§2.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)ppt課件

1、第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2.1 隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量及分布函數(shù) 2.2離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量及其分布列 2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.5條件分布條件分布 我們討論過不少隨機(jī)試驗(yàn)，其中有些試驗(yàn)的結(jié)果就2.1 隨機(jī)變量及分布函數(shù)隨機(jī)變量及分布函數(shù)一一 隨機(jī)變量及其分類隨機(jī)變量及其分類1概念概念是數(shù)量，例如袋中有五個(gè)球三白兩黑從中任取三球，則取到的黑球數(shù)可能為0，1，2本身就是數(shù)量且黑球數(shù)隨著隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的.又如在“n重貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次這一事件的概率，若記 n重貝

2、努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，(),1.kknpnPkCp qqp 出現(xiàn)的次數(shù)0,1, 2, n 從而有有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然本身不是數(shù)量， 但也可以用數(shù)量來表示這些試驗(yàn)的結(jié)果. 重貝努里試驗(yàn)中，事件 A出則上述 “n= ）,kk這一事件可以簡(jiǎn)記為（ 次”現(xiàn)并且 的所有可能取值就是事件 A能夠p例 2.1.1 從一批廢品率為 的產(chǎn)品中有放回地 示取到廢品的次數(shù)， 那么， 的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果， 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果確定了， 的取值也就隨之確定了. 比如， 1進(jìn)行了一次這樣的隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果為 ， 即1,2,n 這一試驗(yàn)的樣本空間為 .如果用 表n次，每次取一件產(chǎn)品，考慮取到廢品的次數(shù)， 抽取. n次抽取中，

3、只有一次取到了廢品，那末 1在面的出現(xiàn)情況。這一試驗(yàn)的樣本空間為 , H T分別規(guī)定 為1和0，即： 1,0,HT當(dāng) 出 現(xiàn)時(shí)當(dāng) 出 現(xiàn)時(shí)一旦實(shí)驗(yàn)的結(jié)果確定了，的取值也就隨之確定了. 例 2.1.2 擲一枚勻稱的硬幣， 觀察正面、 背將其中H表示“正面上”， T表示“背面朝上”. 如果引入變量，對(duì)試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果， 的值從上述例子可以看出：無(wú)論隨機(jī)試驗(yàn)的機(jī)試驗(yàn)來說，在每次試驗(yàn)之前無(wú)法斷言 會(huì)出何種結(jié)果，因而也就無(wú)法確定它會(huì)取什么現(xiàn)即它的取值具有隨機(jī)性，我們稱這樣的值，事實(shí)上，隨機(jī)變量就是 為隨機(jī)變量 .變量本身與數(shù)量有無(wú)聯(lián)系，我們都 能把試驗(yàn)結(jié)果，果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，即可把試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)的結(jié) 化.由

4、于這樣的數(shù)量依賴試驗(yàn)的結(jié)果,而對(duì)隨量 隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的量. 因此可以說， 隨機(jī)變量是隨試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù).我們可以把例2.1 中的 寫成 ( ) 0,1,2,n,其中把例2.1.2 中的寫成. 1,( )0,HT 當(dāng)當(dāng) .一般的，我們有以下定義：定義 2.1.1 函數(shù),且對(duì)于任意實(shí)數(shù) ( )x ，集合一般地，用希臘字母, 或大寫英文字設(shè)E為一隨機(jī)試驗(yàn), 為它的樣本空間 , () 假設(shè)為單值實(shí)都是隨機(jī)事件， 則稱為隨機(jī)變量. 今后，在不必強(qiáng)調(diào)時(shí)，常省去，簡(jiǎn)記 ( ) 為 ，而 的集合 ()x 所表示的事件簡(jiǎn)記x為. . . XYZ， ，等表示隨機(jī)變量. 母例2.1.3 一射手對(duì)一射擊目標(biāo)連

5、續(xù)射擊，則他 中目標(biāo)的次數(shù) 為隨機(jī)變 量， 的可能取值為 0,1,2,. 命例2.1.5 考察某一地區(qū)全年的溫度的變化情況，ba某一地區(qū)的溫度 為隨 機(jī)變量， 的可能取值為 那么例2.1.4 某一公交車站每隔5分鐘有一輛汽車停位 乘客不知道汽車 到達(dá) 的 時(shí)間，則侯車靠，一的可能取值為 ,50. 隨機(jī)變量時(shí)間為例2.1.6 大炮對(duì)某一目標(biāo)射擊，彈著點(diǎn)的位),(表示出來, 這時(shí),就要用二個(gè)隨機(jī)變量來描述。 這就是 一個(gè)二維隨機(jī)變量. O),(果將大炮所在的位置看成 如原點(diǎn)建立如圖所置，坐標(biāo)系，則彈著點(diǎn)就可以用一個(gè)二維坐標(biāo) 示的 是并非任何定義在 上的函數(shù)都是隨機(jī)變量，而 對(duì)著函數(shù)有一定的要求 .

6、 定義中的要求無(wú)非是說，隨機(jī)變量與普通實(shí)函數(shù)這兩個(gè)概念之間 既有聯(lián)系又有區(qū)別,他們都是從一 個(gè)集合 到另一個(gè)集合的映射，它們的區(qū)別主要在于:普 通實(shí)函數(shù)無(wú)需做試驗(yàn)便 可依 據(jù)自變量的值確定函 數(shù)值,而隨機(jī)變量的取值在做試驗(yàn)之前是不確定的 ， 只有在做了試驗(yàn)之后，依據(jù)所出現(xiàn)的結(jié)果才能確定. 定義中要求對(duì)任一實(shí)數(shù) x()x 都是事件, 這說明 我們把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化時(shí)，不可 隨心所 欲,而是應(yīng)該合乎概率公理體系的規(guī)范.當(dāng)2隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類從隨機(jī)變量的取值情況來看,若隨機(jī)變量的可能 取值只要有限個(gè)或可列個(gè)，則稱該隨機(jī)變量為離散 型隨機(jī)變量，不是離散型隨機(jī)變量統(tǒng)稱為非離 散型 隨機(jī) 量

7、的特殊情形. 如例2.1.1-2.1.3都是離散型隨機(jī) 變量;例2.1.4-2.1.5都是連續(xù)型 隨機(jī)變量.從描述隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)來分,隨機(jī)2.1.1-2.1.4 中的隨機(jī)變量都是一維隨機(jī)變量,例可分為一維隨機(jī)變量和 多維隨機(jī)變量.如例 變量 隨機(jī)變 量是二維隨機(jī)變量.2.1.5中的二維隨機(jī)變量表示二維坐標(biāo)平面上一個(gè)隨機(jī)點(diǎn). 一維隨機(jī)變量表示坐標(biāo)軸上的一個(gè)隨機(jī)點(diǎn)， 至35歲 各自的比率 機(jī)變量來描述，例如,在某城 市中考察人口的年引入了隨機(jī)變量之后,隨機(jī)事件就可以用隨 之間的年輕人,以及不到12歲的兒童,它們?nèi)绾?從表面上看，這些 但若我們引進(jìn)一個(gè) 隨機(jī)變量 ： 表示隨機(jī)抽取一個(gè)人的年

8、齡 ； 那 末,上 別表示成 80、 1835 及 12由此可 見，隨機(jī)事件的概念是被包容在 量這個(gè)更廣的概念之內(nèi)的. 構(gòu),年齡在80歲以上的長(zhǎng)壽者,年齡介于18歲齡結(jié) 是孤立事件,述幾個(gè)事件可以分.隨機(jī)變二、一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)x1.分布函數(shù)的概念對(duì)于隨機(jī)變量 ，我們不只是看它取哪些值， 更重要的是看它以多大的概率 取那些值.由隨機(jī)變 量的定義可知，對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù) x， x都是一個(gè)事件， 因此有一個(gè)確定的概率 ()Px與 x相對(duì)應(yīng)，所以，概率 ()Px是 的函數(shù).這 個(gè) 函數(shù)在理論和應(yīng)用中都是很重要的,為此,我們有以 下定義： 2分布函數(shù)的性質(zhì)由概率的性質(zhì)可知：

9、1非負(fù)性： (,),0( )1xF x ； 2假設(shè) 12,xx那么 1221P xxF xF x（） （ ） （ ）； 留意 分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是事件 ()x概率.也就是隨機(jī)變量 落在區(qū)間 (, )x內(nèi)的概率. 的是隨機(jī)變量 的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱為分布函 數(shù)或分布.定義2.1.2 設(shè)定義在樣本空間 上的隨，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，稱函數(shù) F xPxx（ ） （），（- ，+ ）機(jī)變量由于 21()(),xx所以 1221xxxx（）=，進(jìn)一步有 1221()()()P xxF xF x由性質(zhì)2)得 3單調(diào)性：假設(shè) 12xx,那么 12F xF x（ ） （ ）； 4極限性： lim0 lim( )()

10、1xxF xFF xF （ ） （），lim( )lim( ), lim( )lim( )xmxnF xF mF xF n都存在，又由概率的完全可加性有1( )( )1)( )1)nnPP U nwnP nn lim( )1)lim( )lim( )nnnmi mmP iiF nF m 所以lim( )1, lim( )0nmF nF m.即lim( )1, lim( )0 xxF xF x5)左連續(xù)性：)()0(xFxF證 由于 0( )1F x且 F x（ ）單調(diào), 意一點(diǎn)的左極限)0( xF必存在，為證明其左連續(xù)性，只要對(duì)某一列單調(diào)上升的數(shù)列)(,21nxxxxxnn證明 :)()(li

11、mxFxFnn成立即可.這時(shí)有111111( )( )( )( )( )nnnnnnFx FxPxxPU xxPxx )()(lim)()(lim)()(111111xFxFxFxFxFxFnnnnnnn由此可得1( )lim()(0)nnF xF xF x 證 由于( )F x是單調(diào)有界函數(shù)，其任一定可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).知道了隨機(jī)變量的分布函數(shù))(xF，不僅可以求出()x的概率而且還可以計(jì)算下述概率反過來還可以證明任一個(gè)滿足這三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)3）、4）、5是分布函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)，；)(1)(1)(xFxPxP)0()(xFxP)0(1)(xFxP()(0)( )PxF xF x)() 0()(1221xFxFxxP) 0()()(1221xFxFxxP；)0()0()(1221xFxFxxP解：設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，當(dāng)ax時(shí)，顯然有()()()0FxPxP由此可以看出，上述這些事件的概率都可以由)(xF算