1121三角形的內(nèi)角

1、11.2 與三角形有關(guān)的角11.2.1 三角形的內(nèi)角1.1.了解三角形的內(nèi)角和的驗證及證明過程了解三角形的內(nèi)角和的驗證及證明過程；2.2.熟練利用三角形的內(nèi)角和及直角三角形兩銳角的熟練利用三角形的內(nèi)角和及直角三角形兩銳角的 關(guān)系解決問題；關(guān)系解決問題；3.3.知道添加輔助線是幫助解決數(shù)學(xué)問題的方法知道添加輔助線是幫助解決數(shù)學(xué)問題的方法. . 在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)衷谝粋€直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)弟非常團(tuán)結(jié). .可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你

2、一樣你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！大！”“”“不行??！不行??！”老大說：老大說：“這是不可能的，否則，我這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了們這個家就再也圍不起來了”“”“為什么？為什么？” ” 老二很老二很納悶納悶. . 同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭內(nèi)角三兄弟之爭三角形的三個內(nèi)角和是多少三角形的三個內(nèi)角和是多少? ?把三個角拼在一起試試看把三個角拼在一起試試看你有什么辦法可以驗證呢你有什么辦法可以驗證呢? ?從剛才拼角的過程你從剛才拼角的過程你能想出證明的辦法嗎能想出證明的辦法嗎? ?CBA三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于

3、三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180180已知，求證：已知，求證：A+B+C=180A+B+C=180證法：證法：過過A A作作EFBCEFBC，B=2,B=2,( (兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等) ) C=1.C=1.( (兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等) ) 又又2+1+BAC=1802+1+BAC=180, ,B+C+BAC=180B+C+BAC=180. .F F2 21 1E EC CB BA A證法證法：延長延長BCBC到到D D，過，過C C作作CEBACEBA， A=1,(A=1,(兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等) )B

4、=2.(B=2.(兩直線平行，同位角相等兩直線平行，同位角相等) )又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180, ,A+B+ACB=180A+B+ACB=180. .21EDCBA證法證法3 3：過過A A作作AEBCAEBC，B=BAE,B=BAE, ( (兩直線平行兩直線平行, ,內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等) )EAB+BAC+C=180EAB+BAC+C=180, ,( (兩直線平行兩直線平行, ,同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)) )B+C+BAC=180B+C+BAC=180. .C CB BE EA A 在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加的在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添加

5、的線叫做線叫做輔助線輔助線. .在平面幾何里，輔助線通常畫成在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線虛線. . 為了證明三個角的和為為了證明三個角的和為180180, ,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)內(nèi)角互補(bǔ), ,這種這種轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法是數(shù)學(xué)中的常用方法. .【例例1 1】在在ABCABC中，中， A :B:C=2:2:4,A :B:C=2:2:4,求求A,A,B, B, CC的度數(shù)的度數(shù). .解：解：設(shè)每一份角為設(shè)每一份角為x x，則，則A A2x2x,B=2x,B=2x, , C=4xC=4x ，由三角形內(nèi)角和定理，可得：，由三角形內(nèi)角和定理，可得： 2x+2

6、x+4x=180,2x+2x+4x=180,解得解得 x=22.5,x=22.5,2x=22x=222.5=45, 4x=422.5=45, 4x=422.5=90.22.5=90.答：答： A A 為為4545，B B為為4545, C, C為為9090. .【例題例題】（1 1）在）在ABCABC中，中，A=55A=55， B=43B=43, ,則則ACB=ACB= ，ACDACD_._.（2 2）在）在ABCABC中中,A=80,A=80, ,B=C , B=C , 則則C C_. . 8282C CB BA A98985050 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】1.1.如圖，在直角三角形如圖，在直角

7、三角形ABCABC中，中，C=90C=90，由三角形內(nèi)角，由三角形內(nèi)角和定理，得和定理，得A+A+B+B+C= C= ，即即 A+A+B+90B+90= = ，所以所以 A+A+B= B= . . A AB BC C1801801801809090【合作探究合作探究】直角三角形的兩個銳角互余直角三角形的兩個銳角互余. . 直角三角形可以用符號直角三角形可以用符號“RtRt”表示，如直角三角形表示，如直角三角形ABCABC可以寫成可以寫成RtRtABC.ABC.2.2.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，A+A+B=90B=90，由三角形內(nèi)角和定理，由三角形內(nèi)角和定理，得得A+A+B+B+C=

8、C= ，即即 C +90C +90= = ，所以所以 C = C = ， 所以所以ABCABC是是_三角形三角形. . A AB BC C1801801801809090有兩個角互余的三角形是直角三角形有兩個角互余的三角形是直角三角形. .直角直角【例例2 2】如圖如圖C=D=90C=D=90,AD,AD，BCBC相交于點相交于點E.E.CAECAE與與DBEDBE有什么關(guān)系？為什么？有什么關(guān)系？為什么？解：解：在在RtRtACEACE中，中，CAE=90CAE=90- -AEC.AEC.在在RtRtBDEBDE中，中，DBE=90DBE=90- -BED.BED.AEC=AEC=BEDBED

9、，CAE=CAE=DBE.DBE.A AB BC CD DE E【例題例題】如圖，如圖，C=90C=90, , 1=1=2 2，ADEADE是直角三角形嗎？為什是直角三角形嗎？為什么？么？解：解：在在RtRtABCABC中，中，A+A+ 2 2 =90=90. . 1=1=2,2, A+A+1=901=90, ,ADEADE是直角三角形是直角三角形. .A AB BC CD DE E2 21 1【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】1.1.（蘇州（蘇州中考）中考）ABCABC的內(nèi)角和為（的內(nèi)角和為（ ）A A180180 B B360360 C C540540 D D720720【解析解析】選選A.A.根據(jù)三角

10、形的內(nèi)角和為根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180180，得，得ABCABC的內(nèi)角和為的內(nèi)角和為180180. .2.2.（濟(jì)寧（濟(jì)寧中考）若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為中考）若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為2 23 34 4，那么這個三角形是（，那么這個三角形是（ ）A.A.直角三角形直角三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形C.C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.等邊三角形等邊三角形 【解析解析】選選B.B.設(shè)每一份角為設(shè)每一份角為x x，則三個角分別為，則三個角分別為2x2x,3x,3x,4x,4x ，由三角形內(nèi)角和定理，可得：，由三角形內(nèi)角和定理，可得：2x+3x+4x=1802x+3x+4x=180，

11、解得，解得 x=20.x=20.所以三個角的度數(shù)分所以三個角的度數(shù)分別為別為4040，6060, 80, 80，所以這個三角形為銳角三，所以這個三角形為銳角三角形角形. .3.3.在直角三角形在直角三角形ABCABC中中, ,一個銳角為一個銳角為4040, ,則另一個銳角則另一個銳角是是_. .【解析解析】直角三角形中有一直角為直角三角形中有一直角為9090，所以另，所以另外兩銳角的和為外兩銳角的和為9090 ，因為一個銳角為，因為一個銳角為4040, , 所以另一個銳角是所以另一個銳角是5050. .【答案答案】50504.4.如圖，如圖，A+B+C+D+E+F=A+B+C+D+E+F= .

12、 . ABCDEF【解析解析】 A A，C C，E E是是ACEACE的三個內(nèi)角，的三個內(nèi)角，其和為其和為180180， B B，D D，F(xiàn) F是是BDFBDF的三個內(nèi)的三個內(nèi)角，其和為角，其和為180180，所以六個角的和為，所以六個角的和為 360360. .【答案答案】3603605.5.（1 1）一個三角形中最多有一個三角形中最多有 個直角個直角. . （2 2）一個三角形中最多有）一個三角形中最多有 個鈍角個鈍角. . （3 3）一個三角形中至少有）一個三角形中至少有 個銳角個銳角. . （4 4）任意）任意 一個三角形中，最大的一個角的度數(shù)至少一個三角形中，最大的一個角的度數(shù)至少為

13、為 . .【提示提示】 根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得出結(jié)論根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得出結(jié)論. .【答案答案】（1 1）1 1 （2 2）1 1 （3 3）2 2 （4 4）60606.6.已知：如圖，已知：如圖，ABCDABCD，直線，直線EFEF分別交分別交ABAB，CDCD于點于點E E，F(xiàn) F，BEFBEF的平分線與的平分線與DFEDFE的平分線相交于點的平分線相交于點P P試求試求P P的度的度數(shù)數(shù)解：解：ABCDABCD，BEF+DFE=180BEF+DFE=180又又BEFBEF的平分線與的平分線與DFEDFE的平分線相交的平分線相交于點于點P P，PEF= BEFPEF= BEF，PFE= DFEPFE= DFE，PEF+PFE= PEF+PFE= （BEF+DFEBEF+DFE）=90=90PEF+PFE+P=180PEF+PFE+P=180，P=90P=90121212三角形的內(nèi)三角形的內(nèi)角和等于角和等于180180. .證法證法應(yīng)用應(yīng)用轉(zhuǎn)化為一個平轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)互補(bǔ)求角度