第四章_二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)ppt課件

1、數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)1 1 二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類第四章第四章 二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程 的分類與總結(jié)的分類與總結(jié)3 3 三類方程的比較三類方程的比較數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié) 在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動(dòng)方程、在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特?zé)醾鲗?dǎo)方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特殊，它們是二階線性偏微分方程的三個(gè)典型代表。一殊，它們是二

2、階線性偏微分方程的三個(gè)典型代表。一般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對(duì)這三類方程的研究中得到。本章中，我們往可以從對(duì)這三類方程的研究中得到。本章中，我們將以這三類方程的知識(shí)為基礎(chǔ)，研究一般形式的二階將以這三類方程的知識(shí)為基礎(chǔ)，研究一般形式的二階線性偏微分方程，并對(duì)這三類方程的性質(zhì)進(jìn)行比較深線性偏微分方程，并對(duì)這三類方程的性質(zhì)進(jìn)行比較深入的分類和總結(jié)。入的分類和總結(jié)。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)1.1 1.1 兩個(gè)自變量的方程兩個(gè)自變量的方程1 1 二階線性偏微

3、分方程的分類二階線性偏微分方程的分類1.2 1.2 兩個(gè)自變量的二階線性兩個(gè)自變量的二階線性 偏微分方程的化簡(jiǎn)偏微分方程的化簡(jiǎn)1.3 1.3 方程的分類方程的分類數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)1 1 二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類1 . 4221221211fcuububuauauayxyyxyxx 遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我們先研究?jī)蓚€(gè)自變量的二階線性偏微遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我們先研究?jī)蓚€(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類問(wèn)題。分方程的分類問(wèn)題。 前面遇到的一維熱傳導(dǎo)方程、弦振動(dòng)方程和二維拉普拉斯

4、方程都是兩個(gè)前面遇到的一維熱傳導(dǎo)方程、弦振動(dòng)方程和二維拉普拉斯方程都是兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程。不過(guò)它們的形式特殊，若用自變量的二階線性偏微分方程。不過(guò)它們的形式特殊，若用(x,y)記自變量，記自變量，一般的二階線性方程總可以寫(xiě)成如下的形狀一般的二階線性方程總可以寫(xiě)成如下的形狀1-1 1-1 兩個(gè)自變量的方程兩個(gè)自變量的方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié) 在前面弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法在前面弦振動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法(行波法行波法)的學(xué)習(xí)中，我們已看到變量的學(xué)習(xí)中，我們已看到變量變換的意義。變換是研究微分方程的一個(gè)有效手段

5、，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q往往變換的意義。變換是研究微分方程的一個(gè)有效手段，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q往往可以把復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，把不易求解的方程轉(zhuǎn)化為容易求解的?？梢园褟?fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的，把不易求解的方程轉(zhuǎn)化為容易求解的。方程方程(4.1)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)稱為它的主部。現(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到稱為它的主部?，F(xiàn)在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化。2 . 42221211yyxyxxuauaua1-1 1-1 兩個(gè)自變量的方程兩個(gè)自變量的方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)1-2 1-

6、2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)設(shè)設(shè)(x0,y0)是區(qū)域是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)對(duì)方程內(nèi)一點(diǎn)，在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)對(duì)方程(1)進(jìn)行簡(jiǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)化。為此我們作下面的自變量變換化。為此我們作下面的自變量變換3 . 4),(),(yxyx在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微在高等數(shù)學(xué)中，我們已經(jīng)知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微的，且雅可比行列式的，且雅可比行列式4 . 4),(),(xxyxyxDDJ數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)在在(x0,y0)點(diǎn)不為零，那么在點(diǎn)點(diǎn)不為零，那

7、么在點(diǎn)(x0,y0)的鄰域內(nèi)，變換的鄰域內(nèi)，變換(4.3)是是可逆的，也就是存在逆變換可逆的，也就是存在逆變換5 . 4),(),(yyxx也就是說(shuō)，方程也就是說(shuō)，方程(4.1)可以采用新的自變量可以采用新的自變量,表示為表示為6 . 4221221211fucububuauaua運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則22212211112yyxxaaaa7 . 4)(22121112yyxyyxxxaaaa22212211222yyxxaaaa1-2 1-2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程

8、的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)注意到注意到(4.7)的第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，因而，如果的第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，因而，如果我們能選擇到方程我們能選擇到方程8 . 40222212211yyxxaaa的兩個(gè)函數(shù)無(wú)關(guān)的解的兩個(gè)函數(shù)無(wú)關(guān)的解1(x,y)和和2(x,y)，那么，將變換取為，那么，將變換取為=1 (x,y)和和=2 (x,y)，方程，方程(4.6)的系數(shù)的系數(shù) 。002211aa； 這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化方程這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化方程(4.1)的主部的目的。下面考察這種的主部的目的。下面考察這種選取的可能性。選取的可能性。1-2 1-2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的

9、化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié) 我們知道，方程我們知道，方程(4.8)的求解可以轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在的求解可以轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線問(wèn)題：平面上的積分曲線問(wèn)題：9 . 402)(2212211adxdyadxdya設(shè)設(shè)1(x,y)=c 是方程是方程(4.9)的一族積分曲線，則的一族積分曲線，則z=1(x,y)是方程是方程(4.8)的一個(gè)解。稱方程的一個(gè)解。稱方程(4.9)的積分曲線為方程的積分曲線為方程(4.8)的特征線，的特征線，方程方程(4.9)有時(shí)也稱為

10、方程有時(shí)也稱為方程(4.8)的特征方程。的特征方程。顯然方程顯然方程(4.9)可以分解為兩個(gè)方程可以分解為兩個(gè)方程11. 4/ )(10. 4/ )(1122112121211221121212aaaaadxdyaaaaadxdy1-2 1-2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)這樣根據(jù)這樣根據(jù) 的符號(hào)不同，我們可以選取相應(yīng)的的符號(hào)不同，我們可以選取相應(yīng)的變換代入方程變換代入方程(4.6) ，從而得到不同的化簡(jiǎn)形式，從而得到不同的化簡(jiǎn)形式2211212aaa

11、, 02211212aaa12. 41111DuCuBuAuu, 02211212aaa13. 41111DuCuBuAu, 02211212aaa14. 4DCuBuAuuu這三個(gè)方程分別稱為二階線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。這三個(gè)方程分別稱為二階線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。1-2 1-2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié) 由前面的討論可知，方程由前面的討論可知，方程(4.1)通過(guò)自變量的可逆變換通過(guò)自變量的可逆變換(4.3)化為那一種化為那一種標(biāo)準(zhǔn)形式，主要決

12、定于它的主部系數(shù)。也就是說(shuō)由標(biāo)準(zhǔn)形式，主要決定于它的主部系數(shù)。也就是說(shuō)由l,m平面上的二次曲線平面上的二次曲線的性質(zhì)而定。由于這個(gè)曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應(yīng)的性質(zhì)而定。由于這個(gè)曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應(yīng)地定義方程在一點(diǎn)的類型如下：地定義方程在一點(diǎn)的類型如下：若方程若方程(4.1)的主部系數(shù)的主部系數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域中某一點(diǎn)中某一點(diǎn)(x0，y0)滿足滿足02),(22212211malmalamlQ221211,aaa則稱方程在點(diǎn)則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是雙曲型的；是雙曲型的；, 02211212aaa, 02211212aaa, 02211212aaa則稱方

13、程在點(diǎn)則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是橢圓型的。是橢圓型的。則稱方程在點(diǎn)則稱方程在點(diǎn)(x0，y0)是拋物型的是拋物型的;相應(yīng)地，相應(yīng)地， (4.12)、(4.13)和和(4.14)這三個(gè)方程分別稱為雙曲型、這三個(gè)方程分別稱為雙曲型、拋物型和橢圓型拋物型和橢圓型(二階線性二階線性)偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。1-3 1-3 方程的分類方程的分類數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)如果方程在區(qū)域如果方程在區(qū)域中每一點(diǎn)上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域中每一點(diǎn)上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域中是雙中是雙曲型的。類似的，對(duì)橢圓

14、型和拋物型也有同樣的定義。如果一個(gè)方程在區(qū)曲型的。類似的，對(duì)橢圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個(gè)方程在區(qū)域域中的一部分區(qū)域表現(xiàn)為雙曲型，在另一部分表現(xiàn)為橢圓型，而在分界面中的一部分區(qū)域表現(xiàn)為雙曲型，在另一部分表現(xiàn)為橢圓型，而在分界面上表現(xiàn)為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域上表現(xiàn)為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域中稱為混合型的。中稱為混合型的。舉例：舉例：容易看出，如果點(diǎn)容易看出，如果點(diǎn)(x0，y0)上方程上方程(4.1)表現(xiàn)為雙曲型或橢圓型，那么一定表現(xiàn)為雙曲型或橢圓型，那么一定存在該點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)是雙曲型或橢圓型的。但如果存在該點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)是雙曲型或橢

15、圓型的。但如果這個(gè)點(diǎn)上方程這個(gè)點(diǎn)上方程(4.1)表現(xiàn)為拋物型，則不一定存在一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)表現(xiàn)為拋物型，則不一定存在一個(gè)領(lǐng)域，使方程在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)表現(xiàn)為拋物型。領(lǐng)域內(nèi)表現(xiàn)為拋物型。按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動(dòng)方程是雙曲型的，一維熱傳按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動(dòng)方程是雙曲型的，一維熱傳導(dǎo)方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經(jīng)知道，導(dǎo)方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經(jīng)知道，以上三種方程描述的自然現(xiàn)象的本質(zhì)不同，其解的性質(zhì)也各異。這也從側(cè)以上三種方程描述的自然現(xiàn)象的本質(zhì)不同，其解的性質(zhì)也各異。這也從側(cè)面說(shuō)明了我們對(duì)二階線性偏微分方程

16、所進(jìn)行的分類是有其深刻的原因的。面說(shuō)明了我們對(duì)二階線性偏微分方程所進(jìn)行的分類是有其深刻的原因的。例如，空氣動(dòng)力學(xué)中，對(duì)于定常例如，空氣動(dòng)力學(xué)中，對(duì)于定常Euler方程而言，它在亞音速流動(dòng)中表現(xiàn)為方程而言，它在亞音速流動(dòng)中表現(xiàn)為橢圓型方程，在超音速流動(dòng)中表現(xiàn)為雙曲型，在跨音速流動(dòng)中表現(xiàn)為混合橢圓型方程，在超音速流動(dòng)中表現(xiàn)為雙曲型，在跨音速流動(dòng)中表現(xiàn)為混合型。而對(duì)于非定常型。而對(duì)于非定常Euler方程而言，它始終表現(xiàn)為雙曲型。方程而言，它始終表現(xiàn)為雙曲型。02222yuxuy1-3 1-3 方程的分類方程的分類數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的

17、分類與總結(jié)例題：把方程例題：把方程0=+2+22yyxyxxuyxyuux分類并化為標(biāo)準(zhǔn)形式分類并化為標(biāo)準(zhǔn)形式 解：該方程的解：該方程的04)2(222yxxy故該方程是拋物型的。故該方程是拋物型的。顯然，該方程的特征方程為：顯然，該方程的特征方程為：0)(2)(222ydxdyxydxdyxxydxdy從而得到方程的一族特征線為：從而得到方程的一族特征線為：xdxydyxylnlnCyx/作自變量代換作自變量代換yxy;( (由于由于和和必須函數(shù)無(wú)關(guān)必須函數(shù)無(wú)關(guān), ,所以所以宜取最宜取最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式簡(jiǎn)單的函數(shù)形式, ,即即=x =x 或或=y)=y)于是，原方程化簡(jiǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：于是，原

18、方程化簡(jiǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：0u1-3 1-3 方程的分類方程的分類數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)練習(xí)題：例1、2，P 100101； 習(xí)題2、3，P 102103。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)1.1 1.1 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理3 3 三類方程的比較三類方程的比較1.2 1.2 解的性質(zhì)的比較解的性質(zhì)的比較1.3 1.3 定解問(wèn)題的提法比較定解問(wèn)題的提法比較數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的

19、分類與總結(jié) 現(xiàn)在我們以前面各章對(duì)三類典型方程的研究為基現(xiàn)在我們以前面各章對(duì)三類典型方程的研究為基礎(chǔ)，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種礎(chǔ)，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種不同類型的方程的解的性質(zhì)、定解問(wèn)題的提法等方面不同類型的方程的解的性質(zhì)、定解問(wèn)題的提法等方面進(jìn)行分析和總結(jié)。我們將看到：這三類方程在其系數(shù)進(jìn)行分析和總結(jié)。我們將看到：這三類方程在其系數(shù)的代數(shù)性質(zhì)上的差別實(shí)際上反映著許多本質(zhì)的差異。的代數(shù)性質(zhì)上的差別實(shí)際上反映著許多本質(zhì)的差異。3 3 三類方程的比較三類方程的比較數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)3

20、 3 三類方程的比較三類方程的比較3-1 3-1 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理共性共性 線性方程的共性是滿足疊加原理。線性方程的共性是滿足疊加原理。 前面的學(xué)習(xí)中，我們多次利用疊加原理把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)前面的學(xué)習(xí)中，我們多次利用疊加原理把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行求解。分離變量法和齊次化原理實(shí)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行求解。分離變量法和齊次化原理實(shí)際上都是疊加原理的具體應(yīng)用。際上都是疊加原理的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)（以熱傳導(dǎo)方程為例）疊加原理I.) 1 . 3(),(合仍然是解的，它們的無(wú)

21、限線性組是如果txuk數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)疊加原理II是是下下面面方方程程的的解解設(shè)設(shè),),(3 32 21 1 ktxuk(3.3) ),( ),(222Gtxtxfxuatuk如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 1kkktxuc),(函函數(shù)數(shù)可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩次次，則則和和可可以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)一一次次，對(duì)對(duì)內(nèi)內(nèi)對(duì)對(duì)在在xtG (3.4) ),( ),(1kkktxuctxu.是非下面齊次方程的解是非下面齊次方程的解(3.5) ),( ),(0222Gtxtxfcxuatukkk數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二

22、階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)疊加原理III 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)疊加原理IV數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié) 三類典型方程在數(shù)學(xué)性質(zhì)上的差異往往是相應(yīng)的物理現(xiàn)象的三類典型方程在數(shù)學(xué)性質(zhì)上的差異往往是相應(yīng)的物理現(xiàn)象的本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)。下面我們以三類典型方程本質(zhì)差異在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)。下面我們以三類典型方程(波動(dòng)方程、波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程)為例來(lái)敘述其差別。對(duì)于一般的變?yōu)槔齺?lái)敘述其差別。

23、對(duì)于一般的變系數(shù)方程，情況更復(fù)雜一些，但類似結(jié)論仍然成立。系數(shù)方程，情況更復(fù)雜一些，但類似結(jié)論仍然成立。3 3 三類方程的比較三類方程的比較3-2 3-2 解的性質(zhì)的比較解的性質(zhì)的比較差別差別數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)1） 解的光滑性解的光滑性 對(duì)于不同類型的方程來(lái)說(shuō)，解的光滑性可以很不相同。對(duì)對(duì)于不同類型的方程來(lái)說(shuō)，解的光滑性可以很不相同。對(duì)于弦振動(dòng)方程來(lái)說(shuō)，如果初始條件中高階的導(dǎo)數(shù)不存在，那于弦振動(dòng)方程來(lái)說(shuō)，如果初始條件中高階的導(dǎo)數(shù)不存在，那么解的高階導(dǎo)數(shù)也就不存在；對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，只要初始條么解的高階導(dǎo)數(shù)也就不存在；

24、對(duì)于熱傳導(dǎo)方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無(wú)窮可微的；對(duì)于拉普拉斯方程，件是有界的，那么其解是無(wú)窮可微的；對(duì)于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。它的解的光滑性更好，其解在定義域內(nèi)都是解析函數(shù)。 課本上從物理角度對(duì)上述解的光滑性差異進(jìn)行了解釋。下課本上從物理角度對(duì)上述解的光滑性差異進(jìn)行了解釋。下面的圖形形象地反映了不同類型方程的解的光滑性。面的圖形形象地反映了不同類型方程的解的光滑性。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)2） 解的極值性質(zhì)解的極值性質(zhì) 熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但熱傳導(dǎo)方

25、程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導(dǎo)方程，區(qū)域內(nèi)極值只可能存在于邊界。至于熱傳導(dǎo)方程，區(qū)域內(nèi)部的最大值不能超過(guò)區(qū)域初始時(shí)刻和邊界面上的最部的最大值不能超過(guò)區(qū)域初始時(shí)刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因?yàn)榇笾怠ｋp曲型方程通常不存在極值原理，這是因?yàn)椴ㄔ诏B加時(shí)可以出現(xiàn)擾動(dòng)增大的情況。波在疊加時(shí)可以出現(xiàn)擾動(dòng)增大的情況。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)3） 影響區(qū)和依賴區(qū)影響區(qū)和依賴區(qū) 從影響區(qū)和依

26、賴區(qū)來(lái)看，三類方程也有很大區(qū)別。從影響區(qū)和依賴區(qū)來(lái)看，三類方程也有很大區(qū)別。波動(dòng)方程的擾動(dòng)是以有限速度傳播的，因而其影響波動(dòng)方程的擾動(dòng)是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴區(qū)是錐體狀的。對(duì)熱傳導(dǎo)方程而言，其擾區(qū)和依賴區(qū)是錐體狀的。對(duì)熱傳導(dǎo)方程而言，其擾動(dòng)傳播進(jìn)行的十分迅速，某個(gè)點(diǎn)的其影響區(qū)是該點(diǎn)動(dòng)傳播進(jìn)行的十分迅速，某個(gè)點(diǎn)的其影響區(qū)是該點(diǎn)以上的整個(gè)上半平面，依賴區(qū)是整個(gè)初始值區(qū)間。以上的整個(gè)上半平面，依賴區(qū)是整個(gè)初始值區(qū)間。拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因此不存拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因此不存在擾動(dòng)傳播的問(wèn)題。在擾動(dòng)傳播的問(wèn)題。數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)4） 關(guān)于時(shí)間的反演關(guān)于時(shí)間的反演 一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數(shù)學(xué)上反映為所一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數(shù)學(xué)上反映為所歸結(jié)出來(lái)的方程關(guān)于時(shí)間變量是否是對(duì)稱的，即以歸結(jié)出來(lái)的方程關(guān)于時(shí)間變量是否是對(duì)稱的，即以t代替代替t后方程是否不變化。后方程是否不變化。 拉普拉斯方程不存在此問(wèn)題，雙曲型方程是可逆拉普拉斯方程不存在此問(wèn)題，雙曲型方程是可逆的，熱傳導(dǎo)方程是不可逆