圓心角定理講解

1、圓心角定理（弧、弦、圓心角關(guān)系定理 ）基本內(nèi)容:1、在同圓或等圓中,相等的圓心角 所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。2、在同圓或等圓中,3、在同圓或等圓中,如果兩條弧相等，則它們所對(duì)的 圓心角相等，所對(duì)的弦相等。如果兩條弦相等，則它們所對(duì)的 圓心角相等，所對(duì)的弧相等。在理解時(shí)要注意:前提：在同圓或等圓中；條件與結(jié)論：在 兩條弧相等；兩條弦相等；兩個(gè)圓心角相等中，只要有一個(gè)成立, 則有另外兩個(gè)成立。基本概念理解:1在同圓或等圓中，若的長(zhǎng)度=的長(zhǎng)度，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）f 的度數(shù)等于門；山所對(duì)的圓心角等于門所對(duì)的圓心角；和是等弧;；所對(duì)的弦心距等于匸口所對(duì)的弦心距。A . 1個(gè) B. 2個(gè) C

2、. 3個(gè) D . 4個(gè)2.如圖，在兩半徑不同的同心圓中,.AOB 二.A OB =60 ，則()（2題圖）C.D. V的長(zhǎng)度：的長(zhǎng)度3. 下列語(yǔ)句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等??；（4）經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸.(C) 3 個(gè) (D) 4 個(gè)4. 已知弦AB把圓周分成1: 5的兩部分，這弦 AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為5.在O O中，上的度數(shù)240，則的長(zhǎng)是圓周的份.概念的延伸及其基本應(yīng)用：1. 在同圓或等圓中，如果圓心角 BOA等于另一圓心角 COD的2倍，則下列式子中能 成立的是（）A. AB = 2CD B.

3、Sb C A<2D*XS = CD2. 在同圓或等圓中，如果 川：門，貝U AB與CD的關(guān)系是（）A . AB 2CD B . AB=2CD C . AB ： 2CD D . AB = CD3.在O O中，圓心角.AOB=90，點(diǎn)0到弦AB的距離為4,則O O的直徑的長(zhǎng)為（）A. 4 ._2 B. 8.2 C. 24 D. 164.在O 0 中,兩弦 AB : CD，0M，ON分別為這兩條弦的弦心距，則0M，ON的關(guān)A . OM ON B . OM =0N C. OM : ON D .無(wú)法確定 15已知：O 0的半徑為4cm，弦AB所對(duì)的劣弧為圓的一，則弦AB的長(zhǎng)為3AB的弦心距為 cm

4、.6.如圖，在O 0中，AB / CD，:的度數(shù)為45°,則/ COD的度數(shù)為.典型例題精析:例題1、如圖，已知：在O 0中，0A丄OB ,Z A=35 解：連結(jié)0C,在 Rt AOB 中，/ A=35 °:丄 B=55。，又 I OC=OB ,/ COB=180 ° -2/B=70 °,.的度數(shù)為 70°,/ COD=90 ° -Z COB=90 ° -70° =20 I的度數(shù)為20° .說(shuō)明：連結(jié) OC,通過(guò)求圓心角的度數(shù)求解。此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)例題2、如圖，已知：在O O中，- =2

5、 ，試判斷Z AOB與Z COD , AB與2CD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是解：ZAOB=2 Z COD , AB<2CD ,理由如下：如圖，在O O上取一點(diǎn) C '使=丨/ COD= Z DOC.爲(wèi)=2& ,住=&+跳 AB=CC . Z AOB= Z CO C =Z COD+ Z DOC =2 Z COD 又在 CD C 中，CD+DC > CC' , CC <2CD,即卩 AB<2CD. 說(shuō)明：證明兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個(gè)三角形中。此題進(jìn)一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件，在

6、“相等”問(wèn)題中的不等量.由廠=2丨可得Z AOB=2 Z COD是正確的，但由H =2 得出AB=2CD，是錯(cuò)誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力.例題3、如圖，已知：AB是O O直徑，M、N分別是 AO、BO的中點(diǎn)，CM丄AB , DN丄AB，求證:分析：要證弧相等，可以證弧對(duì)應(yīng)的弦相等，弧對(duì)應(yīng)的圓心角相等證法一：連結(jié) AC、OC、OD、BD ,/ M、N分別是 AO、BO的中點(diǎn)，CM丄AB , DN丄AB , AC= OC、OD=BD又 OC=OD , AC= BD , =一 .證法二：連結(jié)OC、OD ,1 1 M、N 分別是 AO、BO 的中點(diǎn)， OM=AO, 0N= BO ,2 2/ OA

7、=OB , OM=ON , Rt COM 也 Rt DON ,/ COA= / DOB ,=Lt .證法三、如圖，分別延長(zhǎng)/ M、N 分別是 AO、BOCM、DN 交O O 于 E、F,11的中點(diǎn)， OM=AO , ON= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,B又 CM 丄AB , DN 丄AB , CE=DF，一':丄=L匕一=丄=二，L 丄，. i =L.2 2說(shuō)明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活, 活解決問(wèn)題的能力和基本的輔助線的作法.培養(yǎng)學(xué)生靈例題4、如圖，C是O O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作弦DE，使CD = CO ,若、的度數(shù)為40&#

8、176;,求匸的度數(shù).分折：要求的度數(shù)，可求它所對(duì)的圓心角/BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過(guò)等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果.解： 連OE、OD并延長(zhǎng)DO交O O于F./ CD = CO ,/ OD = OE ,/ EOF= / E+ / ODE=80/ ODE = Z AOD = 40°./ E= / ODE = 40°.，/ BOF= / AOD = 40°,（例題4圖）B則/ BOE= / EOF + / BOF =80 ° +40 ° =120°,二的度數(shù)為120°.說(shuō)明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換 以及圓中角度的靈活變換. 例題

9、5、如圖，在O O中，直徑 AB垂直于CD并交CD于E;直徑MN交CD于F，且FO =FD =20E，求的度數(shù).解連結(jié)0D .AB _CD 于 E，且 OF =20E./ CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC=OD ,EFO =30 , EOF =60 , 又 OF =FD.FDO = FOD =15AOD =75 ,/ AND = AC.LU的度數(shù)是150 .（例題6圖）說(shuō)明：由于圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，而我們對(duì)角是比較熟悉的，所以 求弧的度數(shù)的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求它所對(duì)的圓心角度數(shù)的問(wèn)題 例題6、已知：如圖，M、N分別是O O的弦AB、CD的中點(diǎn)，AB = CD，求證：一

10、AMN = . CNM .分析：由弦 AB=CD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理，又M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，如連結(jié)OM ,ON，則有 OM = ON , OM _ AB , ON _ CD，故易得結(jié)論證明 連結(jié)OM、ON ,O為圓心，M、N分別為弦 AB、CD的中點(diǎn),OM _ AB,ON _ CD .AB 二 CDOM =ON.OMN = ONMAMN =90'-/OMN, CNM =90"/ONMAMN "CNMD說(shuō)明：有弦中點(diǎn)，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理 來(lái)證題.例題7、如圖，已知O O中，& -眈-（

11、"V , OB、OC分別交AC、DB于點(diǎn)M , N，求證：OMN是等腰三角形.分析：由川攻，攻'應(yīng)得：OM _ AC , ON _ BD ,因此，只要證明 AC二BD就可以證明 MON是等腰三角形遷陰 T ABBC= CD.二 ABC = BCD 有 AC - BD.V B J&AC的中點(diǎn)，二 OR丄AC于M，OM為弦心距.T C是BD的中點(diǎn)，:* OC丄RD于N ON為弦心距.二 OM= ONf即AOMNM腰三角形.說(shuō)明：在本題中，請(qǐng)注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用例題8、如圖，已知 AB為O O的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦 CD _ AB，作.OCD的平分線交O O于

12、P點(diǎn)，連接PA,PB.求證：PA 二 PB.證明：連結(jié)0P./ CO =OP, OCP r/OPC ./ CP是.DCO的平分線，DCP =/OCP. OP / CD. CD _ AB, OP _ AB PA = PB.PA=PB說(shuō)明：本題考查在同圓中等弧對(duì)等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是連結(jié) OP，證OP _ AB .易錯(cuò)點(diǎn)是囿于用全等三角形的辦法證明PA與PB相等而使思維受阻或證明繁雜.作業(yè):1已知O O的半徑為R，弦AB的長(zhǎng)也為R，則NAOB=，弦心距是 12.在O O中，弦AB所對(duì)的劣弧為圓的，圓的半徑為2cm，則AB=33圓的一條弦把圓分為度數(shù)的比為1:5的兩條弧，如果圓的半徑為

13、 R，則弦長(zhǎng)為 ,該弦的弦心距為4 .如圖，直徑AB _ CD，垂足為E ,-AOC =130則川的度數(shù)為, CSD的度數(shù)為5 在矩形、等腰直角三角形、圓、等邊三角形四種幾何圖形中，只有 條對(duì)稱軸的幾何圖形是 6.O O中弦AB是半徑OC的垂直平分線，則 屁片的度數(shù)為7 已知O O的半徑為5cm，喬的度數(shù)是120*，則弦AB的長(zhǎng)是&如果一條弦將圓周分成兩段弧，它們的度數(shù)之比為3:1，那么此弦的弦心距的長(zhǎng)度與此弦的長(zhǎng)度的比是9. 已知：在直徑是 10的O O中，-的度數(shù)是60°.求弦AB的弦心距.10. 已知：如圖，O O中，AB是直徑，CCLAB D是CO的中點(diǎn)，DE/ AB

14、求證：=2 '.11. 如圖，O O內(nèi)兩條相等的弦 AB與CD相交于P，求證：PB = PD12.如圖，O O1和O 02是等圓，M是兩圓心O1O2的中點(diǎn)，過(guò) M任作一直線分別交O O1于A, B，交O O2于C , D，求證:上C13.如圖，已知OO的直徑AC為20cm，匸'的度數(shù)為60 ,求弦AB的弦心距的長(zhǎng)。例 如圖，已知：在O O中，用=2 I，試判斷/ AOB與/ COD , AB與2CD之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由BCOC'分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個(gè)三角形中解：/ A0B=2 / COD, AB<

15、;2CD，理由如下：如圖，在O 0上取一點(diǎn)C '使辰丄& / COD= / DOC ' -丄=2 丨，二=I +2 =二；. AB=CC ' / AOB= / CO C'=/ COD+ / DOC '2 / COD 又在 CD C '中，CD+DC '>CC', CC' 2CD，即 AB<2CD.說(shuō)明：此題進(jìn)一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件,在“相等”問(wèn)題中的不等量由=2丨可BEFB得/ AOB=2 / COD是正確的，但由.上=2 1得出AB=2CD，是錯(cuò)誤的，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的遷移能力例 如圖，已知：

16、 AB是O O直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CM丄AB , DN丄AB ,求證：4 = L上.分析：要證弧相等，可以證弧對(duì)應(yīng)的弦相等，弧對(duì)應(yīng)的圓心角相等 證法一：連結(jié) AC、OC、OD、BD ,/ M、N分別是 AO、BO的中點(diǎn)，CM丄AB , DN丄AB , AC= OC、OD=BD又 OC=OD , AC= BD ,=一 .證法二：連結(jié)OC、OD ,11T M、N 分別是 AO、BO 的中點(diǎn)， OM=AO, 0N= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,/ CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC=OD , Rt COM 也 Rt DON，/ COA= / DOB=LL.

17、證法三、如圖，分別延長(zhǎng) CM、DN交O O于E、F ,11T M、N 分別是 AO、BO 的中點(diǎn)， OM=AO, 0N= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,又t CM 丄AB , DN 丄AB , CE=DF , 一'：丄=匕tJS =丄風(fēng) DB=1F .id 龐? ? 2 2說(shuō)明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力和基本的輔助線的作法.例 如圖，已知：在O O中，OA丄OB，/ A=35。，求 丨和乩'的度數(shù).分析：連結(jié)OC ,通過(guò)求圓心角的度數(shù)求解 解：連結(jié)OC,在 Rt AOB 中，/ A=35 °

18、;/ B=55。，又I OC=OB ,/ COB=180 ° -2/B=70的度數(shù)為 70°,/ COD=90 ° -Z COB=90 ° -70° =20° ,I的度數(shù)為20° .說(shuō)明：此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)例 如圖，C是O O直徑AB上一點(diǎn)，過(guò) C點(diǎn)作弦DE,使CD = CO,若亠 的度數(shù)為40求力的度數(shù).分折： 要求的度數(shù)，可求它所對(duì)的圓心角ZBOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過(guò)等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果.解： 連OE、OD并延長(zhǎng)DO交O O于F.丄的度數(shù)為 40°,.Z AOD=4O ° ./ CD

19、 = CO ,/ ODE = Z AOD = 40°./ OD = OE ,/ E= Z ODE = 40°. Z EOF= Z E+ Z ODE=80 ° ,Z BOF= Z AOD = 40DOAC則Z BOE= Z EOF + Z BOF =80 ° +40 ° =120°,二：的度數(shù)為 120°說(shuō)明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換典型例題五例(北京市朝陽(yáng)區(qū)試題，2002)已知：如圖，- ABC內(nèi)接于O O , AD是O O的直徑，點(diǎn)E、F分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上，EF交O O于點(diǎn)M、N，交AD于

20、點(diǎn)H , H是0D3的中點(diǎn)，加-小，EH -HF =2，設(shè).ACB=，tan, EH和HF是方程42x - k 2 x 40的兩個(gè)實(shí)數(shù)根D(1 )求EH和HF的長(zhǎng);(2)求BC的長(zhǎng)解:(1)依題意，有一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得.: - I- k 1 4 4k 0，EH HF =k 2,EH HF = 4k 0,又 EH -HF =2.由、得 k =12.當(dāng)k =12時(shí)，成立.把k =12代入原方程解得捲=8, x2 = 6 EH -8, HF =6.(2 )解法一：連結(jié) BD , . 1./ AD 是O O 的直徑， . ABD =90 .劇-贏, AD _ EF .即.AHE - AHF

21、二 90 .一 E = 1 _ .AH3在 Rt AEH 中，tan E = = tan ：=，又 EH = 8.EH4 AH =6.由勾股定理得AE =10.在 Rt AHF 中，AH 二 HF =6,由勾股定理得AF -6. 2 .AB3在 Rt ABD 中，tan 1tanBD4設(shè)AB =3m，貝U BD =4m，由勾股定理得 AD =5m.3 H 是 OD 的中點(diǎn)， AH AD.444- AD AH 6=8.3 38 5m = 8 .解得 m524八- AB = 3m . 11 分5 E =: , BAC "FAE , ABC s . ：AFE . BC ABEF 一 AF

22、.6,2AFAF6.2514分解法二：同解法一求出 AE=10 , AD =8.連結(jié)CD ./ AH -HF，且 AH _ HF ,HAF F = 45 AD為。O直徑， . ACD = 90 , . ADC 二 45 . AC = AD sin ADC = AD sin 45 = 4 . 2 . 11 分說(shuō)明：這是一道綜合性較強(qiáng)的題目， 主要考查一元二次方程的韋達(dá)定理和圓的一些知識(shí)。典型例題六例 如圖，在O O中，直徑 AB垂直于CD并交CD于E ;直徑MN交CD于F，且hfFO = FD = 2OE，求門4廠的度數(shù).解連結(jié)OD .AB _CD 于 E，且 OF =2OE.EFO =30 ,

23、 EOF =60 , 又 OF =FD.FDO "FOD =15AOD 二 75 ,打 AND = AC-W"的度數(shù)是150 .說(shuō)明：由于圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，而我們對(duì)角是比較熟悉的，所以求弧的度數(shù)的問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求它所對(duì)的圓心角度數(shù)的問(wèn)題典型例題七例 如圖，已知O O中，皿-RU -, OB、OC分別交AC、DB于點(diǎn)M , N , 求證：OMN是等腰三角形分析：由川以，笊應(yīng)得：OM _ AC , ON _ BD ,因此，只要證明AC二BD 就可以證明.MON是等腰三角形證明/ AB = BC= CD.嚴(yán)* M f二 ABC = BCD 有 AC- BD.V

24、B >AC的中點(diǎn)，二 OR丄AC于仏 OM為弦心距.T C是BD的中點(diǎn)，:* OC丄BD于N, ON為弦心距”二 OAf = ONt即厶O(píng)A4N>¥腰三角僭.說(shuō)明：在本題中，請(qǐng)注意垂徑定理基本圖形在證明中的作用典型例題八例 已知：如圖， M、N分別是O O的弦AB、CD的中點(diǎn)， AB二CD，求證： AMN = CNM .分析：由弦AB二CD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關(guān)系定理， 又M、N 分別為AB、CD的中點(diǎn)，如連結(jié)OM , ON，則有OM = ON , OM _ AB, ON _ CD , 故易得結(jié)論cBOAB、CD的中點(diǎn),D pPA=PBOP，證PA與PB

25、相等而使思維受阻或證明繁證明 連結(jié)OM、ON ,O為圓心，M、N分別為弦OM _ AB,ON _CD .AB 二 CDOM =ON.OMN =/ONM.AMN =90 - OMN,. CNM =90 - ONM.AMN CNM說(shuō)明：有弦中點(diǎn)，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理來(lái) 證題.典型例題九例 如圖，已知AB為。O的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦 CD _ AB，作.OCD的平分線交O O于P點(diǎn)，連接PA, PB.求證：PA 二 PB.證明：連結(jié)OP. CO =OP, . OCP =/OPC ./ CP是.DCO的平分線，DCP = OCP二 OP / CD.CD _ AB,

26、 OP _ AB .PA 二 PB.說(shuō)明：本題考查在同圓中等弧對(duì)等弦及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是連結(jié) OP AB .易錯(cuò)點(diǎn)是囿于用全等三角形的辦法證明雜.典型例題十例 如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于O O , AB =9,BC =1,CD =DA =8. (1)若把和交換了位置， DAB的大小是否變化？為什么？( 2)求證：.DAB =60° 。解(1)由圓的旋轉(zhuǎn)不變性知：與交換位置后，它們的和仍等于，故 化。.DAB的大小不發(fā)生變(2)當(dāng)交換位置以后(如圖 2), AB = 9, AD = BC = 8, DC = 1,則四邊形ABCD變?yōu)樯系诪?,下底為9，兩腰為8的等腰梯形。

27、作 DE _ AB于E， CF _ AB 于 F。91則 AE=BF4。2AE 在 Rt AED 中，cosA =-AD.A = 60°。即.DAB =600。A圖2n FB說(shuō)明：本題考查了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，解題關(guān)鍵是透徹理解題意并正確畫(huà)出變化后 的圖形，易錯(cuò)點(diǎn)是畫(huà)錯(cuò)或畫(huà)不出變化后的圖形。選擇題1、如圖在BOC=(A) 140ABC).(C) 130°2、下列語(yǔ)句中，(1)相等的圓心角所對(duì)的弧相等;(3)長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧；(A) 1 個(gè)中，/ A=70OC(B) 135 °(D) 125 °正確的有(B) 2 個(gè)(C)(2)平分弦的直徑垂直于弦；(4

28、)經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸.3個(gè)(D) 4個(gè)3在同圓或等圓中,立的是()如果圓心角 BOA等于另一圓心角 COD的2倍，則下列式子中能成A. AB=2CDB.喬=2 衍 G A&<2 EbD AB = CDSi4在同圓或等圓中，如果門，則AB與CD的關(guān)系是()C . AB：2CD D . AB=CDAB的距離為4,則O O的直徑的長(zhǎng)為()A. AB 2CD B . AB =2CD5在O O中，圓心角 AOB =90，點(diǎn)O到弦6在同圓或等圓中，若的長(zhǎng)度='八的長(zhǎng)度,則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()匸的度數(shù)等于 皿；"所對(duì)的圓心角等于口所對(duì)的圓心角；和匸口是等弧

29、；A . 4 . 2 B . 8、2 C . 24 D . 16，l 所對(duì)的弦心距等于 丄口所對(duì)的弦心距。C. 3個(gè)7在O O中，兩弦AB : CD , OM , ON分別為這兩條弦的弦心距，貝U OM , ON的關(guān)系 是（）A. OM ON B. OM =0N C. OM ： ON D無(wú)法確定8如圖，在兩半徑不同的同心圓中，.AOB =/AOB"=：6O，則（）C.二的度數(shù)八的度數(shù) D J二的長(zhǎng)度 的長(zhǎng)度答案:1、D ;2、A ;3. B 4. C 5. B 6. D7. A 8. C填空題1、已知弦AB把圓周分成1: 5的兩部分,這弦 AB所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)為2、在O O中，的度數(shù)240 °，則一的長(zhǎng)是圓周的3、已知：O O的半徑為4cm,1AB所對(duì)的劣弧為圓的 一，則弦AB的長(zhǎng)為3cm,AB的弦心距為cm.4、如圖，在O O中，AB / CD,為5、如圖在BOC=(A) 140ABC)(C) 130°(B)(D)6.已知O O的半徑為C中,''的度數(shù)為 45 °，則/ C