奧數(shù)題：奇數(shù)與偶數(shù)

1、9二、解答題每個方格所在的行數(shù)和列數(shù)加起來， 填81個數(shù)字中,奇數(shù)多還是偶數(shù)多？七奇數(shù)與偶數(shù)(B)年級班 姓名得分一、填空題1 五個連續(xù)奇數(shù)的和是85,其中最大的數(shù)是 ,最小的數(shù)是.2. 三個質(zhì)數(shù)匚、，如果口 >1, +工匚匚那么=.3. 已知a、b、c都是質(zhì)數(shù)，且a+b=c，那么abxc的最小值是.4. 已知a、b、c、d都是不同的質(zhì)數(shù)，a+b+c=d，那么a b c d的最小值是5. a、b、c都是質(zhì)數(shù),c是一位數(shù),且ad+c=1993,那么a+b+c=.6. 三個質(zhì)數(shù)之積恰好等于它們和的7倍,則這三個質(zhì)數(shù)為.7. 如果兩個兩位數(shù)的差是30,下面第種說法有可能是對的(1) 這兩個數(shù)的

2、和是57.(2) 這兩個數(shù)的四個數(shù)字之和是19.(3) 這兩個數(shù)的四個數(shù)字之和是14.8. 一本書共186頁，那么數(shù)字1,3,5,7,9 在頁碼中一共出現(xiàn)了 次.9. 筐中有60個蘋果,將它們?nèi)咳〕鰜?，分成偶?shù)堆，使得每堆的個數(shù)相同則有中分法.10. 從1至9這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)，填在下圖所示的六個圓圈內(nèi)使任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù).那么最多能找出 中不同的挑法來.(六個數(shù)字相同，排列次序不同算同一種)11. 在一張9行9列 在這個方格中，例如a=5+一123 45 671 3： 4匡6Z 7 8 9=10匚匚的每個方框中,分別填入加號或減號,使等式成立？13. 在八個房間中

3、，有七個房間開著燈，一個房間關(guān)著燈.如果每次同時撥動四個房間的開關(guān)，能不能把全部房間的燈關(guān)上？為什么？14. 一個工人將零件裝進(jìn)兩種盒子中，每個大盒子裝12只零件，每個小盒子 裝5只零件，恰好裝完.如果零件一共是99只，盒子個數(shù)大于10,這兩種盒子各有 多少個？答 案1. 21,13這五個數(shù)的中間數(shù)85-5=17,可知最大數(shù)是21,最小數(shù)是13.2. 2因為目1, +卜 o 所以O(shè) C這里的關(guān)鍵是明確質(zhì)數(shù)除2以外都是奇數(shù)，假如A不等于2,則它一定是奇數(shù)，那么A目 偶數(shù)，顯然這個 偶數(shù)不會是質(zhì)數(shù)所以，一定等于2.3. 30因為所有的質(zhì)數(shù)除2以外都是奇數(shù)，題中a+b=c,仿上題，由數(shù)的奇偶性可以

4、推知a=2, b, c都是質(zhì)數(shù)，根據(jù)a b c的值最小的條件，可推知b=3, c=5,所以 a b c的最小值是2 3 5=30.4. 3135在所有質(zhì)數(shù)中除2是偶數(shù)以外，其余的都是奇數(shù)，如果a, b, c,d中有一個為2,不妨設(shè)a=2,則b, c, d均為奇數(shù)，從而a+b+c為偶數(shù)，不符合條件a+b+c=d,所以 a, b, c, d都是奇數(shù).再根據(jù)a b c d的值最小的條件，可推知a=3, b=5, c=11, d=19. 因此a b c d的最小值為3 5 11 19=3135.5. 194由a b+c=1993知,a b與c奇偶性不同.當(dāng)a b為偶數(shù),c為奇數(shù)時,c的值 為3、5或7

5、,不妨設(shè)b為2,則a的值為995, 994或993.因為995、994、993 都不是質(zhì)數(shù)，所以不合題意舍去.當(dāng)a b為奇數(shù),c為偶數(shù) 時,c=2, a b=1991,1991=11 181,從而 a 的值是 11(或 181), b 的值是 181(或 11).2、11、181 均為質(zhì)數(shù)符合題意.所以 a+b+c=2+11+181=194.6. 3,5,7X xY x Z依題意,設(shè)三個質(zhì)數(shù)為X，Y，乙則X+Y+Z=7，這樣三個質(zhì)數(shù)必定 有一個質(zhì)數(shù)是7.如果X=7,則丫 Z=Y+Z+7,即丫 乙(Y+Z)=7.根據(jù)數(shù)的奇偶性：偶-奇=奇；奇-偶=奇，進(jìn)行討論.當(dāng)Y Z為偶數(shù)，Y+Z為奇數(shù)時，則

6、Y(或Z)必定是2,從而有2 3-(2+3)=1,25-(2+5)=3,211-(2+11)=9,均不符合條件.當(dāng)Y Z為奇數(shù)，Y+Z為偶數(shù)時，則Y、Z均為奇數(shù).若Y=3,Z=5,則3 5-(3+5)=7, 符合條件.所以,這三個質(zhì)數(shù)分別是3,5和7.注以上五題(題2題6)都是質(zhì)數(shù)與奇偶數(shù)的性質(zhì)求解“小、巧、活”的例子 .尤其 要注意2是所有質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)這一特征.命題者常在此涉足.7. (2)因為兩個兩位數(shù)的差是30,所以這兩個兩位數(shù)一定都是奇數(shù)，或都是偶數(shù) (因為只有偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù))，且偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+ 奇數(shù)= 偶數(shù)，所以第種說法顯然不對.因為差是30,所以它

7、們的個位數(shù)字相同，那么 相加一定是偶數(shù)；又差的十位數(shù)字是奇數(shù)，故兩個兩位數(shù)的十位數(shù)字一定是一奇 一偶.通過以個分析，可得出：兩個兩位數(shù)的四個數(shù)字相加之和肯定是奇數(shù)，而不 是偶數(shù),所以第(3)種說法也是錯的.第(2)種說法有可能對.注在排除第一種說法不對時，也可直接運用整數(shù)的奇偶性質(zhì) ：兩個整數(shù)的和與差有相 同的奇偶性，即設(shè)a, b為整數(shù),那么a+b與a- b有相同的奇偶性.證明（a+b）+（ a- b）=2 a為一偶數(shù),所以a+b與a- b的奇偶性相同.這條性質(zhì)在處理奇偶性問題中用途很廣8. 270因為1,3,5,7,9 為連續(xù)奇數(shù)，分別算出186頁總頁碼中個位、十位、百位上 出現(xiàn)的奇數(shù)次數(shù)，

8、再相加后所得的奇數(shù)總和即為數(shù)字1, 3, 5, 7, 9在頁碼中一共出現(xiàn)的總次數(shù).從1 186,個位上出現(xiàn)的奇數(shù)為186“ 2=93 （次）；從10186,十位上出現(xiàn)的奇數(shù)為10 9=90 （次）；從100186,百位上出現(xiàn)的奇數(shù)為 186-100+仁87 （次）.所以,186頁書中1,3,5,7,9在頁碼中一共出現(xiàn)了93+90+87=270次）9. 8由于“每堆個數(shù)相同”且“分成偶數(shù)堆”知本題是要求 60的偶因子的個數(shù)， 因為每個偶因子對應(yīng)于一種符合條件的分法，60的偶因子有：2, 4, 6, 10, 12, 20, 30和60,所以有8種分法.10. 17在所有質(zhì)數(shù)中，除2是偶數(shù)外,其余是

9、奇數(shù).由所給出的數(shù)字，根據(jù)數(shù)的奇偶 性質(zhì)可知，六個數(shù)必定三偶三奇間隔排列。這樣，按三個偶數(shù)的4種排列列舉如 下：824君4,7,6,5,2_?4_6_2,3,4,7,6,1, 2,9,4,1,6,5, 2,9,4,7,628,5, 2,1,4,3,8,9,-:88共四種;6,5共四種.,1,665, 2,3,4,7,6,5,9,4,7,6,5,4,9,8,5,共七種;2,3,4,9,8,244,7,6,5,8, 所以，最多能找出17種不同的排列.注也可以按照三個奇數(shù)的10種排列（例如:1_3_5_,1_3.39:2,1,6,5,8,3, 2,1,6,5,8 :蚓,1,6,5,83,4,7,6,

10、5,8,9兩種;7,139,）將偶數(shù)2,4,6,8填入空位，同樣也有17種不同的排列.實質(zhì)上，我們只要 把上述的17種排列的每一種，按適當(dāng)?shù)妮啌Q方法即得.例如，2,1,4,3,8,543,8,5,2.11. 根據(jù)自然數(shù)和的奇偶性： 奇數(shù)+ 奇數(shù)二偶數(shù)， 偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)， 奇數(shù)+偶數(shù)二奇數(shù)，知，第一行填的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)多1個,第二行填的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)少1個, 第三得填的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)多1個, 第四行填的數(shù)中偶數(shù)比奇數(shù)少1個,可見，前8行中奇數(shù)和偶數(shù)的個數(shù)一樣多，而第九行中偶數(shù)多。所以，81個數(shù)字中偶數(shù)多。12. 由題7評注知，在一個只有加減法運算的自然數(shù)式子中，如果把式子中減法運算改成加法運算

11、，那么所得結(jié)果的奇偶性不變因此無論在給出的式子每個方框中怎樣填加減號，所得結(jié)果的奇偶性，與在每個方框中都填入加號所得 結(jié)果的奇偶性一樣但是,每個方框中都填入加號所得結(jié)果是 45,是個奇數(shù).而式 子的右邊是10,是個偶數(shù).也就是說從奇偶性上判斷，要使題中式子成立是不可 能的13. 不能.先看亮著燈的房間，每個房間的開關(guān)撥奇數(shù)次為關(guān)燈，奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇 數(shù),需撥奇數(shù)次.再看關(guān)著燈的那個房間，需撥偶數(shù)次為關(guān)燈.所以,為使全部房間關(guān)燈，撥動開關(guān)總次數(shù)為奇數(shù).現(xiàn)在每次只能撥動四只開關(guān)（偶數(shù)次）,所以，撥動的總次數(shù)只能為偶數(shù).綜合以上兩方面知，不能把全部房間的燈關(guān)上.14. 根據(jù)每個大盒子裝12只零件，不管大盒子個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，由 12偶=偶,12奇二偶,可知大盒子所裝零件總只數(shù)是偶數(shù)，根據(jù)99-大