圖1解析：先將部分已知條件集中到一個三角形中，再研究這個 三角形與所求的關(guān)系。將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后，得到，連接（如圖 2）, 則 10, 6,/ 60°。二是等邊三角形，6。在中，/ 90°60° +90° =150°圖2通過旋轉(zhuǎn)，計算線段長度問題例2.如圖3, P是正內(nèi)一點，2,PE=2朽,4，求的長。A解析：此題乍一看似乎無從著手，但只要運用旋轉(zhuǎn)的方法來 解題，就顯得十分容易。將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60° 則與重合（如圖4）,連 接。則

15、是正三角形，即.-,由 if- ': : ,|? -1 -故/ 90°,因為MC= - PC所以/ 30° 又因為/ 60°, 故/ 90°, 得H - J 丨'CBA圖4例3.如圖5,10。求的長度。/ 90°, 12,/ 45° ，若解析：經(jīng)觀察，把繞點 B順時針旋轉(zhuǎn)90°,可構(gòu)成一個正 方形，然后通過三角形全等，找出邊之間的關(guān)系。延長，把繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,與的延長線分別交于點 G,點M （如圖6）,易知四邊形為正方形。設(shè)，貝y 二t l-11 -:+ . I -在中，丄一一山r _ J

16、, 即一_! -一 + > -:廠：i所以的長為4或6。圖6三. 通過旋轉(zhuǎn)，巧算面積問題例4.如圖7,正方形中，點E、F分別在、上，且 / 30°,/ 15°,求的面積。圖7解析：由于該題中含15°, 30°等特殊角度，通過旋轉(zhuǎn), 可構(gòu)作出45°角，構(gòu)造三角形全等，通過等積變形而獲解。將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（如圖8）,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，/15°,故/ 15° +30° =45 °。./ 90°1- -:-r，卩又T.,/ 60°在中，一L -,/ 30

17、6;,貝V 1,在中 /2L.I T -.:即"八 :J' I圖8例5.如圖9, A B C D是圓周上的四個點，二LL亠+ _：L 且弦8，弦4，則圖中兩個弓形（陰影）的面積和是多少？（結(jié) 果保留三個有效數(shù)字）圖9解析：要直接求兩個弓形面積難度較大，抓住已知條件，運 用整體思維可簡易求得。由于，知長等于圓的周長的一半，將弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點D與點B重合（如圖10）,貝2恰好為半圓弧，此時為圓 o的直徑，從而/ 90°, 由勾股定理可求得，呂罔章=:半國-三淇""丫' x X 4 RS 15一4 故其面積和為15.4。S（D）圖10四.

18、通過分割、旋轉(zhuǎn)、拼接平行四邊形例6.如圖11,已知四邊形紙片，現(xiàn)需將該紙片剪成一個與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有兩條， 能否做到：（用“能”或“不能”填空），若填“能”，請確定裁 剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說明理由。解析：解此題的關(guān)鍵是把大四邊形分割成四個小四邊形，然 后通過分割旋轉(zhuǎn)達到目的，簡答如下：能，如圖12,取四邊形各邊的中點 E、G F、H,連接、，貝V、 為裁剪線，、將四邊形分成 1、2、3、4四個部分，拼接時，圖 中的1不動，將2、4分別繞點H F各旋轉(zhuǎn)180°, 3平移，拼 成的四邊形滿足條件（如圖13）。圖12圖13五. 通

19、過旋轉(zhuǎn)巧證三點一直線例7.已知，點P是正方形內(nèi)的一點，連接、。（1）將繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°到厶 的位置（如圖14） 設(shè)的長為a,的長為b （b<a）。求旋轉(zhuǎn)到厶的過程中邊所掃過區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。 若2, 4,2 135°,求的長。圖14（2）如圖15,若，請說明點P必在對角線上。解析：要說明點P必在對角線上（即點 A、點P、點C三點成 一直線）關(guān)鍵是弄懂第（1）小題的問題，實質(zhì)第（1 ）小題的解 答過程為第（2）問埋下伏筆，讓學(xué)生從中受到啟發(fā)，運用類比 方法就易解答該題，簡答如下：£陽需=_ ti 2）（1） i 4圖15如圖16,連接F二，將繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90°到-三的 位置，則。工，/廠:,為等腰直角三角形，二 6圖16(2)將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到厶 的位置(如圖17) 貝y，/，連接匚二，貝y。0PA3 + PC2 =2PB:PC1 + PC3 =2PBaPC3 + =時ZPCP- SO0ZBPC + ZBP'C-180°.ZAPB +ZBPC =1SO"即點P必在對角線上。圖17六. 通過旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系例8.如圖18, E是正方形的邊上