分子擴(kuò)散平均速率公式推導(dǎo)及模擬驗(yàn)證 大學(xué)物理論文

1、分子擴(kuò)散平均速率公式推導(dǎo)及模擬驗(yàn)證Allen（080102*）（東南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 南京 211189）摘要1： 從單個(gè)氣體分子入手，把分子速度看為平均自由程與每次碰撞的比值，利用分子運(yùn)動(dòng)的速率推算分子擴(kuò)散速率，將分子高頻碰撞的問(wèn)題降級(jí)成為某數(shù)的指數(shù)，并且研究每上升整數(shù)次冪碰撞移動(dòng)的距離與之前的關(guān)系，找到遞推公式，并且寫(xiě)出時(shí)間位移公式。利用Excel軟件模擬有限次碰撞，在一定范圍內(nèi)驗(yàn)證遞推公式，并確定遞推公式中一個(gè)常數(shù)的大致范圍（暫命名為指數(shù)擴(kuò)散速率衰減系數(shù)）。關(guān)鍵詞： 擴(kuò)散速率； 單個(gè)分子； 速率衰減； Excel； 模擬驗(yàn)證 Molecular Diffusion&#

2、160;Speed Equation Derivation and Simulation VerificationAllen Chen (Automation, Southeast University, Nanjing 211189Abstract: I started from a single gas molecule, saw the speed of the molecular mean as the ratio of  free path and each col

3、lision. I used the rate of molecular motion to calculate molecular diffusion rate, downgraded problem of high frequency collisions of molecular as indices of a number. And I researched the changing after rose integer power, searched for the relation

4、and found the recursive formula. And I wrote out time-shift formula. Then I used Excel software simulation of limited times of collision and tested the formula in a certain range. And I confirmed the approximate range of a constant in the formula.

5、60;key words: diffusion rate; a single molecule; decay of  rate; Excel; simulation verification由氣體動(dòng)理論的相關(guān)知識(shí)，我們可以推算得到，氣體分子的平均速率很快，跟聲速是一個(gè)數(shù)量級(jí)的，但是我們打開(kāi)一個(gè)酒瓶，卻不能在瞬間聞到酒香，要在相對(duì)更長(zhǎng)的時(shí)間之后才會(huì)聞到，即氣體分子擴(kuò)散速率比平均速率小得多，那么究竟擴(kuò)散速率有多大呢？和平均速率滿(mǎn)足什么樣的什么關(guān)系？我將利用化簡(jiǎn)模型的思想，輔以軟件進(jìn)行模擬驗(yàn)證。推算出氣體分子擴(kuò)散滿(mǎn)足的位移時(shí)間關(guān)系方程，繪制單分子在二

6、維擴(kuò)散中的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡圖，定量地確定氣體分子擴(kuò)散的情況?；卮鹨陨蟽蓚€(gè)問(wèn)題。作者簡(jiǎn)介： Allen，1992年，男，本科生 jscwl1理想氣體的平均平動(dòng)速度麥克斯韋氣體分子速率分布定律： 麥克斯韋提出氣體分子的速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為。計(jì)算積分平均值可得到氣體分子的平均平動(dòng)速度為： 。由此公式計(jì)算所得的幾種氣體分子在300K溫度下的平均平動(dòng)速率如下表所示：氣體v(m/s氫1774氦1266氮478水蒸氣596氧446二氧化硫316這樣的速度已經(jīng)達(dá)到聲速級(jí)別，但是我們聞到酒香的時(shí)間卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于聽(tīng)到瓶塞打開(kāi)的聲音。很早以前，克勞修斯提出分子碰撞的問(wèn)題解決了人們的疑惑，因?yàn)榉肿訒?huì)和空間中分布的數(shù)密度

7、很大的其他分子發(fā)生很多次碰撞，才傳播出去，從而使分子經(jīng)歷了十分曲折的路徑，導(dǎo)致氣體分子平均速率很大但是擴(kuò)散速度卻很小。然而克勞修斯卻沒(méi)有給出分子擴(kuò)散速度與分子平均速率之間滿(mǎn)足什么樣的數(shù)量關(guān)系。所以我們?nèi)匀徊恢榔骄俾屎蛡鞑U(kuò)散速率到底相差多少。2理論推理氣體分子擴(kuò)散速率2.1氣體分子碰撞模型的建立與簡(jiǎn)化由氣體分子平均碰撞次數(shù)： 計(jì)算公式可以算得到空氣中任何一個(gè)分子每秒之內(nèi)都會(huì)和其他分子發(fā)生約65億次碰撞，每次碰撞都會(huì)對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)引起變化，其速度的大小和方向都是不確定的，而且碰撞次數(shù)如此眾多，難以研究。以下是我的簡(jiǎn)化方式：因?yàn)榭紤]到分子眾多，先研究單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)軌跡，假設(shè)每個(gè)分子都是質(zhì)量相同的

8、小球，根據(jù)動(dòng)量守恒定力，碰撞發(fā)生前后兩個(gè)分子會(huì)互換速度，那么只要將一個(gè)分子按照碰撞發(fā)生的頻率隨機(jī)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即可。而且為了方便研究，首先研究二維擴(kuò)散。對(duì)于如此巨大的碰撞次數(shù)N，將其視為或者，即2的指數(shù)次和10的指數(shù)次。2.2氣體分子擴(kuò)散距離的遞推公式推導(dǎo)假設(shè)分子平均自由程為，則發(fā)生一次碰撞的兩段位移在二維坐標(biāo)中的表示為如圖所示的圖形。 其中，表示碰撞前的位移；表示碰撞后的位移(；到發(fā)生第二次碰撞之前的位移。記作，而將記作。以此類(lèi)推，如果發(fā)生3次碰撞，即有4段自由程，則將其視為兩個(gè)兩段自由程的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的疊加，將其記為，即滿(mǎn)足一個(gè)遞推公式=*2，為二指數(shù)衰減系數(shù)。所以，通項(xiàng)公式為=（注：式中的即）

9、2.3二指數(shù)衰減系數(shù)的理論推算如圖1所示，的終點(diǎn)落在以終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周上，所以也就落在這樣的范圍內(nèi)。，=0.63662在三維坐標(biāo)中也可以得到類(lèi)似的結(jié)論,以下為簡(jiǎn)單推導(dǎo)過(guò)程(思路和二維坐標(biāo)中類(lèi)似：引入和兩個(gè)參數(shù)并將自由程設(shè)為1；第一次運(yùn)動(dòng)到(0,0,1的位置，下一個(gè)位置在一個(gè)球面上，用和表示這些點(diǎn)的坐標(biāo)如下：2.4氣體分子擴(kuò)散位移-時(shí)間理論表達(dá)式由2.3中求得，易得=，其中，;；又；容易推得，分子量為29的空氣在300K，101kpa的近似公式：(m該公式的x-t圖像如下：圖2同理可得；按十指數(shù)遞增的擴(kuò)散公式為：= ，其中；。又可以將10次自由程視為次2次自由程的累加，故的理論值為。一樣

10、可以推算我們已經(jīng)得到的計(jì)算公式。但是我們注意到，如果按照這個(gè)模型運(yùn)作的話，正常的氣體在空氣中擴(kuò)散的速度很慢很慢，一百秒才擴(kuò)散了不到1mm的距離，下面我要通過(guò)軟件模擬及統(tǒng)計(jì)計(jì)算來(lái)對(duì)二指數(shù)衰減系數(shù)進(jìn)行測(cè)定。3 Excel模擬分子擴(kuò)散測(cè)3.1Excel表格數(shù)據(jù)的建立A列生成0到的隨機(jī)數(shù)，BC列記錄第一列對(duì)應(yīng)的余弦正弦值作為隨機(jī)位移矢量，DE列為位移向量的疊加作為位置矢量，由DE作為橫縱坐標(biāo)可以得到單分子布朗運(yùn)動(dòng)的折線圖；對(duì)DE列最后一組數(shù)字代表的位移進(jìn)行計(jì)算可以逆推。3.2Excel運(yùn)動(dòng)模擬以及衰減系數(shù)的測(cè)定按照3.1中所述的方法進(jìn)行模擬可得到單分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，如下為進(jìn)行千次、萬(wàn)次碰撞模擬的

11、軌跡圖：圖3圖4碰撞改變運(yùn)動(dòng)方向次的位移，可以通過(guò)該公式=計(jì)算得到指數(shù)衰減系數(shù)，再由可以推知此次模擬的二指數(shù)衰減系數(shù)，與理論值0.63662進(jìn)行對(duì)比。如下面三張圖所示為千次、萬(wàn)次、十萬(wàn)次碰撞的一百次模擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖：圖5圖6圖7由上圖可以看出，隨著碰撞次數(shù)的增多，平均二指數(shù)衰減系數(shù)在0.7上下浮動(dòng)，而數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的千次、萬(wàn)次、十萬(wàn)次碰撞所測(cè)算而得的二指數(shù)衰減系數(shù)平均值為0.68095、0.69502、0.69366；這與理論值0.63662相差較大。原因在于用一次碰撞來(lái)簡(jiǎn)化巨大次數(shù)的碰撞時(shí)有某些情況的缺漏。如果有很多段自由程，此模型無(wú)法模擬如此龐大數(shù)據(jù)量的可能性。3.3公式的修正以及模型的改善將帶入

12、原先公式計(jì)算可以得到修正公式：（m），該修正公式的x-t圖像如下：圖8由圖可以看出，修正公式（本質(zhì)是修正二指數(shù)衰減系數(shù)）之后曲線更加上揚(yáng)，根據(jù)圖像反映的信息可以得出，100秒內(nèi)氣體在空氣中大約可以前進(jìn)3cm，這比原先的不足1mm更加接近實(shí)際情況。3.4推斷與猜想由以上公式推導(dǎo)和修正以及二指數(shù)衰減系數(shù)的理論推導(dǎo)與實(shí)際模擬測(cè)量可以展開(kāi)猜想，在將模型降次簡(jiǎn)化的時(shí)候也省略了一些可能性，所以進(jìn)行越多次數(shù)的模擬越容易得到接近事實(shí)的結(jié)果。反言之，如果利用實(shí)際情況中的多次測(cè)量也會(huì)得到更加精確的指數(shù)衰減系數(shù)。4結(jié)束語(yǔ)利用碰撞自由程數(shù)降次將問(wèn)題簡(jiǎn)化，推導(dǎo)出氣體擴(kuò)散速度理論公式，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證有一定的缺陷，又由試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)帶入公式，對(duì)公式進(jìn)行修正得到與事實(shí)吻合更好的公式，但