子午線收斂角計算公式及計算精度分析

1、第28卷第6期2005年】2月現(xiàn)代測繪Modern %jrveying and MappingVol. 28.No. 6Dec. 2005子午線收斂角計算公式及計算精度分析耶熙娟，江國焰,高俊強(南京工業(yè)大學上木丁程學院，江蘇南京210003)摘 要 采用赫里斯托夫給出的展開至七次項的公式來近似地計算子午收斂角的真值分析了隨坤度經(jīng)基的變 化規(guī)律并對近似公式r = sinB I計算子午收斂用與其真值之間的校星在經(jīng)差0. 5°35°、煒度5。85°范國進行 評鈿分析，給出了在經(jīng)罡/ = 35°時較差擬合公式。猖到如下結(jié)論：1)在同一平行圏上(B=常數(shù))，經(jīng)差

2、2愈大. 校圣也愈大;2)在司一子午錢上(L =常數(shù)兒點位處在中緯度(25°55°)時，較差較大$3)在中低緯度(B = 5° 80°川=3. 5。時公式(4)的計算楙度只能達到0. f； / - 2. 5°時.計算精度達到0.0.0ff I = 1. 5°時計算粉 度達到0. 01% / = 0. 5°時，計算梢度達到0001"0. 0001關(guān)債詞子午收斂角經(jīng)差投衫帶坐標方位角中圖分類號:P226+.3文獻標識碼：B文章編號:1672-4097(2005)06-0022-041引言高斯投影中坐標計算分為正算、反算

3、，由大地坐 標L、B求高斯投影帶上的平面直角坐標X、Y稱為 正算，反之稱為反算。相鄰高斯投影帶上¥面坐標相 互換算稱為坐標換帶，在測量工作中,經(jīng)常需要進行 正算、反算、換帶和子午線收斂角的計算工作。在文獻1所提出的大地坐標系中，如圖1所 示，以橢球面上一點F為起點的任一大地線的方向 角a可定義為過點P的大地卩行線方向順時針到 該大地線切線方向的角度。顯然它與以子午線方 向為起始方向的大地方位角A是不相同的,其間的 差異即為點P上的大地平行線與子午線之間的夾 角7,可稱為大地坐標系中點P上的子午線收斂角， 顯然就有：圖1子午線收斂角和方位角關(guān)系(1)式中,y為子午線收斂角，a為坐標方位

4、角6為大地 方位角為曲率改正。在大地控制測量以及髙精度工程測量中常常 需要利用上述公式來進行兩類方位角之間的轉(zhuǎn)換, 如利用陀螺經(jīng)緯儀所測的方位角為大地方位角，當 我們需要獲得坐標方位角時，就勢必要先計算子午 線收斂角。子午線收斂角的計算精度直接影響坐標方位 角的精度，目前，關(guān)于子午線收斂角計算公式在許 多大地測量書籍中"7】都已經(jīng)導出，但由于精度要 求不同以及公式稚導的方法不同，使得計算公式不 盡相同，但它們的計算精度如何冇關(guān)文獻中均沒有 涉及,這正是本文所要探討解決的。2子午線收斂角y的計算公式頁2.1赫里斯托夫給出的展至七次項的計算公式/ = cos B z ! + *cos叨

5、Ki + 3rf +2才)尸 + 吉coHB f(2z2 + 15)/ 一 15rft2)l3 + j|gCos7B z(17 - 26? +)/7 +CX/7)(2)式中，t tan B, q = d cos2B(/為第二偏心率).B為緯 度,2為經(jīng)差。2.2控制測量學給出的展至五次項的計算公式/= sinB> Z + -sin(l + 3+2i/)P +-sin BcoslB. (2-/2)/5 +O<戶)(3)式中，f = tan B, tj e cos2B(/ 為第二偏心率)， B為緯度，I為經(jīng)墾。2.3測量學中給出的近似公式/ = sin B /(4)第6期綁熙娟等:子午

6、線收斂角計算公式及計算精度分析232.4工程測量學中給出的近似公式初 號即當點位在屮央子午線以東時*和/為止；以第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#a/I = e1 sin'BB5°10°15°20°25。30°35。40°45。A2. 975536. 626. 655. 563. 751.70-0. 085-1. 29B50°55°60°65°70°75°80°85°A-1. 78-1. 671.210.647-0. 2040.

7、25S0. 070 10. 027 9表1 a值計算表(單位:rxio-7)缶 cos? B “ 17 26/ + 2C/7(7)(5)式中Q為測站點的橫坐標,N為卯西圈曲率半徑“ 為第-偏心率。3于午線收斂角公式的計算精度3.1公式分析由公式(1)分析可知：(1)y為2的奇次幕函數(shù)在北半球*與/同通過分析該表發(fā)現(xiàn)當B = 20°時/有最大值, 但是僅為6". 65X10 7 ,由此認為A值對y值的影響 十分微小,幾乎可以忽略不計。由人值大小，可以 判斷出后面的無窮小項。(卩)占真值y的比審更加 微小，為此，略去城后的無窮小項，不影響計算結(jié)果 的準確性。不妨設(shè)子午收斂角的真

8、值計算公式為：西時y和2為負；(2) 在同一平行圈上(刁=常數(shù))，經(jīng)差/愈大,y 愈大；(3) 在同一子午線上(匸=常數(shù))，緯度B愈高， y愈大。為了便于分析問題,可令：A = cos7B " 17 26? + 2? )f(6)在高斯分帶投影屮，故大是6°帶投影，再顧及 投彩換簾的需要，不妨取I = 3. 5°,計算在不同緯度 時的A值,見下表1。事實上，公式(7)已遠遠超過實際計算的需要的 精度。在公式(3)中，令其五次項為：C=sinBcos4B* (2 ”卅(8)第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精

9、度分析#在Z-3. 5B在不同緯度F時,通過計算得到 其數(shù)值大小如表2所示。y=cosB*f*Z4- -ycos3B r(l + 3# + 2rf )Z3 +B5。10°15°2025。30°35°40°45。C0. 685-4. 983.21-0. 892. 960. 255-5. 931. 30-0. 473B50。55。60°65°70°75°80°85°C-5.130. 006一 5. 67-0.1560. 7385. 9?0. 136-3.81尋cofB t(2t2 + 15

10、彳-15"M +*2 C值計算疑(草位:TX10-4)第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#根摒上表可知在B = 75°時,C的絕對值最大, 達5. 97X10 此外，表中數(shù)據(jù)變化幅度較大，沒有 規(guī)律性。文獻9中給出的公式(5),根據(jù)高斯投影正算 公式近似地有門:y = NcosB I(9)代人(5)式中得：,=希書 E = Neo 屮 I tg” = gin“ / (10) 因此，公式(4)和公式(5)是-致的，只是為了 方便計算給出的不同形式而已。3.2計算精度公式(4)或(5)是測童人員在實際作業(yè)時經(jīng)常采 用的,公式簡單易記、計算方便。但是，由于7值是隨

11、 緯度和經(jīng)差在變化，因此這種近似計算的誤叢也必然 存在。實際工作中往需要知道采用公式(4)或(5)計 算子午收斂角時的計算精度是多少？能否滿足實際 工作耍求？這正是我們所要討論分析的問題。為此，假設(shè)2 = 3. 5°,根據(jù)上述四種公式的分 析,以公式(2)來計算結(jié)果為子午收斂角的近似真 值。計算時采用1983IGA橢球參數(shù)，即?。?#171; = 6 378 136 = 257)第二偏心率：第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#程計算得到不同緯度下子午收斂角，并設(shè):（1 a）2A =沁一沁（13）利用MATLAB軟件分

12、別依據(jù)公式（2）（4）編計算結(jié)果見麥3。表3 Z = 3. 5°的y值及較差計算表（單位QB5°10°15。20°25°30°35。40。45°公式（2）109. 952219. 061326. 491432. 419533. 044630. 588723. 310810. 509891. 509公式（4）109.816218. 797326. 112430. 945532. 499630. 000722. 706809. 912890. 9550. 135 780. 264 360. 379 020. 473 960. 5

13、44 700. 588 320. 603 690. 591 540. 554 33B50°55°60°65°70°75。80。85°公蟲（2）965. 7121 032. 5541 091. 5311 142. 2011 184. 1851 217. 1681 240. 9041 255.217公式（4）965. 2161 032. 1321 091.1921 141.9471 184. 0131217.0671 240. 8581 255. 2050.496 150. 422 370. 339 260. 253 610.172 19

14、0. 101 350.046 510. 011 85第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#上表中的變化范圍在0. 012"0604",故此 時采用公式（4）的計算誤差（計算精度）在數(shù)曲級上 只能達到0.1"001"。根據(jù)表3數(shù)據(jù)可繪岀圖2。圖2較差隨緯度變化曲線同樣也可計算I = 0. 5°、1. 0°、1. 5°、2. 0°和2. 5°時的公式（2）和（4）的子午線收斂角及較差，限 于篇幅，下表4僅列出較差。觀察表4町以得到：隨著1增大，

15、采用公式（4） 計算子午收斂角的誤差相應(yīng)增大，變化量最大從0. 001 8"0. 219 9"；在Z = 0. 5°時，較差的變化范圍在3. 46 X 10®0. 001 8并且在中低緯度（B = 5°80°）時采用公式（4）的計算誤差（計算精度）在 數(shù)量級上只能達到0. 001"0. 000 T； Z = 1. 0°時. 在數(shù)量級上計算精度達到0. 01"0. 001", Z = 1. 5° 時，在數(shù)量級上計算精度達到0. 01"； I = 2. 0 2. 5°

16、時，在數(shù)量級上計算精度達到0. 1"0. 01"。以上計算是釆用MATLAB軟件編寫的程序?qū)?現(xiàn)的，程序為了便于實際應(yīng)用，同時顧及我國所處的緯度 區(qū)域，我們選擇用三次四項式來擬合經(jīng)差為3. 5°時 子午線收斂角較差和緯度關(guān)系，可時得到如下的擬 合多項式：第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析25較養(yǎng)對照哀（單位:"）B5°10°15°20。25。30°35。40°45°1=0. 5°3. 95 X KT7. 70 X KF

17、40.001 10.001 40. 001 60.001 70.001 80. 001 70. 001 6Z=1.0°0. 003 20. 006 20. 008 80.011 00.012 70.013 70. 014 10. 01380.012 91=1. 5°0. 010 70. 020 80.029 80. 03730. 042 80.046 30. 047 50. 046 50. 043 61=2.0°0. 025 30. 049 30.070 70. 088 40. 101 60. 109 70. 11260.110 30. 103 41=2. 5&#

18、176;0.049 40. 096 30. 138 00.172 60.198 40.214 30. 219 90.215 50. 202 0B50°55°60°65°70°75°80°85。10. 5°0.00140.001 29 89 X 10T7. 40 X5. 02 X 10-42. 96 X IO-41. 36 X 10 43.46 X 1CF51-10°0.011 G0. 009 90.007 90.005 90. 004 00. 002 40. 001 12. 77 X 10 41=1. 5

19、°0. 039 10. 033 20. 026 70. 020 00.013 60. 008 00. 003 79. 33 X 1011-2.0。0. 092 60. 078 80. 063 30. 047 30. 032 10. 018 90. 008 70. 002 21=2.5°0.180 80. 153 90. 123 60. 092 40. 062 80. 036 90. 017 00. 004 3第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#/(B) = 4. 81 X 10 ° B3 9. 54 X KT4 + 4. 75X10-2 B-0.1

20、1(14)擬合效果見圖3。4結(jié)束語通過以上計算可以知道，采用公式（2）和公式（4） 計算子午收斂角的存在較差，并冃隨經(jīng)差和緯度不同 而變化，對比計算數(shù)齊并分析可以得到以F結(jié)論： 4.1同一平行圈上（£ =常數(shù)），經(jīng)差Z愈大，較差 也愈大。4.2在同一子午線上（L二常數(shù)），點位處在中緯 度（25°55°）時，較差較大。4.3分析較差得到:在中低緯度（B = 5°80°）, z - 3. 5°時公式（4）的計算梢皮只能達到0. r； I = 2. 5°時,計算精度達到0. r0. 01，z；Z = 1. 5°時計 算精

21、度達到0.01"；/ = 0. 5°時,計算精度達到0. 001" 0.000 1"。而在實際工作中，比如隧道開挖、地鐵施 工等，隧道兩端距離一般不會太長，大約在 0. 550km間，相應(yīng)的經(jīng)差故大也就是約為0. 45°, 因此，采用公式Q）也町保證足夠的計算精度。參考文獻1孔祥元，梅是義控制測北學M.武漢：武漢大學出版 社 >1996.2施一民.現(xiàn)代大地控制測rtTMl.北京，測繪出版社. 2003.3施一民，馮琰.抱球橢球面上另-種形式的測地坐標系 的建立J.同濟大學學報（自然科學版）.2001,29（11）： 128212854施一

22、民，朱紫陽測地坐標系中大地線的微分方程及微 分關(guān)系式口同濟大學學報（自然科學版），2003,31 （1）,3538.5施一民，朱紫陽,方胤棋.測地主題正反解解算J.測繪 工程 >200342（1）:912.6熊介.橢球大丸測辛學M.北京：解放軍出版社, 199&7胡明誠魯?，F(xiàn)代大地測欣學M1.北京:測繪出版社, 】9938武漢測繪科技大學控制測量教研宰，同濟大學大地測H: 教研室控制測金學Ml北京:測繪出版社J986.9陳水奇工程測駅學M北京;測繪出版社,2004.第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#第6期綁熙娟等:子午線收斂角計算公式及計算精度分析#Calcul

23、ation of Formula of Meridian Constringent Angle and Its Precision AnalysisWU Xijuan. Jiang Guoyan, Gao Junqiang(College of Civil Engineerings Nanjing University of Technology Nanjing 210009,China)Ahstract The true value of meridian constringent angle is calculated approximately using formula given by Hristoand lhe change rule is analyzed with longitude & latitude. It is analyzed that the difference of the true value and approximate value