三節(jié)定積分換元法和分部積分法ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法一、換元積分法二、分部積分法二、分部積分法定理5.6 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，假設(shè)滿足下列條件：，ba)(,)() 1 ()(tx一、換元積分法 上述公式稱為定積分的換元積分公式，簡稱換元公式.d)()(d)(tttfxxfba(2)當t在與之間變化時， 的值在區(qū)間a,b ，且 連續(xù),那么)(t)(t，有，令因為CtFtttftxCxFxf)(d)()( )()()(. )()(d)( ,)()(aFbFxxfbaxfxFba上的一個原函數(shù)，有在為設(shè).,)(,)(上可積在上連續(xù)，所以在因baxfbaxf證明

2、，得)()( )()(d)( )( aFbFFFtttf.d)()(d)(ttxfxxfba注意：(1)定積分的換元法在換元后，積分上、下限也要作相應(yīng)的變換，即“換元必換限”.(2)在換元之后，按新的積分變量進行定積分運算，不必再還原為原變量.(3)新變元的積分限可能，也可能，但一定要求滿足 ，即 對應(yīng)于 ， 對應(yīng)于 .ba)(,)(tax tbx .d194xxxtttd )111(232例1 求，則令ttxxtxtd2d,2解，時，當時，當3924txtx3223294d1112d21d1 tttttttxxxln4.7 1ln22322ttt.dcossin204xxx例2 求，則時，當

3、時，當1200txtx104204ddcossinttxxx，則令txxtxddcossin解.5151105t204204)d(sinsindcossinxxxxx方法二205sin51x551(sin)(sin0) 5215例3 求e11+lnd .xxx解ee111+lnd(1+ln )d(1+ln )xxxxx2 e11(1ln ) |2x221(1lne)(1ln1) 23.2例4 求32211d .1xxx解 令x=tant,則dx=sec2tdt.且當x=1時, ;4t當 時,3x .3t3232221411dsec dtansec1xt tttxx324cosdsinttt32

4、41d(sin )sintt341|sint 222()23.332 . 0d)( ,)()2( ,d)(2d)( ,)() 1 ( 0aaaaaxxfaaxfxxfxxfaaxf則上連續(xù)，且為奇函數(shù)，在若則上連續(xù)，且為偶函數(shù)，在若證明例5txtxxxfadd d)(0，令對于aaaaxxfttfttfxxf0000d)(d)( d)(d)(aaaaaxxfxfxxfxxfxxf000d)()( d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(證明，有時，當時，則當00txatax.d)(2d)( 0aaaxxfxxf(1)若f(x)為偶函數(shù),即f(x)=f(x),即f(x)

5、=f(x)=2f(x)則有(2)若f(x)為奇函數(shù),即f(x)= f(x)，即f(x)+f(x)=0則有. 0d)( aaxxf 例5表明了連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間a,a上的積分性質(zhì)，即偶函數(shù)在a,a上的積分等于區(qū)間0,a上積分的兩倍；奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于零，可以利用這一性質(zhì)，簡化連續(xù)的奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算.例6 求121sind .1xxx解 因為 在區(qū)間1,1 上為奇函數(shù),所以 2sin1xx121sind0.1xxx例7 求.d1)(arctansin1122xxxx, 0d1sin 1 , 11sin1122xxxxx上為奇函數(shù)，則有在區(qū)間其中,d1)(arc

6、tand1sind1)(arctansin11221121122xxxxxxxxxx解上為偶函數(shù)，則有在區(qū)間而1 , 1122)(arctanxxxxxxxxd1)arctan(2d1)arctan(10221122.96d1)(arctansin31122xxxx)(arctand)arctan(2 102xx,9632)(arctan3103x例8 證明,dcosdsin2020 xxxxnn，則時，當時，當，則令02,20dd2txtxtxtx證明ttxxnnd2sindsin0220.dcosdcos2020 xxttnn二、分部積分法，則有、上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間設(shè)函數(shù))( )( ,)

7、(),( xvxubaxvxu. )(uvvuuv,ddd)( ,bababaxuvxvuxuvba上的定積分分別求等式兩端在.d|d bababaxvuuvxuv,| d)(babauvxuv例9 求.de102xxxxxxxxxxde2121de 102102102e代入分部積分公式，得,21ddddee22xxvxuxvxu，；，令解221011ee|24x21(e1).422111e( e)244例10 求.de10 xxe210et，則令ttxxtxtd2d,2解101010de2 de2dettxtttx，則時，當時，當1100txtxttttde221010e. 21)e (e2例11 求.darcsi