現(xiàn)代控制理論 6-1 概念6-2 李雅普諾夫第一法(間接法)

1、線性連續(xù)系統(tǒng) 線性離散系統(tǒng) c 可控性 可觀性 穩(wěn)定性 e a e a 現(xiàn)代控制理論提綱 建模 建模 狀態(tài)空間 表達(dá)式 建立 求解 轉(zhuǎn)換 分析 分析 設(shè)計 設(shè)計 狀態(tài)反饋 狀態(tài)觀測器 最優(yōu)控制 t y c 返回 第六章 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 c 1 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 2 李雅普諾夫第一法(間接法 3 李雅普諾夫第二法(直接法 4 應(yīng)用李雅普諾夫方法分析線性 定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 t y c 1 第六章 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 c 1 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 2 李雅普諾夫第一法(間接法 e a e a 3 李雅普諾夫第二法(直接法 4 應(yīng)用李雅普諾夫方法分析線性 定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 t y

2、c 一、概述 穩(wěn)定性是系統(tǒng)性能研究的首要問題 控制系統(tǒng)的重要性質(zhì)! 正常工作的首要條件! 控制系統(tǒng)原處于平衡狀態(tài)。受到擾動，產(chǎn)生偏差。 擾動消失以后，偏差漸小，能恢復(fù)到原來平衡狀 態(tài)，則穩(wěn)定。偏差漸大，不能恢復(fù)到原來平衡狀 態(tài)，則不穩(wěn)定。 c 系統(tǒng)在初始偏差作用下，過渡過程的收斂性！ t y c 2 經(jīng)典控制理論 對穩(wěn)定性描述的局限性 (1 局限于描述線性定常系統(tǒng)； (2 局限于研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性。 穩(wěn)定性判據(jù) c e a e a 勞斯 (Routh 判據(jù)； 奈氏 (Nyquist 判據(jù)； t y c 前頁 返回 現(xiàn)代控制理論 對穩(wěn)定性描述的特點 (1 穩(wěn)定判據(jù)可用于線性/非線性，定常/時變

3、系統(tǒng)； (2 研究系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性； (3 能夠反映系統(tǒng)穩(wěn)定的本質(zhì)特征。 穩(wěn)定性判據(jù) c 李雅普諾夫 (Lyapunov 穩(wěn)定性理論； t y c 前頁 返回 3 二、系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性 （輸出穩(wěn)定） 零初始條件下，對于任意一個有界輸入，若 系統(tǒng)所產(chǎn)生的相應(yīng)輸出也是有界的，稱該系統(tǒng)是 外部穩(wěn)定的，簡稱 BIBO穩(wěn)定。 系統(tǒng)外部穩(wěn)定的充分必要條件： 傳遞函數(shù)矩陣中所有元素的極點全部 位于s左半平面。 & x = Ax + Bu y = Cx G (s = C (s I A B = 1 c e a e a t C (sI A * B sI A y c 學(xué)過 三、系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性 （系統(tǒng)狀態(tài)

4、的穩(wěn)定性李亞普諾夫穩(wěn)定性） 1. 基本概念 2. 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 3. 穩(wěn)定的范圍 4. 內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定的關(guān)系 c t y c 返回 4 1. 基本概念 & 設(shè)系統(tǒng)方程為： x = f (x, t & 展開式為： xi = f i ( x1,x2 ,L , xn ,t 方程的解為： c n 維狀態(tài)向量 e a e a 不受外力 n 維向量函數(shù) i = 1,2, L, n x(t ; x 0 , t0 初始時刻 初始狀態(tài)向量 x(t0 ; x 0 , t0 = x 0 t y c & x = f (x, t 平衡狀態(tài)：各分量相對于時間不再發(fā)生變化。 & 線性定常系統(tǒng)： x = Ax &

5、 平衡狀態(tài) x e = Ax e = 0 c & x e = f (x e , t = 0 所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止?fàn)顟B(tài) A 0 x e = 0 一個平衡狀態(tài)狀態(tài)空間原點 A =0 無窮多個平衡狀態(tài) t y c 5 例：機械位移系統(tǒng) & x (t , x (t c m e a k & m& = kx x x 1 選取 x = = & x2 x 返回 x x x2 & x1 = x2 狀態(tài)方程 k & x2 = m x1 m x2 xe x1 平衡狀態(tài)：xe = 0 t y c 0 前頁 返回 平衡狀態(tài)：各分量相對于時間不再發(fā)生變化。 & 非線性系統(tǒng)： x = f (x, t & 平衡狀

6、態(tài) x e = f (x e , t = 0 無窮多個平衡狀態(tài) c 所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止?fàn)顟B(tài) & x1 = x1 例： 3 & x2 = x1 + x2 x2 e a & x = f (x, t & x e = f (x e , t = 0 x1 = 0 3 x1 + x2 x2 = 0 0 0 0 xe1 = , xe2 = , xe3 = 1 1 0 t y c 6 例：分析單擺(Pendulum平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 & 解： ML& + Mg sin = 0 & x1 = x 2 狀態(tài)方程 g & x 2 = L sin x1 x2 = 0 & 平衡狀態(tài)： x = 0 g l

7、sin x1 = 0 c e a e a x2 & 選取 x1 = , x2 = x2 e = 0 n x e = (n = 0 , 1, 2 ,L sin x1e = 0 0 t y c 例：分析單擺(Pendulum平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 & 解： ML& + Mg sin = 0 c & 選取 x1 = , x2 = & x1 = x 2 狀態(tài)方程 g & x 2 = L sin x1 平衡狀態(tài)： K x e x e x e x e x e K x1 n x e = (n = 0 , 1, 2 ,L 0 t y c 7 平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性： 系統(tǒng)在平衡狀態(tài)鄰域的局部的（小范圍的） 動態(tài)行為。

8、線性系統(tǒng)：只有一個平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性 能夠表征整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 c e a e a 非線性系統(tǒng)：有多個平衡狀態(tài)，且穩(wěn)定性不同，需 結(jié)合初始條件考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 t y c 歐式范數(shù) 2 2 x = x12 + x2 + L xn 表示向量x 的長度 x xe = 表示向量x 到xe 的距離 n=2 表示狀態(tài)空間中，以xe為圓心，半徑為c的圓 n=3 c (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 + L (xn xne 2 (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 =c x xe = x xe = (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 + (x3 x3e 2 表示狀態(tài)空間中

9、，以xe為圓心，半徑為c的球 t y c =c 8 例：機械位移系統(tǒng) & x (t , x (t c m e a k & m& = kx x x 1 選取 x = = & x2 x 返回 x x x2 & x1 = x2 狀態(tài)方程 k & x2 = m x1 m x2 xe x0 x1 平衡狀態(tài) xe = 0 t y c 0 前頁 返回 歐式范數(shù) 2 2 x = x12 + x2 + L xn x xe = 表示向量x 到xe 的距離 當(dāng)范數(shù)|xxe|限制在某一范圍之內(nèi)時， c e a 表示向量x 的長度 (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 + L (xn xne 2 可以表示為|xx

10、e| 。且具有明確的幾何 意義。用此概念來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 t y c 9 2. 李雅普諾夫穩(wěn)定性定義 用狀態(tài)向量到平衡點的范數(shù)來表示系統(tǒng)在 n維空間運動過程中，隨時間推移狀態(tài)向量與 平衡點之間的距離變化，存在以下三種情況： 李雅普諾夫意義下穩(wěn)定 / 穩(wěn)定 漸近穩(wěn)定 不穩(wěn)定 c e a e a t x0 xe t = t0 y c 返回 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài) xe 為球心， 為半徑的閉球域 S(內(nèi)，即 若能使系統(tǒng)方程的解在 t 的過程中，始終位于 以 xe 為球心，任意規(guī)定的半徑為 的閉球域 S( 內(nèi)，即 x(t ; x 0 , tt x e t t0 c 則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài) xe

11、在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。 t y c 穩(wěn)定 前頁 返回 10 幾何意義： 任給一個球域 S(，若存在一個球域 S(，使 得當(dāng) t 時，從 S(出發(fā)的軌跡不離開 S(，則 稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 x2 初始狀態(tài)有界，隨時 間推移，狀態(tài)向量距平衡 點的距離可以維持在一個 確定的數(shù)值內(nèi)，而到達(dá)不 了平衡點。 n=2 n=3 S ( c 圓 e a e a 球 t S ( xe x0 y c x1 S ( 前頁 返回 幾何意義： 任給一個球域 S(，若存在一個球域 S(，使 得當(dāng) t 時，從 S(出發(fā)的軌跡不離開 S(，則 稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 x2 若 與初

12、始時刻t0 無 關(guān)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài) c xe 是一致穩(wěn)定的。 時變系統(tǒng) 與t0 有關(guān) 定常系統(tǒng) 與t0 無關(guān) t xe x0 y c x1 S ( 前頁 返回 11 幾何意義： 任給一個球域 S(，若存在一個球域 S(，使 得當(dāng) t 時，從 S(出發(fā)的軌跡不離開 S(，則 稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 x2 S ( c e a e a x2 S ( t c S ( xe x0 y c x1 S ( 前頁 返回 當(dāng)系統(tǒng)作不衰減 的振蕩運動時，將描 繪出一條封閉曲線， 只要不超出 S(，則 認(rèn)為是穩(wěn)定的。 x0 x1 與經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng) 穩(wěn)定性的定義不同！ t y c

13、前頁 返回 12 & x1 = x2 例： & x2 = x1 c e a e a t 平衡狀態(tài) xe = 0 0 t 下的穩(wěn)定性，且有 y c 前頁 返回 設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài) xe 為球心， 為半徑的閉球域 S(內(nèi)，即 若系統(tǒng)的平衡狀態(tài) xe不僅具有李雅普諾夫意義 lim x(t ; x 0 , tt x e = 0 c x0 xe t = t0 則稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 若 與初始時刻t0 無關(guān)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe 是一致漸近穩(wěn)定的。 t y c 穩(wěn)定 前頁 返回 13 幾何意義： 當(dāng) t 時，從 S(出發(fā)的軌跡不僅不超出 S(，而且最終收斂于xe ，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是

14、 漸近穩(wěn)定的。 間推移，狀態(tài)向量距平衡 點可以無限接近，直至到 達(dá)平衡點后停止運動。 c 初始狀態(tài)有界，隨時 e a e a x2 S ( S ( x0 與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的定義相同！ t y c x1 穩(wěn)定 前頁 返回 幾何意義： 當(dāng) t 時，從 S(出發(fā)的軌跡不僅不超出 S(，而且最終收斂于xe ，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是 漸近穩(wěn)定的。 c x2 S ( S ( x0 t y c x1 前頁 返回 穩(wěn)定 14 c e a e a & x = x 例： 1 2 & x2 = x1 x2 0 平衡狀態(tài) x e = 0 t 稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 幾何意義： 初始狀態(tài)有界，隨 時間推移，狀態(tài)向量距 平衡點越來越遠(yuǎn)。 y c 前頁 返回 如果對于某個實數(shù) 0 和任一個實數(shù) 0， 不管這兩個實數(shù)有多么小，在 S( 內(nèi)總存在著一 個狀態(tài) x0 ，由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出 S( ，則 c x2 S ( t xe y c x0 S ( x1 穩(wěn)定 漸穩(wěn) 15 與經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性一致 G (s = c (sI A b = 1 C (s