微分方程求解

1、第一節(jié) 微分方程的基本概念學(xué)習(xí)目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的階，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始條件等學(xué)習(xí)重點(diǎn)：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件學(xué)習(xí)難點(diǎn)：微分方程的通解概念的理解學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、 首先通過(guò)幾個(gè)具體的問(wèn)題來(lái)給出微分方程的基本概念。（1）一條曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)（1，2），且在該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M（x,y）處的切線(xiàn)的斜率為2x，求這條曲線(xiàn)的方程。解 設(shè)曲線(xiàn)方程為.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)滿(mǎn)足 （1）同時(shí)還滿(mǎn)足以下條件：時(shí)， （2）把（1）式兩端積分，得 即 （3）其中C是任意常數(shù)。把條件（2）代入（3）式，得， 由此解出C并代入（3）式，得到所求

2、曲線(xiàn)方程： （4）（2）列車(chē)在平直線(xiàn)路上以20的速度行駛；當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度.問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住，以及列車(chē)在這段時(shí)間里行駛了多少路程？解 設(shè)列車(chē)開(kāi)始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米。根據(jù)題意，反映制動(dòng)階段列車(chē)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)滿(mǎn)足： （5）此外，還滿(mǎn)足條件：時(shí)， （6）(5)式兩端積分一次得： （7）再積分一次得 （8）其中都是任意常數(shù)。把條件“時(shí)”和“時(shí)”分別代入（）式和（）式，得把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10）在（9）式中令，得到列車(chē)從開(kāi)始制動(dòng)到完全停止所需的時(shí)間：。再把代入（10）式，得到列車(chē)在制動(dòng)階段行駛的路程上述兩個(gè)例子中的關(guān)系式（1）和（5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

3、它們都是微分方程。2、 定義 一般地，凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系到的方程，叫做微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的方程叫做常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的方程，叫做偏微分方程。本章只討論常微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的求知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程是四階微分方程。一般地，階微分方程的形式是 （11）其中F是個(gè)變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程（11）中，是必須出現(xiàn)的，而等變量則可以不出現(xiàn)。例如階微分方程中，除外，其他變量都沒(méi)有出現(xiàn)。如果能從方程（11）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，得微分方程 （12）以后我

4、們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且（12）式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。由前面的例子我們看到，在研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要建立微分方程，然后找出滿(mǎn)足微分方程的函數(shù)，就是說(shuō)，找出這樣的函數(shù) ，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個(gè)函數(shù)就叫做該微分方程的解。確切地說(shuō)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，那么函數(shù)就叫做微分方程（11）在區(qū)間上的解。例如，函數(shù)（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函數(shù)（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)（

5、3）是方程（1）的解，它含有一個(gè)任意常數(shù)，而方程（1）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解。又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有兩個(gè)任意常數(shù)，而方程（5）是二階的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀(guān)事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況提出確定這些常數(shù)的條件。例如，例1中的條件（2），例2中的條件（6），便是這樣的條件。設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為，如果微分方程是一階的，通常用來(lái)確定任意常數(shù)的條件是時(shí)，或?qū)懗?其中，都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來(lái)確定任意常數(shù)的條件是：時(shí)，或?qū)懗?，其中，和都是給定的

6、值。上述條件叫做初始條件。確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）滿(mǎn)足條件（2）的特解；（10）式是方程（5）滿(mǎn)足條件（6）的特解。求微分方程滿(mǎn)足初始條件的特解這樣一個(gè)問(wèn)題，叫做一階微分方程的初值問(wèn)題，記作 （13）微分方程的解的圖形是一條曲線(xiàn)，叫做微分方程的積分曲線(xiàn)。初值問(wèn)題（13）的幾何意義是求微分方程的通過(guò)點(diǎn)的那條積分曲線(xiàn)。二階微分方程的初值問(wèn)題的幾何意義是求微分方程的通過(guò)點(diǎn)且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為的那條積分曲線(xiàn)。3、 例題例1 驗(yàn)證：函數(shù) （14）是微分方程 （15）的解。解 求出所給函數(shù)（14）的導(dǎo)數(shù) 把及的表達(dá)式代入方程（15）得+函數(shù)（14）及其

7、導(dǎo)數(shù)代入方程（15）后成為一個(gè)恒等式，因此函數(shù)（14）是微分方程（15）的解。小結(jié)：本節(jié)講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始問(wèn)題第二節(jié) 可分離變量的微分方程學(xué)習(xí)目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：可分離變量的微分方程的解法學(xué)習(xí)難點(diǎn)：可分離變量的微分方程的解法學(xué)習(xí)內(nèi)容：本節(jié)開(kāi)始,我們討論一階微分方程 (1)的一些解法.一階微分方程有時(shí)也寫(xiě)成如下的對(duì)稱(chēng)形式: (2)在方程(2)中,變量與對(duì)稱(chēng),它既可以看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程 ,也可看作是以為自變量、為未知函數(shù)的方程 ,在第一節(jié)的例1中，我們遇到一階微分方程，或 把上式兩端積分就得到這

8、個(gè)方程的通解：。但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對(duì)于一階微分方程 （3）就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函數(shù)積分求不出來(lái)。為我解決這個(gè)困難，在方程（3）的兩端同時(shí)乘以，使方程（3）變?yōu)?，這樣，變量與已分離在等式的兩端，然后兩端積分得或 （4）其中C是任意常數(shù)?？梢则?yàn)證，函數(shù)（4）確實(shí)滿(mǎn)足一階微分方程（3），且含有一個(gè)任意常數(shù)，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成 （5）的形式，就是說(shuō)，能把微分方程寫(xiě)成一端只含的函數(shù)和，另一端只含的函數(shù)和，那么原方程就稱(chēng)為可分離變量的微分方程。假定方程（5）中的函數(shù)和是連續(xù)的

9、，設(shè)是方程的解，將它代入（5）中得到恒等式將上式兩端積分，并由引進(jìn)變量，得設(shè)及依次為和的原函數(shù)，于是有 （6）因此，方程（5）滿(mǎn)足關(guān)系式（6）。反之，如果是由關(guān)系到式（6）所確定的隱函數(shù) ，那么在的條件下，也是方程（5）的解。事實(shí)上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當(dāng)時(shí)，這就表示函數(shù)滿(mǎn)足方程（5）。所以如果已分離變量的方程（5）中和是連續(xù)的，且，那么（5）式兩端積分后得到的關(guān)系式（6），就用隱式給出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隱式解。又由于關(guān)系式（6）中含有任意常數(shù)，因此（6）式所確定的隱函數(shù)是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。例1 求微分方程 （7）的通解

10、。解 方程（7）是可分離變量的，分離變量后得兩端積分 得 從而 。又因?yàn)槿允侨我獬?shù)，把它記作C便得到方程（7）的通解。例2 放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的誤變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比。已知時(shí)鈾的含量為，求在衰變過(guò)程中含量隨時(shí)間變化的規(guī)律。解 鈾的衰變速度就是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。由于鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下 （8）其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前的負(fù)號(hào)是指由于當(dāng)增加時(shí)M單調(diào)減少，即的緣故。由題易知，初始條件為方程（8）是可以分離變量的，分離后得兩端積分 以表示任意常數(shù)，因?yàn)?，得?是方程

11、（8）的通解。以初始條件代入上式，解得故得 由此可見(jiàn)，鈾的含量隨時(shí)間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減。小結(jié)：本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程，及其解法。第三節(jié) 齊次方程學(xué)習(xí)目的：熟練掌握齊次微分方程的解法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：齊次方程的解法學(xué)習(xí)難點(diǎn)：齊次方程的解法學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、 齊次方程的形式如果一階微分方程中的函數(shù)可寫(xiě)成的函數(shù)，即，則稱(chēng)這方程為齊次方程。例如是齊次方程，因?yàn)槠淇苫癁?、 齊次方程 （1）的解法。作代換 ，則，于是從而 ，分離變量得 兩端積分得 求出積分后，再用代替，便得所給齊次方程的通解。如上例分離變量，得 積分后，將=代回即得所求通解。例1 解方程。解 原式可化為，令=，則 ，于是

12、分離變量 兩端積分得 即 。故方程通解為 。3、 練習(xí)1 通解為 2 通解為 小結(jié)：本節(jié)講述了齊次方程，及其解法第四節(jié) 一階線(xiàn)性微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握一階線(xiàn)性微分方程的形式，熟練掌握其解法；掌握利用變量代換解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：一階線(xiàn)性微分方程的形式,及解的形式，利用變量代換解微分方程學(xué)習(xí)難點(diǎn)：一階線(xiàn)性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程學(xué)習(xí)內(nèi)容：一、 線(xiàn)性方程1、定義 方程 （1）稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程。特點(diǎn) 關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的。若，稱(chēng)（1）為齊次的； 若，稱(chēng)（1）為非齊次的。如：（1） （2）2、解法當(dāng)時(shí)，方程（1）為可分離變量的微分方程。當(dāng)時(shí)

13、，為求其解首先把換為0，即 （2）稱(chēng)為對(duì)應(yīng)于（1）的齊次微分方程，求得其解為求（1）的解，利用常數(shù)變易法，用代替，即于是，代入（1），得故 。 （3）3、例 求方程 （4）的通解.解 這是一個(gè)非齊次線(xiàn)性方程。先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。， （5）用常數(shù)變易法。把換成，即令 ，則有 ，代入（1）式中得，兩端積分，得 。再代入（4）式即得所求方程通解。另解 我們可以直接應(yīng)用（3）式得到方程的通解，其中， 代入積分同樣可得方程通解，此法較為簡(jiǎn)便，因此，以后的解方程中，可以直接應(yīng)用（3）式求解。二、 貝努力方程1、定義 稱(chēng)為貝努力方程。當(dāng)時(shí)，為一階線(xiàn)性微分方程。2、解法 兩邊同除令，則有 而 為一階線(xiàn)性

14、微分方程，故。貝努力方程的解題步驟（1） 兩端同（2） 代換（3） 解關(guān)于的線(xiàn)性微分方程（4） 還原例 解方程 解 過(guò)程略，通解為 。三、 利用變量代換解微分方程例 解方程 解 令 ，則 ，于是解得 ， 即 例 解方程 解 過(guò)程略，通解為 。小結(jié)：本節(jié)講述了一階線(xiàn)性微分方程，及貝努力方程的解法，利用常數(shù)變易法，和變量代換法來(lái)解微分方程。第五節(jié) 全微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握全微分方程成立的充要條件，掌握全微分方程的解法，會(huì)用觀(guān)察法找積分因子學(xué)習(xí)重點(diǎn)：全微分方程的解法，觀(guān)察法找積分因子學(xué)習(xí)難點(diǎn)：全微分方程的解法，觀(guān)察法找積分因子學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、定義 若 （1）恰為某一個(gè)函數(shù)的全微分方程，即存在某個(gè)，使有

15、，則稱(chēng)（1）為全微分方程。可以證明 是（1）式的隱式通解。2、解法 若，在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，條件是（1）式為全微分方程的充要要條件。通解為 。例1 求解 解 令 ，則 此方程為全微分方程。于是通解為 3、積分因子若，則（1）式不是全微分方程，但若有一個(gè)適當(dāng)函數(shù)，使（1）式乘以后為全微分方程，稱(chēng)函數(shù)為積分因子。一般積分因子不好求，我們只要求通過(guò)觀(guān)察找到積分因子。例2 方程 不是全微分方程，但于是將方程乘以 ，則有 ，即 ，從而為其通解。此時(shí)為其積分因子。 注意 積分因子一般不唯一。如上述方程，若同乘有 ，于是 ，即 為其通解。 也是其積分因子。 小結(jié)：本節(jié)講述了全微分方程的解法，用

16、觀(guān)察法長(zhǎng)積分因子，使之滿(mǎn)足全微分方程的充要條件。第六節(jié) 可降階的高階微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握三種容易降階的高階微分方程的求解方法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：三種可降階的高階微分方程的求法學(xué)習(xí)難點(diǎn)：三種可降階的高階微分方程的求法學(xué)習(xí)內(nèi)容：一、型令 ，則原方程可化為 ，于是 同理 。 。n次積分后可求其通解。其特點(diǎn)：只含有和，不含及的階導(dǎo)數(shù)。例1 解方程 解得 為其通解。二、令 則 ，于是可將其化成一階微分方程。特點(diǎn) 含有，不含。例2 解得通解為 三、令 則 ，于是可將其化為一階微分方程。特點(diǎn) 不顯含。例3 解 化為一階線(xiàn)性或可分離變量的微分方程，解得通解為。小結(jié)：本節(jié)講述了三種容易降階的高階微分方程及其求解方法第七

17、節(jié) 高階線(xiàn)性微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握二階線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)，齊次線(xiàn)性方程的通解，非齊線(xiàn)性方程的特解及通解的形式。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：齊次線(xiàn)性方程的通解，非齊線(xiàn)性方程的特解及通解的形式。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：齊次線(xiàn)性方程的通解，非齊線(xiàn)性方程的特解及通解的形式。學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、定義：方程 (1) 稱(chēng)為二階線(xiàn)性微分方程。 當(dāng)時(shí)稱(chēng)為齊次的，當(dāng)時(shí)稱(chēng)為非齊次的。 為求解方程（1）需討論其解的性質(zhì)2、解的性質(zhì) （2）性質(zhì)1 若是（2）的解，則也是（2）的解，其中，為任意常數(shù)。 稱(chēng)性質(zhì)1為解的疊加原理。但此解未必是通解，若，則，那么何時(shí)成為通解？只有當(dāng)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)。 線(xiàn)性相關(guān) 設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在不全為零的數(shù) 使得 恒成立，則

18、稱(chēng)線(xiàn)性相關(guān)。線(xiàn)性無(wú)關(guān) 不是線(xiàn)性相關(guān)。如： 線(xiàn)性相關(guān)， 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。對(duì)兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)它們的比值為常數(shù)時(shí)，此二函數(shù)線(xiàn)性相關(guān)。若它們的比值是函數(shù)時(shí)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。性質(zhì)2 若是（2）的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，那么（，為任意常數(shù)）是方程（2）的特解。此性質(zhì)稱(chēng)為二階齊次線(xiàn)性微分方程（2）的通解結(jié)構(gòu)。如：是的兩個(gè)解，又常數(shù)。因此，為的通解。又的解亦線(xiàn)性無(wú)關(guān)。則為其通解。下面討論非齊次微分方程（1）的解的性質(zhì).稱(chēng)（2）為（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程。性質(zhì)3 設(shè)是（1）的特解，是（2）的通解，則是（1）的通解。如：， 為的通解，又是特解，則的通解。性質(zhì)4 設(shè)（5）式中，若分別是， 的特解，則為原方程的特解。 稱(chēng)此性質(zhì)為解的疊加原理。小結(jié)：本節(jié)講述了二階線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)，包括齊次線(xiàn)性方程的通解，非齊線(xiàn)性方程的特解及通解的形式。第八節(jié) 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程學(xué)習(xí)目的：掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的特征方程，特征根，及對(duì)應(yīng)于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：特征方程，特征根，及對(duì)應(yīng)于特征根的三種情況，通解的