彎曲變形4-ppt課件

1、彎曲變形彎曲變形概概 述述橋式起重機(jī)的大梁橋式起重機(jī)的大梁概概 述述概概 述述4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分1.1.基本概念基本概念撓曲線方程：撓曲線方程：)(xyy 由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計(jì)方向的位移忽略不計(jì)撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：dxdy tan撓曲線撓曲線yxxy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角撓度撓度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向上為正向上為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。逆鐘向?yàn)檎骁娤驗(yàn)檎?.2.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力

2、時(shí)，得到：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力對(duì)變形的影響忽略剪力對(duì)變形的影響zEIxMx)()(1 4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高階小量，得略去高階小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) bab。解解1 1由梁整體平衡分析得：由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2彎矩方程彎矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,A

3、C AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分3 3列撓曲線近似微分方程并積分列撓曲線近似微分方程并積分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEI

4、y CB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分4 4由邊界條件確定積分常數(shù)由邊界條件確定積分常數(shù)0)(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分5 5確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)(62

5、22211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分6 6確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx 7-3 7-3 用積分法求梁

6、的變形用積分法求梁的變形maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？4-4 梁的變形撓曲線微分方程及其積分梁的變形撓曲線微分方程及其積分4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形)(22xMEIydxydEI 設(shè)梁上有設(shè)梁上有n n 個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為為M(x)M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為y y，則有：，則有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，

7、則有：，則有：i iy)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 4-5故故 )( 1 niiyy由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此,1niiniiyy1重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形例例3 3 已知簡支梁受力如圖示，

8、已知簡支梁受力如圖示，q q、l l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面截面的撓度的撓度yC yC ；B B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角B B1 1將梁上的載荷分解將梁上的載荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2查表得查表得3 3種情形下種情形下C C截面的截面的撓度和撓度和B B截面的轉(zhuǎn)角。截面的轉(zhuǎn)角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形yC1yC2yC33 3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和

9、作用時(shí)的結(jié)果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形例例4 4 知：懸臂梁受力如圖示，知：懸臂梁受力如圖示，q q、l l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面截面的撓度的撓度yCyC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角C C1 1首先，將梁上的載荷變成首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長承受均為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為布載荷延長至梁的全長

10、，為了不改變原來載荷作用的效了不改變原來載荷作用的效果，在果，在AB AB 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 Cy 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形討討 論論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？ 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213 3將結(jié)果疊加將結(jié)果疊加 EIqliCiC4873212 2再將處理后的梁分解為簡單再將

11、處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計(jì)算各自載荷作用的情形，計(jì)算各自C C截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形* * * *. .剛度條件剛度條件,maxmax yy建筑鋼梁的許可撓度：建筑鋼梁的許可撓度：1000250ll機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：30001精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：50001 4-5 4-5 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形 根據(jù)要求，圓軸必須具有足根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承夠的剛度，以保證軸承B B 處轉(zhuǎn)角處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。不超過許用數(shù)值。 B1 1由撓度表中查

12、得承受集中由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁載荷的外伸梁B B 處的轉(zhuǎn)角為：處的轉(zhuǎn)角為： EIFlaB3解解例例5 5 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2 m，E=206 GPaE=206 GPa。軸承。軸承B B處的許可轉(zhuǎn)處的許可轉(zhuǎn)角角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑求確定軸的直徑d d。4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施FaFFaFB例例6 6 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，a al ml m，l l2 m2

13、m，E=206 GPaE=206 GPa。軸承。軸承B B處的許可轉(zhuǎn)處的許可轉(zhuǎn)角角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑求確定軸的直徑d d。B2 2由剛度條件確定軸的直徑：由剛度條件確定軸的直徑： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EFlaI3180 EFlad31806444-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施一一. .提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施1 1 選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的提高梁的

14、剛度的措施措施4-62 2 改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改改變變支支座座形形式式4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施2 2改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改改變變載載荷荷類類型型%5 .6212CCww4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施3 3 采用超靜定結(jié)構(gòu)采用超靜定結(jié)構(gòu)4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施3 3 采用超靜定結(jié)構(gòu)采用超靜定結(jié)構(gòu)4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施1.1.基本概

15、念：基本概念：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：從維持平衡角度而言多余約束：從維持平衡角度而言, ,多余的約束多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)比較變形，列變比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件形協(xié)調(diào)條件由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程利用利用靜力平衡條件求其他約束反力。靜力平衡條件求其他約束反力。相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)4-6 4-

16、6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施二二. .基本概念：基本概念： 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗彎求梁的支反力，梁的抗彎剛度為剛度為EIEI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1 1判定超靜定次數(shù)判定超靜定次數(shù)2 2解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)(d)ABCFByABFC0)()(ByFBFBByyy3 3進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件調(diào)條件4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提

17、高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施4 4由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy474 4由整體平衡條件求其他約束反力由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MA Ay yF F4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁

18、的剛度的措提高梁的剛度的措施施例例7 梁梁AB 和和BC 在在B 處鉸接，處鉸接，A、C 兩端固定，梁的抗彎剛兩端固定，梁的抗彎剛度均為度均為EI，F(xiàn) = 40kN，q = 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理關(guān)系物理關(guān)系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解4-6 4-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁提高梁的剛度的措提高梁的剛度的措施施FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得補(bǔ)充方