實(shí)用文庫匯編之證明三點(diǎn)共線問題的方法

1、*實(shí)用文庫匯編之證明三點(diǎn)共線問題的方法*1、利用梅涅勞斯定理的逆定理=1.例1、如圖1.圓內(nèi)接A ABC為不等邊三角形，過點(diǎn)A. B、C分別作圓的切線依次交直線BC.CA、AB于C1 ,求證：燈、BX 0三點(diǎn)共線。AC S解:iBC = a,CA = b.AB = c,易知一=亠乞C'B S*又易證 A4C*C - CCXB .PIiJ= ( =1.同理竽=2卑A'C b2 BlAAC1 BA1 CB1 _b2 c2 a2A*CV?S、CC'B v CB y cr由梅涅勞斯泄理的逆泄理，知A'、丹、O三點(diǎn)共線。2、利用四點(diǎn)共圓（在圓內(nèi)，主要由角相等或互補(bǔ)得到共線

2、）例2、如圖，以銳角 ABC的一邊BC為直徑作00,過點(diǎn)A作0O的兩條切線，切點(diǎn)為M、 N,點(diǎn)H是A ABC的垂心求證：M、H、N三點(diǎn)共線。（96中I 證明：射線AH交BC于D,顯然AD為高。記AB與0O的交點(diǎn)為E,易知C、H、E三點(diǎn)共線。聯(lián)結(jié) 0M、ON、DM、DN、MH. NH,易知 ZAMO = ZANO = ZADO = 90° ,A、21、0、D、N五點(diǎn)共圓，更有A、M、D、N四點(diǎn)共圓，此時(shí)，ZAMD+ZAAD = 180°因?yàn)?AM2=AEAB = AHAD （B、D、H、E 四點(diǎn)共圓），即 =:又 AMAH=ADAM、所以故 ZAHM = ZAMDAH AM同

3、理，ZAHN = ZAND.因?yàn)?ZAHM + ZAHN = ZAMD + ZAND = 180°,所以，M、H、N 三點(diǎn)共線。3、利用面積法如果點(diǎn)E、F位于直線MN的異側(cè)，則直線MN平分線段EF,即M、N與 SEMN AFM/VEF的中點(diǎn)三點(diǎn)共線。AM AD例3、如圖，延長凸四邊形ABCD的邊AB、DC交于點(diǎn)E,延長邊AD> BC交于點(diǎn)F,又M. N、L分別是AC、BD、EF的中點(diǎn)，求證：M、N、L三點(diǎn)共線。AB證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為O,輔助線如圖所示, 由 OM / AE, ON / DE 可知，點(diǎn)0必在內(nèi)，此時(shí)，$A£MN 叫 OMN SSOME 仝 'O

4、NE=S 4MN + SggB + SgNC =+ S 乂 CN=(Sab.MD + SBCD ) = ( SaMC + S4MC ) = 3 (SmBC + Smpc )=二 S四邊險(xiǎn) 同理» Spmn = S四邊形啟。因此也/廠S列"此時(shí)，直線MN平分EF,即W N、L三點(diǎn)共線。注：利用梅涅勞斯宦理的逆左理也可證明此題。4、利用同一法盡管同一法是一種間接證法，但它卻是一各很有用的證法，觀察例4后，你會(huì)感到，同一 法在證明三點(diǎn)共線問題時(shí)，也有其用武之地。例4、如圖4(a),凸四邊形ABCD的四邊皆與00相切切點(diǎn)分別為P. M、Q. N,設(shè)PQ與S'CCQMN交于S

5、,證明：A、S. C三點(diǎn)共線。 證明：如圖4(b),令PQ與AC交于S', 戈 易證厶PS'與ZCgS7互補(bǔ)。而AAsyesa貝IAS' _ sin ZAPS' _ sin ZCQS1 AP sin ZASfP sin ACS'Q故籌=嘗再令E與AC交于代同理可得籌需, AP AM1s=CQ CNA Cz A W'所以兀-五。利用合比性質(zhì)得,AS' _ AS"7c "7c因此，AS，=qs，可斷定S'與S必重合于點(diǎn)S,故A、s、c三點(diǎn)共線。注：觀察本題圖形，顯然還可證得氏S、D三點(diǎn)共線；換言之，AC、BD. P

6、Q. MN四線共點(diǎn)。5. 利用位似形的性質(zhì)如果AA3C與MBC是兩個(gè)位似三角形，點(diǎn)0為位似中心，那么不僅A、戶、O： B、B、0： C. C 0分別三點(diǎn)共線，而且AABC. A/V3C的兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心0也三 點(diǎn)共線，位似形的這種性質(zhì)，對(duì)于證明三點(diǎn)共線，頗為有用。例5、如圖,AA3C內(nèi)部的三個(gè)等圓OO3兩兩相交且都經(jīng)過點(diǎn)匕 英中每兩個(gè)圓證明：聯(lián)結(jié)OO2. OQ。宀由已知得C0OQJ AB、OgBC、OQJCA。可斷左AABC與gO。是一對(duì)位似三角形,且易知A4BC的內(nèi)心I是兩者的位似中心'因?yàn)?0 000為等圓,°3即 POX=PO2=PO都與AA3C的一邊相切，已知0、

7、I分別是口慶？的外心、內(nèi)心，證明：I、P. 0三點(diǎn)共線。 A所以點(diǎn)戸是4O.O.O.的外心。又點(diǎn)O是A4BC的外心，故P、O兩點(diǎn)是兩個(gè)位似三角形的對(duì) 應(yīng)點(diǎn)，利用位似形的性質(zhì)即得I. P、O三點(diǎn)共線。6、利用反證法有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達(dá)到預(yù)期目的*例6、如圖，梯形ABCD中、DC/AB,對(duì)形內(nèi)的三點(diǎn)人、P“如果到四邊距離之和皆相DC等，那么，R、P-出三點(diǎn)共線，試證之。證明：先看A、E兩點(diǎn)，設(shè)直線分別交AD、BC于M、N,斥厶丄3C于&,只艮丄BC于E-AR斤丄AD于斥，£巧丄AD于竹。因?yàn)镈C/AB,則點(diǎn)人到AB、CD的距離之和等于點(diǎn)出到AB、CD的

8、距離之和。由已知可得P+P=P2E2+P2F2.過點(diǎn)A作AD的平行線、過點(diǎn)A作BC的平行線得交點(diǎn)P （由于 AD與BC不平行）。記RP交£耳于G,馬P交于H。觀察上式有斥厶一£耳=人場一呂斥。所以，RH = P2 °因?yàn)橛袃蓷l高RH = RG ,所以，APR巴是等腰三角形，則ZPRR = 牛片° 故乙DMN = ZPRP=乙PP?R = ZCNM。再用反證法證明點(diǎn)R左在AA上：假設(shè)點(diǎn)R不在上，聯(lián)結(jié)并延長分別交AD、BC 于M'、AT,易知點(diǎn)M'、在MN的異側(cè)：因?yàn)辄c(diǎn)片到AD、BC的距離之和等于點(diǎn)鬥到AD、 BC的距離之和，由上述證明過程知

9、必有ZDM' =ZCN,M, o事實(shí)上，觀察圖形只能得到ZDM，2 > ZDMN = ZCNM >乙CNM ,矛盾，這說明點(diǎn)R必 在上，即MN上，因此R、P2. R三點(diǎn)共線。7、用塞瓦定量的逆定理變?nèi)c(diǎn)共線為三線共點(diǎn)，利用塞瓦泄理的逆左理，在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDEF中，若AB CD EF = BC DE FA,則AD、BE、CF三線共點(diǎn)：反之亦然，利用這個(gè)結(jié)果來證明某 些三點(diǎn)共線問題，可立竿見影。例7.如圖7,凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AD、BC交于點(diǎn)P,作PE、PF切圓于E、F,又AC與BD交于K,證明：E> K、F三點(diǎn)共線。解：聯(lián)結(jié)AE、ED、CF、FB得凸

10、六邊形ABFCDE。欲證E、K、F三點(diǎn)共線，即AC、BD、EF三線共點(diǎn)， 只須證 ABFCDE = BFCDEA°注意到 WAB APCD, APFC AP3F, APDE APEA .又 PE=PF,=PAFC = PCDE = PECD PC BF PF EA PAH1I AB FC DE PA PC PE tCD BF EA PC PF PA故 AB FC DE = BFCD EA. 因此，AC、BD、EF三線共點(diǎn)，即E、K、F三點(diǎn)共線。練習(xí)題1、在AABC中，AB>BC>CA,它的內(nèi)切圓切BC、CA、AB于D、E、F。設(shè)FE與BC交 于A, FD與AC交于8，DE與BA交于C求證：B、C，三點(diǎn)共線。（提示：方法1）2、證明：圓外切凸四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)及圓心三點(diǎn)共線。（提示：利用面積法）3. 凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AC與BD交于P,過點(diǎn)A、D分別作BD、AC的垂線交于點(diǎn)K, 過AB、CD的中點(diǎn)分別作BD、AC的垂線交于點(diǎn)L.證明：P、K、L三點(diǎn)共線。（提示：設(shè)第一組垂線的垂足為M、N,第二組垂線的垂足為X、Y,尋證MN/XY,得出MMN 與SLXY位似。）4、圖8,凸四邊形ABCD的ZA + Z3 = 120°,以AC. BD、CD為一邊分別作三個(gè)正三角形:AACP. MQD、SCDR.證明