媒質(zhì)分界面條件和邊界條件

1、1.2媒質(zhì)分界面銜接條件和媒質(zhì)邊界條件1.2.1媒質(zhì)分界面銜接條件在求解電磁場問題時，在不同媒質(zhì)分界面上場的解答必須匹配, 已學(xué)過的有：電場：n E2 -= 0n D2 - Di - 丁磁場：n H2-'Hr = JSn B2 - Br =0電流場(恒定電場)n E2 - Er = 0n J2J"i =0下面進(jìn)一步分析媒質(zhì)分界面上場矢量發(fā)生突變的一般情況。1面散度場源可能引起場磁量法向分量的突變：在電場中，散度場源v D = '' = b(r )存在。設(shè)電場中兩種媒質(zhì)之間存在一個過渡層，媒質(zhì)性能參數(shù)由；i、i、i連續(xù)變化為；2、2、2，厚度h很小，取h為一扁盒

2、圓柱面的高，為過渡層內(nèi)體自由電荷密度。如圖所示，規(guī)定分界面上的正法向方向由高斯通量定理討論:q = -h > 0:D ds = D 2： s2 D s1S'、D dV 二s(1)若，為有限值，則當(dāng)h > 0，即媒質(zhì)參數(shù)發(fā)生躍變時，扁盒內(nèi)的電荷量n D2_Dr = 0= D 2n若當(dāng)h > 0時,q保持定值不變，即hr 0，'不斷增大,使保持定值，定義它為面自由電荷密度二=lim (訃)h0上面的邊界條件式變?yōu)?-pn ( D 2 - D , ) = lim ( h)h_j0D的法向分量突變，也可用標(biāo)量電位表示為將以上結(jié)論引伸到一般矢量場F中，當(dāng)h > 0

3、時成為一普遍性邊界條件公式:n F2 - Fj 二 lim (hb ) = lim (* F )h 0h 0稱上述極限突變值為 面散度源，可知“矢量場的面散度源可能引起場 的法向分量改變，無散場的法向分量一定連續(xù) (如果沒有偶極矩陣)”2.面旋度源可能引起場矢量切向分量的突變由斯托克斯定理:qF ，dl =(燈匯 F ) ds = f c(r) dssJS設(shè)磁場中兩種媒質(zhì)間存在一過 渡層，其厚為h很小，如圖所示。 跨分界面作矩形閉合曲線I，其長 邊為厶I，寬邊為h，且n、t和 n 呈右旋關(guān)系t = n n，有cf H ，dl = H 2 兇2 十 H Al1n-'H 2 - H t I

4、 = i P H ) ds21-.s= c( r ) ds = c(r ) n h= ISt H2-H = n n H2-H=n n H 2 - H 1= n c r hn n (H 2 - H J - c(r)h = 0因l回路設(shè)定的任意性，上式成立，在 h-0時，必有：n (H 2lim hc(r)二 lim h(、 H )式中D以及譏lim h(Jh0D總是有限的，h >:D) :t：Dh 0。以兩種形式分 ：th0h0析:(1)若J為有限值，hJ > 0n ( H 2 一 H J = 0(2)若h > 0過程中，I所圍面積厶s中通過的電流總量不變，hJ 趨于一定值，即

5、電流區(qū)壓縮成為薄片，定義它為自由面電流密度：Js = lim (hJ)hT°有:n (H2-HJ = Js由于面電流密度存在而導(dǎo)致的H的切向分量突變，這一突變值可以稱 為面旋度源。對任意矢量場F，可以得一普遍應(yīng)用公式：n (F2 - FJ 二 lim hc(r) = lim hC F )h0h0用來判斷矢量場F在媒質(zhì)分界面上的場量切線分量是否突變?？傻茫骸懊嫘仍纯赡芤饒鍪噶壳邢蚍至客蛔?，無旋場的切向分量一定連續(xù)(如果沒有偶極矩存在)”1.2.2邊界條件上述分析表明：場源的某種分布對不同媒質(zhì)分界面上場矢量的連 續(xù)性產(chǎn)生一定的影響，而且場源的分布也是確定域內(nèi)場量的前提。根據(jù)唯一性定理

6、，場的唯一確定，還有賴于給定場域適合的邊界 約束條件，而這種條件也等價于一定分布的場源。下面再對一、二類邊界條件分別進(jìn)行討論。1. 第二類邊界條件等價于一個單層源(1)在電場中，如果媒質(zhì)分界面上存在有面自由電荷密度，則分 界面條件為：n (D2 _ D1)八n C 八Th 二如果在所求場域Vi邊界以外場強均為零 （例如導(dǎo)體區(qū)域），即門2-前,n J =:二n D1 -；如圖示，說明S面上有負(fù)電荷存在。這樣的 第二類邊界條件，就相當(dāng)于在場域邊界上有 一層自由電荷。也即是說第二類邊界條件等價于自由面電荷密度（2）在磁場計算中，若媒質(zhì)磁化而存在磁化體，由媒質(zhì)的性能方 程P -。H M =0'

7、H=式中：，m是假想的體磁荷密度,用它來等效地反映媒質(zhì)磁化的影響，B 八。（H M ）要確定H，還必須計算它的旋度。在磁化體中一般沒有自由電流 * H = J = 0由此引入標(biāo)量磁位；：mm，有由上可知：磁化體中的：m滿足標(biāo)量泊松方程，其磁荷體密度 為- 'M。對于均勻磁化體：M = 0，上式成為拉普拉斯方若按(1)中方法分析，可以從磁何體密度 ，m 中求出媒質(zhì)分界面上的磁荷面密度匚m，它也是 一種面散度源。如圖中兩媒質(zhì)分界面上，正法線方向n從> J2，設(shè)有一媒質(zhì)過渡層，高為很小的 h,跨分界面作一扁圓柱面 S,其高正好為h,由B的連續(xù)性原理，對閉 合面S,有-B ds = B2

8、S2 BS1S(B2 - B)ls = O"I-M 2'Bi又:A* |=n B2-B1- n M2o=Xu/-M )1=匚H h=-n M 2 - M j = lim h'、h_ 0如果H 2 = 0，即在：的鐵質(zhì)內(nèi)，有)=nW11m由此可見：磁化體表面的第二類非齊次邊界條件與磁何面密度等 價。2. 第一類邊界條件等價于一個雙層源在靜電場中，一個電偶極子(其偶極矩p = qd )在p點產(chǎn)生的電位為:qd cosT ' P r "® r =2 34- or 4 - 0r現(xiàn)在要分析邊界兩側(cè)有相同分布的正、 負(fù)電荷層的情況，其間距 離極小為d，

9、稱為偶層，設(shè)面電荷密度為一二，則電偶極矩面密度（層它的正方向由負(fù)電荷指向正電荷。 取邊界面上正法向單位矢量n與的正方向一致，則偶層元ds在場中P點產(chǎn)生的電位為:cp殆s r f 1 可 cos 日"-1 乓 cos( 71d4 二 or 3 =4二 o r* 2" = 4二 o ； r2jio日d T 6)-1 cosds 二；ds4jio式中c°s嚴(yán)是面元ds對于場點所張的立體角rd'J如果觀察點（即場點）到面元ds的矢徑r與ds的正法向矢量n的夾角為銳角，規(guī)定為正，為鈍角則規(guī)定為負(fù)。于是整個偶層在P點產(chǎn)生的電位為若整個常數(shù)，則上式可寫為為:TTd

10、9;.1=門4 二-二o如果偶層分布在一個閉合面S上，S面內(nèi)任意一點的電位T4 二4 二o而S閉面外任一點的電位因i.i =0而有護(hù)+ = 0以上兩式表明：=定值的第一類邊界條件，等價于面偶極矩分布的雙層源值得注意的是：在偶層的每一個面上，因發(fā)生突變（突£n變量為二），兩個面上有兩次突變等值異號。所以，以偶層一側(cè)到另 一側(cè)，Dn不變，但雙層源兩側(cè)有電位差Rt -14T<P <P _2%說明雙層源引起了電位的突變。偶層的存在，如果層強不均勻，還可 能引起Et不連續(xù)。分析圖示偶層兩側(cè)對應(yīng)點的電位差：1、2兩點之間電位差為:1 -24、3兩點之間的電位差為Cp _ CP CP _ CP1423=Et_l可見由于層強的不均勻?qū)е码娕紝觾蓚?cè)E的切向分量不相等。這也說明：在沒有偶層分布的無旋場中，才有場矢量的切向分量連續(xù)由以上的分析，可以歸納為：1. 在無偶層源存在的情況下，媒質(zhì)分界面上，矢量場遵循的分 界面條件：n f2 - F, lim （h'、 F ）hn f2 -