高中數(shù)學(xué)解題思想方法技巧全集27方程開門欲擒故縱

1、數(shù)學(xué)破題36計第27計 方程開門 欲擒故縱計名釋義數(shù)學(xué)，顧名思義，是關(guān)于數(shù)的科學(xué).于是，數(shù)的運算和求值就成了數(shù)學(xué)的首要內(nèi)容.數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容函數(shù)、方程和不等式都是關(guān)于數(shù)的內(nèi)容.方程和函數(shù)是從兩個不同的方向研究數(shù)的關(guān)系.從映射的角度看問題，函數(shù)研究的是“從數(shù)到象”，而方程相反，研究的是“從象到數(shù)（原象）”.方程解題步驟：（1）設(shè)x. 對數(shù)（原象x）先作假設(shè)；（2）放x. 把這個“假”x放到函數(shù)（籠子）中去.(3)關(guān)x. 按函數(shù)解析式的運算，列出一個等式方程（籠子關(guān)閉）.(4)擒x，解這個方程，把x抓出來.典例示范【例1】 求二項式展開式中的常數(shù)項.【分析】 這是數(shù)學(xué)運算中的“求值”問題，解決問題的

2、工具是函數(shù)和方程式，為了設(shè)方程，先得找函數(shù).【解答】 由二項展開式的通項公式Tr+1=C【插語】 在n為常數(shù)的條件下，這是一個關(guān)于r的函數(shù)式T（r)=f(r)【續(xù)解】 由此得Tr+1=Cr=（-1）rCx欲Tr+1為常數(shù)，只須=0.【插語】 按“函數(shù)值”滿足的條件，轉(zhuǎn)入方程.【續(xù)解】 解方程，得r=4.故所求的常數(shù)項為T5=(-1)4C=210.【點評】 欲擒故縱是方程解題的基本策略.“欲擒”體現(xiàn)了列方程；“故縱”體現(xiàn)于將對象“放到”函數(shù)中去“入套”.【例2】 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.【解答】 令x=sin20°

3、;cos70°+sin10°sin50°，構(gòu)造與之對應(yīng)的對偶式y(tǒng)=cos20°sin70°+cos10°cos50°,則x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)=sin90°+cos40°=1+cos40° x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin

4、50°-cos10°cos50°)=sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°- +得x=，故sin20°cos70°+sin10°sin50°=.【點評】 構(gòu)造方程組，利用對偶方程組解決問題，是充分借助方程思想解題的方法之一.【例3】 已知雙曲線C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，設(shè)該雙曲線上支的頂點為A，且上支與直線y=-x相交于P點，一條以A為焦點，M(0,m)為頂點,開口向下的拋物線通過點P. 設(shè)PM的斜率為k，且k，求實數(shù)a

5、的取值范圍.【解答】 由雙曲線方程知A(0,1),則拋物線方程為 x2=-4(m-1)(y-m),由雙曲線與直線相交解得點P的坐標為(-a,a)，又因為點P在拋物線上,a2=-4(m-1)(a-m) 而MP的斜率為k=，故m=ak+a.將m=ak+a代入得a2=-4(ak+a-1) (-ak),即4ak2+4(a-1)k-a=0 根據(jù)題意,方程在區(qū)間，上有實根.令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，則其對稱軸方程為 k=<0a4. 實數(shù)a的取值范圍為,4.【點評】 根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,構(gòu)造含參數(shù)的方程,轉(zhuǎn)化為根的分布問題求解.【例4】 （）已知數(shù)列cn，其中cn=2n+3

6、n，且數(shù)列cn+1-pcn為等比數(shù)列，求常數(shù)p的值；（）設(shè)an，bn是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn=an+bn，求證：數(shù)列cn不是等比數(shù)列.【解答】 （）由題意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比數(shù)列，(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展開整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.將c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3.而當p=2時,=3; 當p=3時，=2.均適合.故滿足條件的p的值為2或3.（）假設(shè)數(shù)列cn是等比數(shù)列，則c22=c1c3，即(a2+b2)2=(

7、a1+b1)(a3+b3)，故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分別是an，bn的公比.化簡整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r.這與題設(shè)中兩數(shù)列公比不相等矛盾，因此數(shù)列cn不是等比數(shù)列.【點評】 這里選取等比數(shù)列的前三項，根據(jù)等比中項的意義列方程求出p的值，再驗證一般情況.第()問的反證法中，也是通過構(gòu)建方程獲證.對應(yīng)訓(xùn)練1.設(shè)(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a1+a3+a5= .2.已知橢圓=1(a>b>0)，A,B的橢圓上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸

8、交于點P(x0,0)，求證：.3.設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S7=7，S15=75，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn.參考答案1.分析 本式為二項式展開式中的偶數(shù)項系數(shù)和，而不是偶數(shù)項二項式系數(shù)和，不能直接用二項式系數(shù)性質(zhì)求解，但可用賦值法構(gòu)造方程求解.解：由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5令x=1得：f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 令x=-1得f (-1)=2-(-1)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 兩式相加再除以2得：a1+a3+a5=-121.2.證明 若AB的中點為M,AB的垂直平分線為l：y=k(x-x0) 由于l與x軸相交,因此k0，故kAB=.又kOM·（）=，故kOM =,OM所在直線方程為y=x,代入得x=k(x-x0).因此所證的結(jié)論變?yōu)榉匠痰慕庠跈E圓內(nèi)的取值范圍問題.故由上述方程解得x=x0. (x為點M的橫坐標)但點M在橢圓=1內(nèi)部，即-a<x0<a,解得-<x0<.點評 用方程思想解決某些范圍問題特別簡單,容易找出問題的突破口.3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和Sn=an2