包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型

1、第20卷第3期半導(dǎo)體學(xué)報(bào)Vol.20,No.31999年3月CHINESEJOURNALOFSEMICONDUCTORSMar.,1999包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型馬玉濤李志堅(jiān)劉理天(清華大學(xué)微電子學(xué)研究所北京100084)摘要量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)于深亞微米MOSFET特性的影響隨著襯底濃度的增加和柵氧層厚度的減小而日益顯著.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:量子力學(xué)效應(yīng)能夠?qū)е麻_啟電壓明顯的漂移.本文通過比較薛定諤方程在拋物線勢(shì)壘下的數(shù)值解和三角勢(shì)壘下的解析解驗(yàn)證了MOS結(jié)構(gòu)弱反型區(qū)量子力學(xué)效應(yīng)三角勢(shì)壘近似的正確性.在計(jì)算弱反型區(qū)量化層內(nèi)子帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,提出量子化有效態(tài)密度和經(jīng)典有效態(tài)密

2、度的概念,分析了載流子在子帶中的分布情況,討論了量子力學(xué)效應(yīng)影響開啟電壓的兩個(gè)因素,并在此基礎(chǔ)上給出了開啟電壓的量子力學(xué)修正模型.該模型準(zhǔn)確地揭示了量子力學(xué)效應(yīng)影響開啟電壓的物理實(shí)質(zhì),并給出了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合的結(jié)果.EEACC:2530F,2560B1引言隨著MOS器件向深亞微米領(lǐng)域發(fā)展,按比例縮小規(guī)律要求襯底濃度不斷增大柵氧厚17-3度不斷減小.當(dāng)柵長(zhǎng)減小到0125m后,襯底濃度可達(dá)到5×10cm,柵氧厚度則下降到10nm以下1.這樣,即使在弱反型區(qū)MOS結(jié)構(gòu)硅表面也能形成很強(qiáng)的電場(chǎng).當(dāng)溝道區(qū)垂直方向電勢(shì)的變化尺度可以和電子波長(zhǎng)相比擬時(shí),溝道區(qū)出現(xiàn)量子化,能級(jí)產(chǎn)生分裂,原來連續(xù)的能帶

3、變成一系列二維子帶2,3.能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度的變化,會(huì)影響載流子的分布,從而影響到MOS器件的開啟特性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果35表明,當(dāng)襯底濃度達(dá)到5×1017cm-3時(shí),開啟電壓的漂移可達(dá)到011V以上.對(duì)開啟電壓漂移的物理實(shí)質(zhì)作深入分析并在開啟電壓的解析模型中引入量子力學(xué)效應(yīng)是非常重要的.通常對(duì)于開啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)的解析修正都是基于以下假設(shè)4,6:(1)反型區(qū)采用三角勢(shì)壘近似;(2)載流子只占據(jù)最低能帶(基帶);(3)載流子峰值濃度偏離界面將導(dǎo)致表面勢(shì)有Enz的增量(En為表面電場(chǎng),z為量子化導(dǎo)致的載流子厚度的增量).文獻(xiàn)4中給出的開啟電壓量子力學(xué)修正模型中引入了三個(gè)修正項(xiàng):第一項(xiàng)是由于分立

4、馬玉濤男,1974年出生,博士生,從事半導(dǎo)體器件物理特性、器件模型等研究李志堅(jiān)男,1928年出生,教授、中國科學(xué)院院士,從事半導(dǎo)體器件、微電子機(jī)械、系統(tǒng)集成等研究劉理天男,1947年出生,教授,從事半導(dǎo)體器件、集成傳感器、微電子機(jī)械研究1998207209收到,1998211223定稿220半導(dǎo)體學(xué)報(bào)20卷能級(jí)偏離導(dǎo)帶底造成的等效禁帶變寬,第二項(xiàng)是載流子峰值濃度偏離界面導(dǎo)致的Enz的表面勢(shì)的增量,第三項(xiàng)是襯底高摻雜引起的禁帶變窄效應(yīng)7.我們認(rèn)為以往的模型主要有下述三個(gè)問題:(1)反型層采用三角勢(shì)壘近似和載流子只占據(jù)基帶的假設(shè)的正確性需要進(jìn)行驗(yàn)證;(2)在MOS器件剛剛開啟時(shí),載流子只占空間電荷

5、區(qū)總電荷量的很小一部分,其分布導(dǎo)致Enz的表面勢(shì)的增量沒有充分的理論依據(jù);(3)高摻雜引起的禁帶變窄效應(yīng)僅僅是在導(dǎo)帶底產(chǎn)生帶尾,其對(duì)開啟電壓漂移的影響需要進(jìn)一步分析.深入分析表明:量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)開啟電壓的影響體現(xiàn)在兩個(gè)反面:一方面,電子的第一個(gè)子帶帶底高于導(dǎo)帶底,等效于禁帶變寬,減小載流子的濃度;另一方面,二維多子帶結(jié)構(gòu)相對(duì)于三維連續(xù)帶結(jié)構(gòu)的差別直接導(dǎo)致載流子分布的變化.而后者在以往的模型中都沒有考慮到.本文在耗盡近似下利用有限差分法求解薛定諤方程的基礎(chǔ)上討論了通常采用的三角勢(shì)壘近似的正確性,并從子帶結(jié)構(gòu)出發(fā)分析了量子力學(xué)效應(yīng)導(dǎo)致開啟電壓漂移的物理實(shí)質(zhì),進(jìn)而在定量分析量子力學(xué)效應(yīng)影響開啟電壓的

6、兩個(gè)因素的基礎(chǔ)上引入量子化和經(jīng)典有效態(tài)密度的概念,并給出了開啟電壓的量子力學(xué)效應(yīng)修正模型.2三角勢(shì)壘近似的正確性三角勢(shì)壘情況下求解薛定諤方程可以得到解析解2.假定勢(shì)壘為:qFszz0(z)=z<0在有效質(zhì)量近似下求解薛定諤方程:22(z)i=02+Ei+q2m3dz(1)(2)可以得到:3m3qFs󰃗2)1󰃗z-i(z)=Ai(2(Ei󰃗qFs)(3)42󰃗3其中Ei是第i個(gè)能級(jí):Ei=22m31󰃗3qFsi+2(4)(3)式中的Ai(x)為Airy函數(shù).但在實(shí)際的MOS結(jié)構(gòu)耗盡區(qū)或反型區(qū),其勢(shì)壘為拋物線型.

7、拋物線勢(shì)壘下是得不到解析解的.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論表明:載流子大部分分布在距SiO22(qFs)的范圍內(nèi).量子力學(xué)理論的分析Si界面kBT󰃗同樣得出:較低的幾個(gè)能級(jí)其能態(tài)也主要取決于勢(shì)壘底部的電勢(shì)分布.因此,在三角勢(shì)壘近似中Fs通常取表面電場(chǎng).我們?cè)趻佄锞€勢(shì)壘下用有限差分法求解薛定諤方程,并同三角勢(shì)壘近似下的解析解比較,結(jié)果在圖1中給出.圖1三角近似和拋物線近似結(jié)果比較由圖1可以看出,三角勢(shì)壘近似下的解析解和3期馬玉濤等:包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型221拋物線近似下的數(shù)值解在襯底濃度小于1018cm-3時(shí),誤差是很小的.當(dāng)襯底濃度大于1018cm時(shí),最低能級(jí)

8、仍能有非常好的近似,計(jì)算結(jié)果表明,當(dāng)襯底濃度大于1018cm-3時(shí),80%以上的載流子占據(jù)在最低能級(jí)上.因此,以三角勢(shì)壘近似來計(jì)算弱反型區(qū)的能帶結(jié)構(gòu)是合理的.3子帶結(jié)構(gòu)及電子分布模型-3量子化后的電子能態(tài)由一系列的二維子帶組成,其能帶結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密度明顯不同于經(jīng)典理論.勢(shì)壘區(qū)的電子能帶結(jié)構(gòu)的變化引起載流子分布的變化,從而影響表面達(dá)到強(qiáng)反型的條件,導(dǎo)致開啟電壓的漂移.已有的對(duì)開啟電壓的量子力學(xué)修正模型中都沒有考慮到二維能帶結(jié)構(gòu)對(duì)電子分布的影響,同時(shí)總是假定只有最低能級(jí)被電子占據(jù).我們引入有效態(tài)密度的概念來表征載流子在多個(gè)能級(jí)下的分布情況,并同經(jīng)典分布作比較,進(jìn)而導(dǎo)出開啟電壓的量子力學(xué)修正解析模型.

9、以Si(100)表面為例,量子化前的6個(gè)簡(jiǎn)并的導(dǎo)帶分裂成兩組能谷(i=1,2),其簡(jiǎn)并度分別為g=(2,4),兩種能谷的態(tài)密度分別為:Di=2i=1,2(5)式中mdei是第i個(gè)能谷的態(tài)密度有效質(zhì)量.Eij為第i個(gè)能谷的第j個(gè)能級(jí),以Eij為帶底的二維子帶上分布的電子數(shù)為:Nij=EijijDiexpkBTdE=DikBTexpkBT(6)總的載流子濃度為:Nqm=Nij=expkBTDijiBkTexpkBT(7)其中E10為第一個(gè)分立能級(jí);s為表面勢(shì).(注:式中能級(jí)Eij的值是相對(duì)于界面處導(dǎo)帶底的值).我們計(jì)算了T=300K,表面剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)最低能級(jí)上分布的電子占電子總量的比例,結(jié)果在圖

10、2中給出.由結(jié)果可以看出,電子只分布在基帶的假設(shè),在很大的濃度范圍內(nèi),并不能反映MOS結(jié)構(gòu)弱反型區(qū)的電子分布的實(shí)際情況.定義量子化有效態(tài)密度NNcqmcqm:kBTkBT=DijiBkTexp(8)則:Nqm=Ncqmexpexp-kBT(9)圖2基帶電子占電子總量的比例經(jīng)典理論下:Nclass(z)=Ncexpexp-kBTkBT(10)經(jīng)典分布的載流子濃度為:222半導(dǎo)體學(xué)報(bào)20卷Nclass=dNclass(z)dz=exp0kBTcclass0dNcexp-dzkBT(11)定義經(jīng)典有效態(tài)密度N:cclassN=0dNcexp-dzkBTkBT,另一個(gè)就是NkBT(12)則:Nclas

11、s=Ncclassexp(13)比較(9)式和(13)式可以看出:影響載流子面密度的因素有兩個(gè),一個(gè)是第一個(gè)分立能級(jí)與導(dǎo)帶底之差exp-Ncclasscqm和之間的差別.而后者正是反映電子在多個(gè)二維子帶中的分布相對(duì)于經(jīng)典分布的差異.圖3中給出了量子化有效態(tài)密度和經(jīng)典有效態(tài)密度的計(jì)算結(jié)果.從圖中可以看出,在整個(gè)濃度范圍內(nèi)Ncqm大于Ncclass,表明考慮電子在多個(gè)子帶中的分布相對(duì)于經(jīng)典分布其濃度增加了,等效為禁帶變窄.而通常文獻(xiàn)中假定的量子力學(xué)效應(yīng)引起的載流子分布的變化(峰值偏離界面)導(dǎo)致表面勢(shì)有Enz的增量,其作用等效為禁帶變寬.可見,該假定不能真實(shí)地反映量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)載流子分布的影響.文獻(xiàn)

12、4中引入高摻圖3量子化和經(jīng)典有效態(tài)密度的比較雜導(dǎo)致禁帶變窄效應(yīng)來補(bǔ)償該項(xiàng)假定引起的誤差.在下一節(jié)中可以看到:不借助高摻雜引起的禁帶變窄效應(yīng),只從量子力學(xué)效應(yīng)的物理實(shí)質(zhì)出發(fā),我們的模型給出了同樣的結(jié)果.4開啟電壓的量子力學(xué)修正模型及計(jì)算結(jié)果我們應(yīng)用前面給出的次開啟區(qū)載流子分布的量子力學(xué)模型和經(jīng)典模型計(jì)算剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)表面勢(shì)之差,并推導(dǎo)開啟電壓的量子力學(xué)修正公式.定義:(14)ENc=-kBTln(Ncqm󰃗Ncclass)則:Ncqm=Ncclassexp-ENkBT(15)(13)、(15)可得到MOS結(jié)構(gòu)Si表面剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)由于量子力學(xué)效應(yīng)而產(chǎn)比較(9)、生的表面勢(shì)的增量:

13、(EN+E10)qm(16)s=q忽略可動(dòng)電荷的影響,在耗盡近似下得到開啟電壓的量子力學(xué)修正公式為:qmVT=s1+2Coxb(17)其中:3期馬玉濤等:包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型223b=lnniq(18)在模型實(shí)際應(yīng)用中,必須簡(jiǎn)化ENc的計(jì)算.我們?cè)?×1016cm-3到3×1018cm-3范圍內(nèi)計(jì)算了ENc的值并用log(Nsub)的二次函數(shù)進(jìn)行擬合,擬合結(jié)果由圖4給出,擬合的最大相對(duì)誤差不超過3%.圖5中給出了考慮量子力學(xué)效應(yīng)(曲線(a)和不考慮量子力學(xué)效應(yīng)(曲線(b)以及量子力學(xué)效應(yīng)中只考慮單個(gè)子帶能級(jí)抬升影響(曲線(c)三種情況下,表

14、面剛剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)表面勢(shì)隨襯底濃度的變化情況.圖中可以看出,量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)于表面強(qiáng)反型的條件影響是很大的,同時(shí)可以看出:如果不考慮有效態(tài)密度的影響(即ENc),將導(dǎo)致更高的表面勢(shì),從而使開啟電壓的量子力學(xué)修正結(jié)果偏大.圖4ENc的二次曲線擬合結(jié)果我們利用擬合的結(jié)果,按照上面給出的模型計(jì)算開啟電壓的量子力學(xué)效應(yīng)修正,并與文獻(xiàn)4中給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較,結(jié)果見圖6.圖5量子化效應(yīng)對(duì)表面勢(shì)的影響圖6開啟電壓量子力學(xué)修正模型結(jié)果文獻(xiàn)4中的開啟電壓定義為給定源漏電壓(011V)和源漏電流(100nA(W󰃗L)下的柵電壓,開啟電壓的漂移量是實(shí)測(cè)結(jié)果與不考慮量子力學(xué)效應(yīng)時(shí)的模擬結(jié)果之差.可以看

15、出,不借助高摻雜導(dǎo)致禁帶變窄效應(yīng),只從量子力學(xué)效應(yīng)的物理實(shí)質(zhì)出發(fā),我們的模型具有與文獻(xiàn)4中的模型相同的準(zhǔn)確度.5結(jié)論本文首次通過對(duì)薛定諤方程的數(shù)值求解驗(yàn)證了MOS結(jié)構(gòu)弱反型下量子力學(xué)效應(yīng)分析中采用三角勢(shì)壘近似的正確性,并在分析量子化層中的子帶結(jié)構(gòu)和電子分布的基礎(chǔ)上引入224半導(dǎo)體學(xué)報(bào)20卷量子化有效態(tài)密度的概念,進(jìn)而給出了開啟電壓的量子力學(xué)修正模型.該模型首次計(jì)及了電子在多個(gè)子帶上分布的影響,反映了量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)開啟電壓的影響的真實(shí)的物理圖象,并給出了與實(shí)驗(yàn)比較吻合的結(jié)果.致謝本文作者感謝本所的楊之廉老師和田立林老師、斯坦福大學(xué)的余志平博士給予的關(guān)心和幫助,以及與陳文松同學(xué)進(jìn)行的有益的討論.參

16、考文獻(xiàn)1G.Baccaranietal.,IEEETrans.ElectronDevices,1984,31(4):452.2F.Stern,Phys.Rev.B,1972,5(12):4891.3T.Andoetal.,Rev.Mod.Phys.,1982,54:437.4M.J.VanDortetal.,IEEETrans.ElectronDevices,1992,39(4):932.5S.Jallepallietal.,IEEETrans.ElectronDevices,1997,44(3):297.6M.J.VanDortetal.,Solid2StateElectron.,1994,

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18、3November1998AbstractWithincreasingofthesubstratedopantconcentrationanddecreasingofthegateoxidethickness,theinfluenceofQuantumMechanicalEffects(QME)ondeep2submicronMOSFETcharacteristicsaregettingmoreandmoresignificant.ExperimentsresultsshowthatQMEcanresultinnoticeablethresholdvoltage(Vth)shift.Inthi

19、spaper,numericalsolutionwithparabolicpotentialwellandanalyticalsolutionwithtriangularwellarecompared,andthevalidityoftriangularwellapproximationisdemonstrated.Basedonthecalculationofthesubbandstructureinthequantizedregioninweakinversionregime,theconceptsofQuantumEffectiveStateDensityandClassicalEffe