淺談函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用

1、 . . . 學 號 2009211336分類號242本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）題目：淺談函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用院 （系） 數(shù)學與統(tǒng)計系專 業(yè) 班 級 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學2009級2班學 生 姓 名 雒 興指導(dǎo)教師（職稱）王彥海（副教授） 提 交 時 間 二一三 年 五 月16 / 23學院學位論文獨創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的學位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進行的研究工作與取得的研究成果.盡我所知，除文中已經(jīng)注明引用的容外，論文中不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得學院或其他教育機構(gòu)的學位或證書而使用過的材料.對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示意. 作者簽名

2、： 日期： 學院學位論文使用授權(quán)聲明本人同意在校攻讀學位期間論文工作的知識產(chǎn)權(quán)單位屬學院.本人保證畢業(yè)離校后，發(fā)表本論文或使用本論文成果時署位仍為學院.學校有權(quán)保留學位論文并向國家主管部門或其他指定機構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版；有權(quán)將學位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進入學校圖書館、院系資料室被查閱；有權(quán)將學位論文的容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索；有權(quán)將學位論文的標題和摘要匯編出版. 作者簽名： 日期： 淺談函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用雒 興（學院數(shù)學與統(tǒng)計系，725000）摘 要函數(shù)模型是數(shù)學模型重要的組成部分之一。（Mathematical Model）這個名詞早就為科學界

3、、工程界，甚至經(jīng)濟學界所熟知，因為他們就是用這種方法來研究他們要處理解決的問題的。今天人類社會正處在由工業(yè)化向信息化社會的過渡的變革。以數(shù)字化為特征的信息社會有兩個顯著特點：隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展與廣泛應(yīng)用；數(shù)學的應(yīng)用向一切領(lǐng)域滲透。隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，科學計算的作用越來越引起人們的廣發(fā)重視，它已經(jīng)與科學理論和科學實驗并列成為人們探索和研究自然界、人類社會的三大基本方法。為了適應(yīng)這種社會的變革建立數(shù)學模型就應(yīng)運而生并且成為了一門學科。數(shù)學建模時對現(xiàn)實世界的特定對象，為了特定的目的，根據(jù)特有的在規(guī)律對其進行必要的抽象、歸納、假設(shè)和簡化，運用適當?shù)臄?shù)學工具建立的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。而在這門學科中

4、函數(shù)是最重要的工具性知識之一，其涉與的容十分廣泛。在生產(chǎn)、生活實際中，有大量的實際問題必須依賴函數(shù)的模型加以解決，比如經(jīng)濟中的利潤最值問題，生物的細胞分裂文圖，測量問題等等。關(guān)鍵詞 數(shù)學模型 函數(shù)模型 人口模型Shallowly discuss function model in the application of lifeLuo Xing（Department of mathematics and statistics, Ankang University, Shaanxi Ankang, 725000)AbstractFunction model is one of the import

5、ant component of the mathematical model. (Mathematical Model) The term early to science, engineering and economics, because they are to study in this way they have to deal with problems. Today's human society is in transition from industrialization to informatization society change.Characterized

6、 by digitalization of the information society, there are two significant features, with the rapid development of computer technology and widely used. Application of mathematics permeates all areas. With the rapid development of computer technology, the role of scientific computing has become more an

7、d more aroused people's wide hair negotiable. It is in company with scientific theories and scientific experiments ,which makes people explore and research the nature of the three basic methods of human society.In order to adapt to this change of the society to establish a mathematical model,it

8、is become a subject.Mathematical modeling as the specific objects in the real world, for a specific purpose, according to the characteristic of the inherent law of necessary abstract, induction and hypothesis and simplified, using appropriate mathematical tools to establish a mathematical structure.

9、And in the subject function is one of the most important instrumental knowledge, its content is very extensive.In actual production and life, there are a large number of practical problems must be resolved depend on the function of the model, such as the profit the most value problems in economic, b

10、iological cell division diagram, measurement problems and so on.Key words Mathematical models Functional model The population model目 錄摘 要IAbstract.II前 言1正 文21.如何建立函數(shù)模型22. 常見函數(shù)幾類主要的模型32.1 線性函數(shù)32.2 非線性函數(shù)43.幾種常見函數(shù)模型案例83.1 油耗與里程83.2 除雪問題103.3 利潤最大化問題113.4 整數(shù)規(guī)劃模型13結(jié)束語13參考文獻15致 16前 言 數(shù)學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數(shù)字的

11、時代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學模型，以解決各種各樣的實際問題。對于廣大的科學技術(shù)工作者對大學生的綜合素質(zhì)測評,對教師的工作業(yè)績的評定以與諸如訪友，采購等日?；顒樱伎梢越⒁粋€數(shù)學模型，確立一個最佳方案。建立數(shù)學模型是溝通擺在面前的實際問題與數(shù)學工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。 在利用數(shù)學方法分析和解決實際問題時，要求從實際錯綜復(fù)雜的關(guān)系中找出其在的規(guī)律，然后用數(shù)學的語言-即數(shù)字、公式、圖表、符號等刻畫和描述出來，然后經(jīng)過數(shù)學與計算機的處理-即計算、迭代等得到定量的結(jié)果，供人們進行分析、預(yù)報、決策和控制，這種把實際問題進行合理的簡化假設(shè)歸結(jié)為數(shù)學問題并求解的過程就是建立數(shù)學模型

12、，簡稱建模。而這種成功的方法和技術(shù)反映在培養(yǎng)專門人才的大學教學活動中，就是數(shù)學建模教學和競賽。數(shù)學建模簡而言之就是應(yīng)用數(shù)學模型來解決各種實際問題的過程，也就是通過對實際問題的抽象、簡化、確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些規(guī)律建立變量與參數(shù)間的關(guān)系的數(shù)學問題(或稱一個數(shù)學模型)，再借用計算機求解該數(shù)學問題，并解釋、檢驗、評價所得的解，從而確定能否將其用于解決實際問題的多次循環(huán)、不斷深化的過程。 正 文1.如何建立函數(shù)模型 建立函數(shù)模型的步驟大體可以歸納以下幾點： 1.對某個實際問題進行分析以與觀察（重點是抓住主要方面）； 2.作出合理的假設(shè)也就是對實際問題進行抽象、簡化（往往是很不容易的）； 3.確定要

13、建立函數(shù)模型中的變量以與參數(shù)； 4.根據(jù)某種定律（通常是已知的各學科中的規(guī)律，也可能是經(jīng)驗的規(guī)律），建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學關(guān)系（明確的數(shù)學問題或在這個層次上的一個數(shù)學模型），這是一個非常具有難度和挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題； 5.解析或盡可能近似地求解該數(shù)學問題，這往往涉與復(fù)雜的數(shù)學理論和方法，其中包括近似方法和算法； 6.計算結(jié)果能否展示、解釋甚至預(yù)測實際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，或用某種方法（例如，歷史數(shù)據(jù)、實驗數(shù)據(jù)或現(xiàn)場測試等）來驗證模型是否正確； 7.如果第6步的結(jié)果是成立的，那么就可以付之試用；如果是不成立的，那就要回到第16步進行仔細分析，重復(fù)上述建立的過程。 因此，數(shù)學建模用框圖表示如下：通過

14、不通過解釋、驗證解析或“近似”地求解該數(shù)學問題（數(shù)學模型）利用某種“定律”建立變量和參數(shù)間的確定的關(guān)系（數(shù)學問題，這個層次上的一個數(shù)學模型）觀察、分析實際問題抽象、簡化，確定變量和參數(shù)可應(yīng)用該數(shù)學模型2. 常見函數(shù)幾類主要的模型2.1 線性函數(shù)2.1.1.一次函數(shù)（線性函數(shù)）定義：在某一個變化過程中，設(shè)有兩個變量和，如果可以寫成(為常數(shù)，叫做定量)，那么我們就說是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量。 在人們的生活實踐中，通常會遇到怎么利用現(xiàn)有資源來計劃生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟效益的問題。此類問題構(gòu)成了運籌學的一個重要分支數(shù)學規(guī)劃，而線性規(guī)劃(LinearProgramming 簡記LP)則是數(shù)學規(guī)劃的

15、一個重要分支。自從1947 年G. B. Dantzig 提出求解線性規(guī)劃的單純形方法以來，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實用中日益廣泛與深入。特別是在計算機能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了，已成為現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一。 2.1.2 線性規(guī)劃的實例與定義 例1 某機床廠生產(chǎn)甲、乙兩種機床，每臺銷售后的利潤分別為5000 元與4000 元。生產(chǎn)甲機床需用 A、B機器加工，加工時間分別為每臺 2 小時和 1 小時；生產(chǎn)乙機床需用 A、B、C三種機器加工，加工時間為每臺各一小時。若每天可用于加工的機器時間分別為A 機器10 小時、B 機器8

16、 小時和C 機器7 小時，問該廠應(yīng)生產(chǎn)甲、乙機床各幾臺時，才能使獲得總利潤最大？ 上述問題的數(shù)學模型：設(shè)該廠生產(chǎn)臺甲機床和乙機床時總利潤最大，則 ，應(yīng)滿足（目標函數(shù)） max z =5000+ 4000(1) (2) 這里變量 ,稱之為決策變量，（1）式被稱為目標函數(shù)，（2）中的幾個不等式是約束條件，記為s.t.(即subject to)。由于上面的目標函數(shù)以與其約束條件均為線性函數(shù)，所以被稱為線性規(guī)劃問題。 總之，線性規(guī)劃問題是在一組線性約束條件的限制下，求一線性目標函數(shù)最大或者最小值的問題。在解決實際生活中的問題時，要把問題歸結(jié)成一個線性規(guī)劃數(shù)學模型是特別重要的一步，但往往也是比較困難的一

17、步，模型建立得是否恰當，將直接影響到求解。而選適當?shù)臎Q策變量，是我們建立有效模型的關(guān)鍵之一。 由此我們可以得到一般線性規(guī)劃的數(shù)學標準型為：其中,=1,2.2.2 非線性函數(shù) 在實際的生活中我們通常會遇到類似這樣的問題：某企業(yè)有個工程可供選擇投資，并且至少要對其中一個工程投資。已知該企業(yè)擁有總資金為元，投資于第個工程需金元，預(yù)計可收益元。試選擇一個最佳的投資方案。像上面的問題如果目標函數(shù)或約束條件中包含非線性函數(shù)，就稱這種規(guī)劃問題為非線性規(guī)問題。一般的，解非線性要比解線性規(guī)劃問題復(fù)雜得多。而且，也不象線性規(guī)劃有單純形法這一較為通用方法，非線性規(guī)劃目前還沒有一種適于各種問題的一般算法，各個方法都有

18、其特定的適用圍。 上面的問題解答： 設(shè)投資決策變量為則投資總額為，投資總收益。因為該公司至少要對一個工程投資，并且總的投資金額不能超過總資金，故其限制條件應(yīng)為,另外，由于(=)只能取0或1，所以還有=0，=1，.最佳投資方案應(yīng)是以最少的投資從而獲得總最大的收益方案，所以這個最佳投資決策問題歸結(jié)為極大化總收益和總投資之比，在總資金以與決策變量(取0或取1)的限制條件下。因此，其數(shù)學模型為，上面例題是在一組等式或不等式的約束下，求一個函數(shù)的最大值（或最小值）問題，其中至少有一個非線性函數(shù)，這類問題稱之為非線性規(guī)劃問題?？筛爬橐话阈问剑浩渲校?,為上述模型的決策變量，成為目標函數(shù)，(=1,p)和(

19、=1,q)成為約束函數(shù)。另外(=1,p)成(=1,q)稱為不等式的約束。對于一個實際問題，在把它歸結(jié)成非線性規(guī)劃問題時，一般要注意如下幾點：(1)確定供選方案：首先要收集同問題有關(guān)的資料以與數(shù)據(jù)，在全面熟悉問題的基礎(chǔ)上，再確問題的可供選擇的方案是認什么，并用一組變量來表示它們。(2)提出追求目標：經(jīng)過分析資料，根據(jù)實際需要和可能，提出要追求極小化或極大化的目標。并且利用各種科學和技術(shù)原理或規(guī)律，把它表示成與數(shù)學相關(guān)的關(guān)系式。 (3)給出價值標準：在提出要追求的目標之后，要確立所考慮目標的“好”或“不好”的判斷標準，并用某種數(shù)量關(guān)系形式來判定它。 (4)尋求限制條件：由于所追求的目標通常都要在一

20、定條件下取得極小化或極大化目的，因此還需要尋找出問題的所有約束條件，這些條件通常用變量之間的一些等式或不等式來表示。 2.2.1二次函數(shù)模型目標函數(shù)：其中為常數(shù)。限制條件：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，具有對稱性，并且這一函數(shù)在實數(shù)域上的單調(diào)性是有增有減的。運用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決實際問題，是比較常見的問題之一，例如求銷售利潤的最值問題、幾何圖形變換中建立函數(shù)關(guān)系式的問題、以拋物線形為基礎(chǔ)的實際問題都需要在實際的情景中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無關(guān)的因素，建立數(shù)學模型。有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用問題按照是否需要建立平面直角坐標系可以分為兩類，一類不需要建立平面直角坐標系，這類題目關(guān)鍵是要

21、求出二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式分為頂點式，一般式和交點式，要根據(jù)實際問題所給的條件選擇合適的解析式，接著只需運用二次函數(shù)的主要性質(zhì) ,如單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等，必要時結(jié)合二次函數(shù)圖形求解出函數(shù)模型。另一類就是必須建立平面直角坐標系。這類題呈現(xiàn)的方式主要是以拋物線為基礎(chǔ)的實際問題，如拱橋問題，首先要將拱橋抽象為拋物線，然后結(jié)合實際問題中的條件，建立坐標系求出拋物線的解析式。平面直角坐標系選擇的一般原則是使得出的二次函數(shù)的解析式最簡單，因此要學會巧妙地選擇直角坐標系的位置。綜上可知不管是哪類二次函數(shù)模型題最終都是通過二次函數(shù)解析式來解決問題的。2.2.2 三角函數(shù)模型能夠用三角函數(shù)

22、表達的數(shù)學模型即三角函數(shù)模型。比如正弦函數(shù)的解析式可表示為，其余五個三角函數(shù)的解析式與正弦函數(shù)類似。三角函數(shù)最顯著的性質(zhì)就是周期性和對稱性，因此三角函數(shù)模型通常是用來描述客觀世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學模型。在數(shù)學和其他學科領(lǐng)域中，三角函數(shù)模型具有非常廣泛的應(yīng)用,它是高中數(shù)學乃至高等數(shù)學的重要基礎(chǔ)知識之一。將實際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，常見的形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫出三角函數(shù)的圖像以與利用函數(shù)的性質(zhì)進行解題。這類題型常常與航海、測量角度、擺動、振動等問題聯(lián)系在一起，也會涉與一些幾何圖形，題中常會出現(xiàn)坡度、仰角、俯角、視角、方向角和方位角等術(shù)語。解三角函數(shù)模型常出現(xiàn)的情形是：實

23、際問題抽象后，已知量與未知量集中在一個、兩個甚至幾個三角形中，再使用正弦定理、余弦定理或三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)如周期性、最值、單調(diào)性、對稱性等解題。為了解題方便，應(yīng)盡量將已知或未知量集中在一個三角形中，而且通常設(shè)角為變量，之后再建立解三角形的數(shù)學模型。當然三角函數(shù)模型并不是只局限于以角為自變量，生活中許多實際問題中的事物之間也存在三角函數(shù)關(guān)系，這時就需要利用三角函數(shù)模型才能得以解決。 2.2.3 指數(shù)和對數(shù)函數(shù)模型在數(shù)學中指數(shù)函數(shù)模型是指一類能用指數(shù)函數(shù)表達的數(shù)學模型，形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。類似地，對數(shù)函數(shù)模型：指能用對數(shù)函數(shù)表達的函數(shù)模型，形如的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函

24、數(shù)，在這里不妨將兩者放在一起討論。考慮底數(shù)時的情況：指數(shù)函數(shù)增長的特點是隨著自變量的增大函數(shù)值增大的速度越來越快，而對數(shù)函數(shù)增長的特點恰恰相反，它隨著自變量的增大，函數(shù)值增加的速度越來越小6。對應(yīng)地，當時，也可以得出相似的結(jié)論，只不過此時兩個函數(shù)都是單調(diào)遞減的。在一定程度上指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是具有相似性的，但是相似之中又存在某些差異，致使二者在實際問題中的應(yīng)用也有所區(qū)別。由于指數(shù)函數(shù)這種爆炸性增長方式的特點，使得指數(shù)函數(shù)模型多適用于細胞分裂、人口增長、銀行利潤增長、銀行儲蓄等經(jīng)濟生活和社會生活問題中。而對數(shù)函數(shù)的增長方式常被形象地稱為能量漸失，因此在價格與利潤，收入與成本、人口等生產(chǎn)、生活與航

25、天等領(lǐng)域?qū)?shù)函數(shù)模型有著比較廣泛的應(yīng)用。有關(guān)這兩個函數(shù)模型構(gòu)造的應(yīng)用題中，題型一般可以分為給定函數(shù)模型和不給定函數(shù)模型這兩類。如果是給定函數(shù)模型的題目難度一般不是很大，只需能夠應(yīng)用這兩種函數(shù)的性質(zhì)，套用相關(guān)公式，對問題進行定量分析就行了。如果是不給定函數(shù)模型的題目，就需要先建立相關(guān)函數(shù)模型。在建立函數(shù)模型方面，有的可以通過分步驟找規(guī)律得出函數(shù)關(guān)系式，有的則須通過題目所給數(shù)據(jù)進行繪制部分函數(shù)圖象，由圖象的直觀性以與已知的熟悉的函數(shù)圖象來猜測可能是哪種函數(shù)模型，比如處理人口問題時，就必須先根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)繪出部分圖像，看看類似于學過的哪種函數(shù)的圖像，將可能的這幾種函數(shù)進行誤差比較，最后確定出具體

26、的誤差最小的那個函數(shù)。要注意的是建立的函數(shù)模型與實際數(shù)據(jù)可能還會有一點點誤差，但這是不可避免的，這樣的模型稱之為近似模型。例2 有按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，設(shè)本金為1000元，每期利率為2.25%。不計利息稅。（1）計算10期后的本利和是多少？（2）計算存款幾期后本利和超過2000元？問題解析這是一道以銀行儲蓄為背景的應(yīng)用題，涉與到建立指數(shù)函數(shù)模型，但要馬上建立起指數(shù)函數(shù)模型難度還是相當大的，不妨先分析下題目：現(xiàn)有本金1000元，要求10期后的本利和，這里就又涉與到“復(fù)利”、“本利和”、“利息”等專業(yè)術(shù)語。要知道利息=本金利率，本利和=本金+利息，接著可以先試著考慮1、2、3期后的本利和，看看

27、有什么規(guī)律。至于第（2）題顯然與第（1）聯(lián)系，因此關(guān)鍵解決第（1）問。模型的建立決策變量：設(shè)存款期數(shù)為目標函數(shù)為約束條件期數(shù)的限制 且為整數(shù)問題模型的求解當期數(shù)時即第10期的本利和為1249.2元當元時，。即第32期是本利和超過2000元。本題是以復(fù)利儲蓄為實際背景的數(shù)學應(yīng)用題，要解答本道題需要先建立指數(shù)函數(shù)模型，為此，必不可少的步驟是進行列舉前幾期本利和，從而找出本利和與存期之間的函數(shù)關(guān)系。一旦構(gòu)造出指數(shù)函數(shù)模型，那么后面的問題只需運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)就可以迎刃而解了。3.幾種常見函數(shù)模型案例3.1 油耗與里程例3 近年來由于石油短缺和禁運造成的能源危機，人們總是想要了解油料開支

28、是怎么隨車速而變化的。我們覺得以低速率和低速排擋行駛時，汽車轉(zhuǎn)換能量的效率相對不高，而高速行時作用在汽車上的阻力會迅速增加。于是，人們就有了以下的期望。即存在一個或多個速率，汽車以這些速率行駛會產(chǎn)生最優(yōu)的燃油里程(一加侖燃油能行駛的最大英里數(shù)）。那么在這個速率附近燃油里程與汽車速率有什么樣的關(guān)系呢？ 模型的分析與假設(shè)讓我們來考慮影響燃油里程的因素。第一，存在著推動汽車前進的動力。這些取決于燃油燃燒類型能提供的功率、發(fā)動機轉(zhuǎn)換潛在功率的效率、齒輪比、空氣的溫度以與包括車速在的許多其他因素第二，存在著阻礙汽車前進的阻力。阻力包括依賴于汽車重量助摩擦應(yīng)、車胎的類型和狀況以與路面的狀況?？諝庾枇κ橇矸N

29、阻力，它依賴于：車速、車輛的表形狀、風以與空氣密度。第三，影響燃油里程的另一個因素與司機的駕駛習慣有關(guān)。以常速駕駛還是不斷地加速?路面平坦還是崎嘔?因此，燃油里程是總結(jié)在下面的方程中的若干因素的函數(shù)： 燃油里程(推進力，阻力，駕駛習慣，等等)很清楚，如果要考慮車型、司機以與道路情況的所有可能的組合，對原問題的回答將會很復(fù)雜。因為做這樣的研究實在是心有余而力不足，所以我們要限制和簡化待處理的問題。在限制問題下，可以認為諸如空氣的溫度、空氣密度以與道路狀況那樣的環(huán)境件都是不變的因為我們已經(jīng)規(guī)定了司機正在駕駛著的車，確定了車胎的狀況、車的形狀和表面與燃油的種類。通過限制高速公路的駕駛速率是在最優(yōu)速率

30、附近，得到了發(fā)動機效率不變與車速變化小時齒輪比不變的簡化假設(shè)。最終我們得到了燃油里程的變化只與推進力和阻力之間存在關(guān)系。 模型的建立原問題是要解決燃油里程與汽車最優(yōu)速率的關(guān)系，上面排除其他因素對燃油里程的影響。那么，現(xiàn)在我們只要確定推進力和阻力與最優(yōu)速率之間關(guān)系就可以了。通過牛頓第二定律可以得出：=首先考慮推進力。每加侖汽油包含一定的能量，記為的能量。如果表示單位時間燃燒掉的燃油的量，那么就表示該車可利用的功率。假設(shè)功率轉(zhuǎn)換率是不變的即發(fā)動機的轉(zhuǎn)化效率不變，因為對于常力而言，功率等于力和速度的乘積這種論證就給出下面的關(guān)系 現(xiàn)在來考慮阻力，與空氣的阻力相比較，假設(shè)摩擦力很小是合理的。在高速公路的

31、速率下，這些阻力的一個有意義的模型為 其中為汽車運動中的受阻率為常數(shù)。我們知道燃油里程的定義： 燃油里程為 由此我們可以得到燃油里程和速度之間的模型(目標函數(shù)) (3) 模型的結(jié)果分析 以上模型能夠幫助我們解釋汽車油耗的某種有用的定量信息。首先盡管方程(3)中的能量關(guān)系看起來給人印象深刻，但它只是在限制的速度圍才是有效的。有賴于比例常數(shù)的大小，在那個限制圍里這個關(guān)系才可能是幾乎線性的。不要忘記在我們的分析中曾經(jīng)忽略了許多因素，而假設(shè)了某些重要的因素是不變的(常數(shù))因此，我們的模型的用途也只限于在限制使率的同上的定性解釋。3.2 除雪問題 例4 冬天經(jīng)常會降大雪，路上堆滿了積雪會影響交通，需要用

32、除雪機來清掃積雪。有條10公里長的路，每當路面平均積雪0.5米時，就需要用除雪機清理路面但問題是往往在開始時天空仍在下雪。這樣雪的深度慢慢增加，除雪機工作速度慢慢下降，直到無法工作。下雪的大小影響除雪機的工作速度。那么除雪機能否完成這10公里長路程的除雪工作?當雪以多大的速率下多長時間除雪機就無法工作了?假設(shè)與說明總共下了一個小時的雪。下雪的速度是可變的，但下得最大時地面上雪深度的增加量為每秒01厘米。當雪的深度達到15米時雪機將無法工作。在沒有雪的路面上，除雪機的行駛速度為10米秒。 (3)模型的建立：首先，我們不妨假設(shè)：除雪機的行進工作速度的降低與雪的深度成正比關(guān)系。如果的單位為米每秒的單

33、位為米，我們建立一個模型：10m/s0m/s:0m1.5m （4）下雪的速度在下雪的一個小時是可變的。但是為了函數(shù)的模型簡化，假設(shè)下雪速度在一個小時之保持不變，記為（cm/s）。因為雪的厚度在秒增加為厘米，即米，從而得到某時刻雪的總厚度為=0.5+ （5）由（4），（5）可以得到秒后除雪機的除雪速度為=（2-） （6）另外可以得出除雪機行駛的距離：=d從而我們可以得到除雪機工作行進的距離和下雪速度以與時間之間的關(guān)系的函數(shù)模型模型的求解由上面的模型可以得到米是除雪機的速度為6.7m/s.由除雪機工作開始經(jīng)過秒后除雪機就無法再工作了。 模型的計算結(jié)果與分析 由于上述問題中降雪的速度是可變的但如果只

34、研究極短的一段時間的話可以認為是不變的。所以上述模型應(yīng)用只能得降雪速度的變化不是很快的情況下。3.3 利潤最大化問題 例5 先生家里今年蘋果大豐收想要自己運出去賣，首先他去果品包裝公司了解了一下包裝材料的價格等情況如下表：重量價格材料元/個Kg/個紙箱2.40.5墊板0.050.03網(wǎng)套38/20000.001隔檔0.050.1 現(xiàn)如今有兩種包裝方案： 1.箱子+墊板+網(wǎng)套+蘋果。這種方案需要10人包裝7天每人的人工費80元/天。 2.箱子+墊板+網(wǎng)套+隔檔+蘋果。由于這種方案包裝比較復(fù)雜所以需要10人8天完成人工費認為80元/天。（每箱使用兩個隔檔）以上的兩種方案包裝完成后都是每個箱子重5k

35、g.共有20000kg蘋果.方案一平均每箱使用15個網(wǎng)套方案二平均每箱使用12個網(wǎng)套總運費為15000元。完成包裝后的按箱子來賣每箱35元；哪種包裝獲得的利潤更大？ 問題的假設(shè)與說明： 首先，利潤=總價-成本，現(xiàn)在來看看方案一的總價：方案一的包裝方法可以裝2122箱可以賣74270元。方案二可以裝2167箱可以75845賣元。方案一的成本為（2.4+20.052+15）2122+5600元即11510元。方案二的成本12528元。 模型的建立 我們可以得出方案一的利潤為47760元，方案二的例如為48317元。對于這個問題其實這樣考慮更簡單由于每箱賣35實際是把蘋果和材料都當作蘋果來賣那么可以

36、得到蘋果單價可以認為7元/kg,那么方案一和二蘋果都賣14萬那么實際上引起方案一和二的利潤不同是由于材料的差值引起的,為了使模型簡化我們把其中兩種網(wǎng)套的差可以認為零。那么引起兩種方案的差值實際上就在方案二每箱多使用了兩個隔檔，假設(shè)箱我們可以得到方案一減去方案二的利潤差模型：0.157-800 （7） 模型的求解由（7）式我們可以看到在箱子數(shù)小于4571時用方案二的利潤高于方案一。同時我們也可以得到方案一和方案二關(guān)于蘋果質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系：方案一： =3.652-5600 （8）方案二： =3.698-6400 （9）由（8）-（9）得到：=-0.046+800得到當=17391時兩個方案利潤一樣，

37、當小于17391時方案一利潤大反之方案二利潤大。模型計算結(jié)果與分析本模型利于數(shù)學工具簡化問題，將目標函數(shù)與約束條件轉(zhuǎn)化成了線性問題。在本例中為了使問題簡化只考慮到主要的因素箱子數(shù)和蘋果質(zhì)量這兩個變量對兩種方案利潤的影響。然而對于市場價格的變動沒有考慮。因此可以考慮加入市場價格變動這個變量可以使模型應(yīng)用更廣泛。3.4 整數(shù)規(guī)劃模型例6 一汽車廠生產(chǎn)小、中、大三類汽車，現(xiàn)已知各類型的每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤以與每月工廠鋼材、勞動時間的現(xiàn)有兩如下表所示。試制定月生產(chǎn)計劃，使工廠的利潤最大。小型中型大型現(xiàn)有量鋼材/t1.535600勞動時間/h28025040060000利潤/萬元234模型的建立決策變量：設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型車的數(shù)量分別為目標函數(shù)：問題的目標是工廠的月利潤最大，用表示工廠的月利潤，在題目所給參數(shù)均不隨生產(chǎn)數(shù)量變化的假設(shè)下，可得目標函數(shù)為約束條件鋼材的限制 勞動時間限制 非負限制 最終問題模型為模型求解最優(yōu)解為最優(yōu)解為。所以月生產(chǎn)計劃應(yīng)為小型車64輛、中型車168輛，大型車不生產(chǎn)。 模型的結(jié)果分析通過對于上面的求解可以看出在利潤最大的時候沒有生產(chǎn)大