《用向量法求二面角的平面角》教案

1、第三講：立體幾何中的向量方法利用空間向量求二面角的平面角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，主要采取“形到形” 的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這種方法沒(méi)有一般規(guī)律可循， 對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)， 技巧性較強(qiáng)， 致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無(wú)策。高中新教材中， 向量知識(shí)的引入， 為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)有效的工具。 它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題， 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。 并且引入向量， 對(duì)于某些立體幾何問(wèn)題提供通法， 避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問(wèn)題， 因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度， 減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的

2、負(fù)擔(dān)， 體現(xiàn)了新課程理念。為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要， 需要研究用向量法解決立體幾何的各種問(wèn)題。 本文舉例說(shuō)明如何用向量法解決立體幾何的空間角問(wèn)題。 以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價(jià)值， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣， 從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對(duì)二面角的求法進(jìn)行總結(jié)。教學(xué)目標(biāo)1 使學(xué)生會(huì)求平面的法向量；2 .使學(xué)生學(xué)會(huì)求二面角的平面角的向量方法；3 . 使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題；4 . 使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高教學(xué)重點(diǎn)求平面的法向量

3、；求解二面角的平面角的向量法.教學(xué)難點(diǎn)求解二面角的平面角的向量法 教學(xué)過(guò)程I、復(fù)習(xí)回顧一、回顧相關(guān)公式:1、二面角的平面角：(范圍：0,)coscosni,n2coscosni,n2結(jié)論：或coscos ni, n2n1 n2ni n2統(tǒng)一為:2、法向量的方向： 一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角 3、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題;向量運(yùn)算）（

4、3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）n、典例分析與練習(xí)例1、如圖，ABCD是一直角梯形， ABC 90 , SA面 ABCD , SA AB BC 1 , AD求面SCD與面SBA所成二面角的余弦值.分析 分別以BA,AD, AS所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 SCD的法向量n1平面SBA法向量n2,利用ni,n2夾角求平面SCD與平面SBA的夾角余弦值。解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz ,則1 A(01010),C( 1110)1D(0,-10)1S(01011)易知面SBA的法向量為n1-1AD (0,-,0)1（1，2，0），SD1(0，2

5、, 1)設(shè)面SCD的法向量為n2(x, y,z)則有x 1, y 2n21(1,-,1)cos n1, n2ni n2|ni Ill |-63又ni方向朝面內(nèi)，出方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角即所求二面角的余弦值為會(huì)3點(diǎn)撥 求二面角的方法有兩種：（1）利用向量的加法及數(shù)量積公式求出與兩半平面的棱垂直的向量的夾角，從而確定二面角的大??；（2）根據(jù)幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系，先求二面角兩個(gè)半平面 的法向量，再求法向量的夾角，從而確定二面角的大小。練習(xí)1：正方體ABCD ABiCiDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、F分別為CD、DD F AE D的余弦值?！?什111設(shè)平面AEF的

6、法向量為n(x,y,z)，則n AF1y 2z1（嚴(yán)）n AE2,1,2)又平面AED的法向量為AA1(0,Q1)cos n , AA1n AA1|n| AA1 |觀察圖形知，二面角 FAED為銳角,所以所求二面角一2AE D的余弦值為一3練習(xí)2:如圖，三棱柱中，已知A BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,四邊形AAB B 是矩形,解：由題意知，F(xiàn)(0,1,-), E(-,1,0),則 AF (0,1,-) , AE平面AA B B 平面ABCD。試問(wèn)：當(dāng)AA的長(zhǎng)度為多少時(shí),面角 D ACA的大小為60 ?解：如圖建立空間坐標(biāo)系 ADA1,0,a) DC (0,1,0)'_ . 一設(shè)面DAC的法

7、向量為R （x,y,1）DA n1 0 o , 八八 則 1 得 n1 (a,0,1)DC小 0易得面AAC的法向量n2(1,1,0)向量n,5的夾角為60由 cos n，n2In II% I也可借此機(jī)會(huì)說(shuō)明為什么這兩個(gè)角相等或當(dāng)AA = 1時(shí)，二面角 D A C A的大小為60 . 設(shè)計(jì)說(shuō)明：復(fù)習(xí)面面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角的方法, 互補(bǔ)，就沒(méi)有其他情況.練習(xí)3：正三棱柱ABC AB1G的所有棱長(zhǎng)均為2 , P是側(cè)棱AA上任意一點(diǎn).當(dāng)BGBiP時(shí)，求二面角C BF Ci的平面角的余弦值.解：如圖建立空間坐標(biāo)系 O xyz ,設(shè)AP a則 A,C,Bi，P 的坐標(biāo)分別為(0, 1,0),(

8、0,1,0),(73,0,2)(0,忑,BC；( 后,2)由 BC1 B1P,得 BC；bP 0即 2 2(a 2) 0 a 1又 BCiBiCBCi 面CBiPBCi ( J3,1,2)是面CBiP的法向量(1,v 3, 2 3),工6I 7BiP n 0 一 設(shè)面GBP的法向量為n (i,y,z),由得nB1c1n 0 BC1*n設(shè)二面角C B1P C1的大小為，則cos1|BCi|n出、小結(jié)與收獲n1 n2 cos cos n1 ,n21、二面角的平面角的正弦值弦值：ni n22、求平面法向量的方法IV、課后練習(xí)BCD 90 ,1、如圖，已知四棱錐P ABCD的底面是直角梯形，ABCAB

9、 BC PB PC 2CD，側(cè)面 PBC 底面 ABCD .求二面角P BD C的大小.2、如圖,已知正三棱柱 ABC- ABC的各棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)D是BC上一星點(diǎn),AD，CiD. 求二面角 C- AG- D的大小.第一講：立體幾何中的向量方法利用空間向量求異面直線所成的角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，主要采取“形到形” 的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這 種方法沒(méi)有一般規(guī)律可循， 對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)， 技巧性較強(qiáng)，致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無(wú)策。高中新教材中，向量知識(shí)的引入，為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題

10、提供了一個(gè)有效的工具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且引入向量，對(duì)于某些立體幾何問(wèn)題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問(wèn)題，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)， 體現(xiàn)了新課程理念。為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要， 需要研究用向量法解決立體幾何的各種問(wèn)題。 本文舉例說(shuō)明如何 用向量法解決立體幾何的空間角問(wèn)題。 以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價(jià)值， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣， 從而達(dá)到 提高學(xué)生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，方便快捷。空間角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對(duì)線線角的求法進(jìn)行總結(jié)。 教學(xué)目標(biāo)

11、1 .使學(xué)生學(xué)會(huì)求異面直線所成的角的向量方法；2 .使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題;3 .使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高 教學(xué)重點(diǎn)求解異面直線所成的角的向量法 教學(xué)難點(diǎn)求解異面直線所成的角的向量法 教學(xué)過(guò)程I、復(fù)習(xí)回顧、回顧有關(guān)知識(shí): 1、兩異直線所成的角：(范圍:(1 )定義：過(guò)空間任意一點(diǎn) o分別作異面直線a與b的平行線a '與b ',那么直線a'所成的銳角或直角，叫做異面直線 a與b所成的角.(2)用向量法求異面直線所成角，設(shè)兩異面直線a、b的方向向量分別為a和b ,aOb問(wèn)題1：當(dāng)a與b的夾角不大于90°時(shí)，異面直線a、

12、b所成的角與a和b的夾角的關(guān)系?a,b問(wèn)題2： a與b的夾角大于90 °時(shí),異面直線a、b所成的角與a和b的夾角的關(guān)系?a,ba,b結(jié)論：異面直線a、b所成的角的余弦值為cosI a b| | cos a, b |a|b|兩向量數(shù)量積的定義：a b | a |b | cosa b兩向量夾角公式：cos a,b一|a|b|2、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾 何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(化為向量問(wèn)題)(進(jìn)行(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題;向量運(yùn)算)(

13、3)把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。(回到圖形)n、典例分析與練習(xí) 思考：在正方體ABCD AiBiCiDi中，若Ei與Fi分別為ABi、C1D1的四等分點(diǎn)，求異面直線 DFi與BEi的夾角余弦值?(i)方法總結(jié)：幾何法；向量法(2)cos DFi,BEi 與 cos DFi, Ei B 相等嗎?(3)空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)別?31寸嗎a,0),B(0,a,、.2a)1a,-a, 2a)例1如圖，正三棱柱 ABC AB1G的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為J2a,求AC1和CB1所成的角分析：建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量與向量的夾角問(wèn)題。步驟：1.寫(xiě)出異面直線的方向向量的坐標(biāo)

14、。2.利用空間兩個(gè)向量的夾角公式求出夾角。解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz：:31_則 A(0,0,0),C1( jaga, .2a),C( 一3 1一AC1( 223a,2a*2a), CB1即 cos AC1,CB1AC1 CB1IAC1IICB1 |3 2 a2 13a22AG和CB1所成的角為一3總結(jié)：(1) cos DFi,BEi 與 cos DFi,EB 相等嗎?(2)空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)另1J?點(diǎn)撥 求異面直線所成的角可利用空間向量表示直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為向量所成的角。兩異面直線所成角的范圍是0,2 ,兩向量的夾角的范圍是0,。當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為

15、銳角或直角時(shí)，就是該異面直線的夾角； 當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是異面直線的夾角。練習(xí)1:在RtAOB中，ZAOB=90 現(xiàn)將4AOB沿著平面AOB的法向量方向平移到 A1O1B1的位置,已知OA=OB=OO 1,取A1B1、A1O1的中點(diǎn)D1、F1,求異面直線 BD1與AF1所成的角的余弦值。解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,并設(shè) OA 1,則 A(1,0,0) , B(0,1,0)1，F(xiàn)1(21,0,1)12，1)AF1( 2,0,1) ,BD1(萬(wàn),12,1)cos AF1,BD1AF1 BD1| AF1 | BD1 |,3010所以，異面直線 BD?與AF?所成的角的余弦值為 烏10練習(xí)2：在正方體 ABCD A?B?C?D?中，M是AB的中點(diǎn)，求對(duì)角線 DB?與CM所成角