無窮積分收斂的概念

1、第-節(jié)瑚辦枷金一、無窮積分收斂與發(fā)散概念二、無窮積分與級數(shù)基本積分公式 基本積分公式(1) kdu = ku + C(2) juadu =a + 1(3) du = lnu +C J uU(4) audu =+ CJInai (6) J cos udu = sinu + Csinudu = -cosu + C(9)Ji (8) | sec wrfw = tanw + C esc2 udu = -cotw + C(10) j secw tsinudu = secw + C（呵cscwcotwJw = -cscw + C(12)Jdu= = sinu + C u2(13) - = arctanw

2、+ CJ 1 + u一、無窮積分收斂與發(fā)散概念1定義1設(shè)函數(shù)/（兀）在區(qū)間偽+8）（或 （-00,* ,（-00,+00）有定義，符號J°°/（x）rfx （或巳/（兀）必J二心冷）稱為函數(shù)/（兀）的無窮積分。定義2設(shè)X/pwR,p>a,函數(shù)f在p可積, 若極限 lim P/（x）rfxPT+8存在（不存在），則稱無窮積分J；°°/（x>Zx收斂（發(fā)散）,其極限稱為無窮積分的值)，即£hoo/(x)rfx= lim J： f(x)dxp>+oo定義3設(shè)PqwR,q<S函數(shù)f(x)在q,b可積，若極限存在(不存在)，則稱無

3、窮積分j'jMdx 收斂(發(fā)散)，其極限稱為無窮積分CfMdx（的值）,即（工加=Um ff（x）dx.gT-8 4定義4若3c e兩個無窮積分匚/（兀冷與J；°°/（x>Zx都收斂（至少有一不發(fā)散）， 則稱無窮積分J/（x）rfx收斂（發(fā)散），且芷:/（兀）必=匚/（兀冷+/（兀冷幾何意義：V注：若要考察/(X)S區(qū)間(-oo，+oo)的可積性 要驗證下面兩個極限lim p f(x)dx 與 lim Cf(x)dx 都存在.2.例題例1求下列無窮積分：+8丄x(lnx)dx.+°°xex2dx; J：仁-仏；覽例2求下列無窮積分：

4、7;+oo dx°°l + x2edx0°°l + xr+ooJodx 1 + X計算方法：若函數(shù)/（兀）在區(qū)間。，+8）存在原函數(shù)F(x),即Fx) = /(x),=lim f/(x)rfxp-»+8廠7（兀"兀=lim F(p)-F(a)PT+8= F(+oo)-F(«)3練習dx2兀2 + 2x +1f00dxx2(l + x)11 + x2arctanx >e 必;例3判別無窮積分ff (a > 0) 的斂散性.例4判別無窮積分+8 dxI圖尹的斂散性.二.無窮積分與級數(shù)t:/(兀冷，匕/(兀冷的斂散性都

5、可歸結(jié)為形如f；°°/(x)rfx的無窮積分.+8 dx x1f1n=inA1 2>1收斂收斂2<1發(fā)散發(fā)散于（乂皿收斂O定理1無窮積分對任意數(shù)列A,MwN,有人Wa,+oo),而 £ = a, lim An = +8,級數(shù)+1 f(x)dx收斂于同一數(shù)，且£hoo/(x)rfx =+i f(x)dx.證明必要性已知無窮積分收斂，即(兀冷=(兀冷un->oo uf(x)dx =+1 f(x)dx.充分性 已知對任意數(shù)列An,而£之,lim Atl = +死Too時，級數(shù)自腐 fx)dx 收斂于同一個數(shù)，即它的部分和數(shù)列f(x)dx收斂于同一個數(shù)。由海涅極限定理，無窮 積分仃。0于（兀）心收斂，且Jf/U)rfx = lim+1/(x)rfx*H>QO00 4= zCv(xwx k=l令 p(p) = J/(x)dx,證明 fa f