概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版 第一章 第一章第6講ppt課件

1、第六講 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說(shuō)這就是說(shuō),已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)發(fā)生的概率生的概率,這時(shí)稱事件這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性一、兩事件的獨(dú)立性A=第二次擲出第二次擲出6點(diǎn)點(diǎn)， B=第一次擲出第一次擲出6點(diǎn)點(diǎn)，先看一個(gè)例子：先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)設(shè) 由乘法公式知，當(dāng)事件由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性刻劃獨(dú)立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P

2、(B) 更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制約的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱則稱A、B獨(dú)立，或稱獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義兩事件獨(dú)立的定義例例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記張，記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可見(jiàn)可見(jiàn), P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說(shuō)明事件說(shuō)明事件A、B獨(dú)立獨(dú)立.問(wèn)事件問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B

3、)=26/52=1/2 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 那么那么 由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 說(shuō)明事件說(shuō)明事件A、B獨(dú)立獨(dú)立. 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義往

4、往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立去判斷兩事件是否獨(dú)立. 由于由于“甲命中并不影響甲命中并不影響“乙命中的乙命中的概率，故認(rèn)為概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？例如例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率）的概率） 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設(shè)件，設(shè) Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨(dú)立獨(dú)立. 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到因?yàn)榈诙纬槿〉?/p>

5、結(jié)果受到 第一次抽取的影響第一次抽取的影響.又如：又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響不受第一次抽取的影響.若抽取是無(wú)放回的，則若抽取是無(wú)放回的，則A1與與A2不獨(dú)立不獨(dú)立.請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨(dú)立不獨(dú)立.反之，若反之，若A與與B獨(dú)立，且獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0, 則則A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨(dú)立不獨(dú)立我們來(lái)計(jì)算：我們來(lái)計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即S 問(wèn)：能否在樣本空間

6、問(wèn)：能否在樣本空間S中找兩個(gè)事件中找兩個(gè)事件,它們它們既相互獨(dú)立又互斥既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是這兩個(gè)事件就是 S和和P( S) =P( )P(S)=0 與與S獨(dú)立且互斥獨(dú)立且互斥s不難發(fā)現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨(dú)立與任何事件都獨(dú)立.設(shè)設(shè)A、B為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是：下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且為獨(dú)立事件，且P(A)0,P

7、(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是：下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).B=P(A)1- P(B)= P(A) P( )= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B獨(dú)立獨(dú)立故故A與與 獨(dú)立獨(dú)立 . B概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)= P(A)- P(A) P(B)證明證明: 僅證僅證A與與 獨(dú)立獨(dú)立B容易證明容易證明,若兩事件若兩事件A、B獨(dú)立，那么獨(dú)立，那么 BABABA與與與,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.二、多個(gè)事件的獨(dú)立性二、多個(gè)事件的獨(dú)立性

8、將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件： 對(duì)于三個(gè)事件對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，假設(shè)，假設(shè) P(AB)= P(A)P(B) 四個(gè)等式同時(shí)四個(gè)等式同時(shí) P(AC)= P(A)P(C) 成立成立,則稱事件則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨(dú)立獨(dú)立. 推廣到推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義個(gè)事件的獨(dú)立性定義,可類似寫(xiě)出：可類似寫(xiě)出：包含等式總數(shù)為：包含等式總數(shù)為：1201) 11 (32nnnnnnnnn設(shè)設(shè)A1,A2, ,An是是 n個(gè)事件，如果對(duì)任意個(gè)事件，如果對(duì)任意k(1k n),任意任意1 i1i2 2

9、)個(gè)事件個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化：對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化：例例2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問(wèn)三人中至，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號(hào)為解：將三人編號(hào)為1，2，3，三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用所求為所求為 P(A1+A2+A3)記記 Ai=第第i個(gè)人破譯出密碼個(gè)人破譯出密碼 i=1,2,3記記 Ai=第第i個(gè)人破譯出密碼個(gè)人破譯出密碼 i=1,2,312所求為所

10、求為 P(A1+A2+A3)知知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 05343325413 n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)事件設(shè)事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,那么那么）nAAAP21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()(nAPAPAP211也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立nAAA,21 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于的概率等于1減去各

11、自對(duì)立事件概率的乘積減去各自對(duì)立事件概率的乘積. 例例 3 下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件都是電路中的元件. 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工作的概率求電路正常工作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：將電路正常工作記為解：將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立，由于各元件獨(dú)立工作，有工作，有其中其中973. 0)()()(EPDPCPP(

12、C+D+E)=1-9375. 0)()(GPFPP(F+G)=1-P(W) 0.782代入得代入得ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 例例 4 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的概率分別為三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛飛 機(jī)被一機(jī)被一人擊中而擊落的概率為人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的被兩人擊中而擊落的概率為概率為0.6, 若三人都擊中若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落飛機(jī)必定被擊落, 求求飛機(jī)被擊落的概率飛機(jī)被擊落的概率. 設(shè)設(shè)B=飛機(jī)被擊落飛機(jī)被擊落 Ai=

13、飛機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)那么那么 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:依題意，依題意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1可求得可求得: 為求為求P(Ai ) , 設(shè)設(shè) Hi=飛機(jī)被第飛機(jī)被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.36