線性代數(shù)教學(xué)中M3+2教學(xué)模式的應(yīng)用

1、線性代數(shù)教學(xué)中M3+2教學(xué)模式的應(yīng)用    2012-1-14 19:03:20      作者：李玻 蔣艷 余顯志 陳星 嚴(yán)   代寫論文    【摘 要】文章闡述了線性代數(shù)教學(xué)中M32教學(xué)模式的概念，分析了M32教學(xué)模式與傳統(tǒng)教學(xué)模式的差異，探討了運(yùn)用M32教學(xué)模式應(yīng)注意的問題，并以課程內(nèi)容“矩陣的特征值與特征向量”為例，借助PAJEK軟件和MATLAB軟件具體介紹了M32教學(xué)模式在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用?！娟P(guān)鍵詞】M32教

2、學(xué)模式 PAJEK軟件 MATLAB數(shù)學(xué)軟件 學(xué)習(xí)興趣【中圖分類號】G40012 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】10069682（2011）12002903【Abstract】This article elaborates M32 teaching pattern in linear algebra, analyzing differences between M32 teaching and traditional teaching pattern, pointing some problems when using M32 teaching pattern, and introducing

3、 specifically application of the M32 teaching pattern in linear algebra by PAJEK and MATLAB software as “square matrix characteristic values and characteristic vectors” for example.【Key words】M32 teaching pattern PAJEK software MATLAB software Interesting of study線性代數(shù)是高等院校理工科各專業(yè)學(xué)生的一門必修課程，但由于該課程具有較高的

4、抽象性及較強(qiáng)的邏輯性，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程時，缺乏積極性和主觀能動性。如何充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，一直是人們努力探索的問題。筆者認(rèn)為，M32教學(xué)模式在調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面具有重要作用，如果能推廣M32教學(xué)法，一定能在提高學(xué)生素質(zhì)和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力方面收到積極效果。一、M32教學(xué)法的定義M32教學(xué)模式是一種綜合教學(xué)法。其中M代表數(shù)學(xué)英文單詞Mathematics中的首字母；“3”代表三種教學(xué)方法，分別是案例式、啟發(fā)式和歸納式教學(xué)法；“2”代表兩種教學(xué)方式，分別是多媒體與板書相結(jié)合、數(shù)學(xué)試驗(yàn)與數(shù)學(xué)軟件相結(jié)合。這里的數(shù)學(xué)軟件包括Matlab、Mathematica等常用軟件。案例教

5、學(xué)法是以案例為題材，在教師的指導(dǎo)下，運(yùn)用多種方式啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，從而達(dá)到教學(xué)目的的一種教學(xué)方法。線性代數(shù)中的案例通常是指與教學(xué)主要內(nèi)容有關(guān)的實(shí)際問題，例如：第一，在講授矩陣的逆矩陣時，可以通過密碼的編譯及破譯問題作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問題。第二，在講授矩陣的特征值與特征向量時，可以通過Google搜索網(wǎng)頁的排列順序問題作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問題。第三，在講授正交矩陣時，可以通過結(jié)構(gòu)化學(xué)中原子軌道的雜化問題作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問題。第四，在化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時，可以通過空間曲面（球面、橢圓拋物面及馬鞍面等等）作為引入，講授相關(guān)內(nèi)容后再解決該實(shí)際問題。啟

6、發(fā)式教學(xué)法是教師在教學(xué)過程中依據(jù)學(xué)習(xí)過程的客觀規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生主動、積極、自覺地掌握知識的教學(xué)方法。它是以激發(fā)學(xué)生的積極性和主動性為起點(diǎn)，讓學(xué)生開動腦筋、積極思維、主動實(shí)踐，從而掌握知識、技能、發(fā)展智力，形成一定的觀點(diǎn)。線性代數(shù)教學(xué)中啟發(fā)的方式有置疑啟發(fā)，又稱問題啟發(fā)；直觀啟發(fā)，包括演示啟發(fā)、比喻啟發(fā)以及練習(xí)輔導(dǎo)啟發(fā)。歸納式教學(xué)法是對一系列個別的具體例證或?qū)嶋H數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和討論，概括總結(jié)出一般性結(jié)論的邏輯推理，從而達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的一種教學(xué)方法。線性代數(shù)中常使用的歸納方式有：根據(jù)教材教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性進(jìn)行整體歸納，使學(xué)生了解教材內(nèi)容的概貌；根據(jù)同類型教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行橫向歸納，使學(xué)生正確理解所學(xué)基本概念和盡

7、快掌握所學(xué)基礎(chǔ)理論；對相互關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行縱向歸納，使學(xué)生能融會貫通所學(xué)基礎(chǔ)理論；根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同之處進(jìn)行差異歸納，使學(xué)生正確理解所學(xué)基本概念和基本理論。例如，對角矩陣對角化的三大步驟可以遷移到用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形中去，這是橫向歸納。二、M32教學(xué)模式與傳統(tǒng)教學(xué)模式的比較由于M32教學(xué)模式是一種綜合教學(xué)法，與灌輸式的傳統(tǒng)教學(xué)法相比，他們之間有明顯的區(qū)別，本文從以下三方面進(jìn)行分析：1教學(xué)過程的主體與溝通方式不同傳統(tǒng)的教學(xué)方法，主要是教師采取原理加例證方式對所授知識進(jìn)行講解和說明，教師是整個教學(xué)過程的主體。這種教學(xué)方法的積極之處是教師可以在有限時間內(nèi)傳授較大量的知識，節(jié)約時間，知識傳授

8、數(shù)量較高。但由于教師處于主導(dǎo)地位，由教師向?qū)W生灌輸知識，學(xué)生只是被動的接受者，因此學(xué)生對知識不能深刻的理解。M32教學(xué)模式則是由老師提出實(shí)際問題，學(xué)生自己主動分析解決問題所需要的條件；整個教學(xué)過程中，教師是一個引導(dǎo)者，學(xué)生則是主體。在溝通方面，M32教學(xué)模式可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自己去求索知識，實(shí)現(xiàn)相互啟發(fā)、充分互動，最后再加以歸納。這樣獲得的知識，理解深刻，掌握全面，應(yīng)用領(lǐng)域也比較廣泛。2學(xué)生學(xué)習(xí)積極性主動不同傳統(tǒng)教學(xué)模式之下，是教師向?qū)W生灌輸知識，學(xué)生則是被動接受知識，沒有主動性，也無法提起他們學(xué)習(xí)的積極性。同時，傳統(tǒng)教學(xué)法學(xué)生只需被動的接受知識和認(rèn)真理解記憶便可，無須進(jìn)行積極的準(zhǔn)備，不能給學(xué)生

9、以足夠的激勵。因此，學(xué)生的求知狀態(tài)是消極被動的，心理準(zhǔn)備狀態(tài)也不是積極主動的。而M32教學(xué)模式則不然，它由教師向?qū)W生提出問題，要求學(xué)生通過閱讀資料，尋找解決問題的原理和方法，最后進(jìn)行交流互動等活動。如此，一方面，讓學(xué)生主動積極的參與學(xué)習(xí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；另一方面，訓(xùn)練了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。3教學(xué)目的和教學(xué)效果不同傳統(tǒng)教學(xué)主要側(cè)重于知識傳授，學(xué)生理解、掌握了知識便達(dá)到了教學(xué)目的。另外，教師只一味地傳授，所以教學(xué)效果不佳。而M32教學(xué)模式不是給學(xué)生直接講授知識，而是通過生活中的實(shí)際問題讓學(xué)生去思考解決問題所需要的條件，哪些條件是已知的，哪些又是未知的，注重的是得出結(jié)論的過程，強(qiáng)調(diào)培

10、養(yǎng)學(xué)生自我獲取知識、綜合應(yīng)用知識的能力。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新素質(zhì)。三、實(shí)施M32教學(xué)模式應(yīng)注意的問題實(shí)施M32教學(xué)法時，教師應(yīng)該重點(diǎn)把握以下三個環(huán)節(jié)：1精選教學(xué)案例M32教學(xué)模式以案例作為教學(xué)的起點(diǎn)，所以選好案例是搞好M32教學(xué)的前提和基礎(chǔ)。教師在選擇案例時要注意以下四點(diǎn)：相關(guān)性。選擇案例的目的是使學(xué)生加深對所學(xué)理論知識的理解和運(yùn)用理論知識解決實(shí)際問題的能力，因此，所選案例必須符合教學(xué)目標(biāo)。可信性。所選案例要來源于生活實(shí)際，而不是胡編亂造的。典型性。案例的典型性要求緊密圍繞所要傳授的核心內(nèi)容和基本理論選擇一些有代表性的案例，以達(dá)到使學(xué)生加深理解基本理論的目的。廣泛性。所選

11、的案例應(yīng)來源于不同的學(xué)科領(lǐng)域，以擴(kuò)展學(xué)生的知識面。2抓住學(xué)生學(xué)習(xí)心理，進(jìn)行適時的課堂啟發(fā)。學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣與他們所需要的有關(guān)。學(xué)生對新穎的、運(yùn)動變化的、有應(yīng)用價值的、通過努力能學(xué)會的知識感興趣；同時，對將來考研和工作所需要的知識更愿意去學(xué)。因此，這就需要教師選擇的案例能引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣或者是學(xué)生所需要的；其次，教師必須要進(jìn)行適時的課堂啟發(fā)引導(dǎo)；最后，要求教師的數(shù)學(xué)語言不僅要嚴(yán)謹(jǐn)、精練，而且課堂用語要流暢、生動、形象富有幽默感。這對學(xué)生有吸引力，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。3歸納要簡潔全面由于線性代數(shù)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，并且定義、定理較多，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生注意理解定義或定理

12、之間的聯(lián)系與區(qū)別，并能對所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行簡潔全面的歸納。這樣，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過程中的綜合記憶，起到強(qiáng)化對事物內(nèi)在聯(lián)系記憶的作用，為消除學(xué)習(xí)中的混淆情況創(chuàng)造了條件。四、M32教學(xué)模式的應(yīng)用下面以講授線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容中的“方陣的特征值及特征向量”為例，實(shí)際應(yīng)用M32教學(xué)模式。具體過程如下：步驟1：案例（實(shí)際問題）：Google搜索網(wǎng)頁的顯示排列順序抽象出的數(shù)學(xué)問題：網(wǎng)頁重要性的計(jì)算在當(dāng)今信息社會里，網(wǎng)絡(luò)將全世界聯(lián)系了起來。人們可以從網(wǎng)絡(luò)上獲得大量的信息，比如：要獲得2010年上海世博會的相關(guān)信息，可以在Google搜索欄里輸入“世博會”三個字，這樣便可以得到大約32000000個相關(guān)的網(wǎng)頁，

13、提問“這些網(wǎng)頁是按怎樣的順序排列顯示的呢？”讓學(xué)生思考、討論。其實(shí)，Google顯示網(wǎng)頁的順序是通過PageRank排序算法得到的。然后可以簡單介紹這種算法的起源，以引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。PageRank排序算法是由Sergey Brin和Larry Page于1998年在美國斯坦福大學(xué)創(chuàng)建的，他們認(rèn)為衡量網(wǎng)頁的重要性應(yīng)基于兩點(diǎn)：（1）得票數(shù)量：得票越多，重要性越高。（2）得票質(zhì)量：評估每個投票網(wǎng)頁的重要性，重要性較高的網(wǎng)頁投出的票被認(rèn)為具有較高的價值。網(wǎng)頁的投票是通過超鏈接產(chǎn)生的，若有一個從A到B的超鏈接，可以認(rèn)為網(wǎng)頁A向網(wǎng)頁B投了一次票。如果設(shè)矩陣的第i行，表示第i個網(wǎng)頁的投票情況；矩陣的第

14、j列，表示第j個網(wǎng)頁的得票情況；并設(shè)每個網(wǎng)頁所投出的票都為單位1。則在Pajek軟件中，對于表1所示的超鏈接就可以構(gòu)成一個簡單的網(wǎng)絡(luò)圖1，A、B、C分別表示三個網(wǎng)頁。并可以得到一個矩陣 。若xk（xk0，k1，2，3）分別表示網(wǎng)頁A、B、C的重要性，則從矩陣B的列可以得到：在得票數(shù)量方面，網(wǎng)頁A得到了網(wǎng)頁C一半的投票；網(wǎng)頁B得到了網(wǎng)頁A一半和網(wǎng)頁C一半的投票；網(wǎng)頁C得到了網(wǎng)頁A一半和網(wǎng)頁B全部的投票；在每個網(wǎng)頁的得票質(zhì)量方面，PageRank排序算法給出了一個界于0，1的阻尼系數(shù)。這樣，在綜合了網(wǎng)頁的得票數(shù)量和得票質(zhì)量后便可得到衡量網(wǎng)頁重要性的方程：即矩陣方程Axx，其中，ABT，x（x1，x

15、2，x3）T。步驟2：給出方陣特征值及特征向量的定義。定義：設(shè)A是一個n階方陣，如果數(shù)和n為非零列向量x使關(guān)系式Axx成立，那么這樣的數(shù)稱為矩陣A的特征值，非零列向量x稱為方陣A的對應(yīng)于特征值的特征向量。步驟3：引導(dǎo)學(xué)生對方陣的特征值及特征向量定義進(jìn)行剖析和說明。（1）特征值是對方陣而言的，特征向量不等于0。（2）對方程Axx變形得到（AE）x0，它是一個齊次線性方程組。所以，n階方陣A的特征值就是使齊次線性方程組（AE）x0有非零解的的值。此時啟發(fā)學(xué)生回憶齊次線性方程組（AE）x0有非零解的條件，并讓學(xué)生回答（ ）。由此引出方陣的特征方程及特征多項(xiàng)式的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式。步驟4：歸納求方陣特征

16、值及特征向量的步驟。讓學(xué)生根據(jù)自己的理解，歸納求方陣特征值及特征向量的方法和步驟，老師加以補(bǔ)充和完善。（1）計(jì)算方陣A的特征多項(xiàng)式det（AE）。（2）求出特征方程 的全部解1，2，n，它們就是方陣A的全部特征根。（3）將特征值i（i1，2，n）代入齊次線性方程組（AiE）x0求出其非零解，此解就是對應(yīng)于特征值i（i1，2，n）的特征向量。步驟5：舉例說明方陣特征值及特征向量的求解。列舉的例子要有代表性，可以是二階或是三階的方陣，但必須要考慮到方陣的特征值全為實(shí)數(shù)，包含全部不相等和部分相等的情況，也要考慮到方陣的特征值為復(fù)數(shù)的情況。步驟6：介紹利用MATLAB7.0軟件計(jì)算方陣特征值及特征向量

17、的方法。利用MATLAB7.0可以很方便地計(jì)算出方陣的特征值及特征向量，命令為V,D=eig(A)。它得到的矩陣D中主對角線上的元素為方陣A的特征值，矩陣V是由特征值所對應(yīng)的特征向量作為列構(gòu)成的。步驟7：求解引例“網(wǎng)頁重要性的計(jì)算”。在MATLAB7.0中輸入命令V,D=eig(A)可求出矩陣的特征值為：11，20.50.58×108i，30.50.58×108i11對應(yīng)的特征向量為（0.3714 0.5571 0.7428）T。所以，x3所表示的網(wǎng)頁C首先顯示出來，其后便是x2所表示的網(wǎng)頁B，最后是x1所表示的網(wǎng)頁A。2、3不在考慮范圍內(nèi)。如果幾個特征值都在0，1范圍內(nèi)，

18、則PageRank排序算法會根據(jù)管理人員預(yù)先設(shè)定的的值來排序顯示，一般取接近該閥值的特征值所對應(yīng)的特征向量作為排序的數(shù)量指標(biāo)。步驟8：講解方陣特征值及特征向量的性質(zhì)。步驟9：進(jìn)行小結(jié)?？偨Y(jié)本節(jié)課所講授的重、難點(diǎn)內(nèi)容和設(shè)計(jì)思路。使學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容有一個清晰的完整的印象。這樣，通過M32教學(xué)法的實(shí)施，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣高，學(xué)習(xí)氛圍濃，學(xué)習(xí)效果好，很好地達(dá)到了本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)。參考文獻(xiàn)1 鄭淑芬.案例教學(xué)法的作用、實(shí)施環(huán)節(jié)及需要注意的問題J.教學(xué)探索，2008（4）2 劉曉晶、吳海燕.案例教學(xué)法與創(chuàng)新人才培養(yǎng)J.黑龍江高教研究，2008（3）3 熊程.案例教學(xué)摞新J.科技情報(bào)開發(fā)與經(jīng)濟(jì)，2009（11）4 陳玉驥.啟發(fā)式教學(xué)法的應(yīng)用與基本要求J.長沙鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版），2004（9）5 魏蘭閣、岳喜玲.啟發(fā)式教學(xué)法在大學(xué)數(shù)學(xué)課中的應(yīng)用J.商場現(xiàn)代化，20056 馬健.啟發(fā)式教學(xué)法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用J.中國電子教育，2008（3）7 騫繼貴.歸納教學(xué)法在