直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分ppt課件

1、YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分一、化三重積分為三次積分一、化三重積分為三次積分)(1xyy )(2xyy 如圖，如圖，,Dxoy面面上上的的投投影影為為閉閉區(qū)區(qū)域域在在閉閉區(qū)區(qū)域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過過點(diǎn)點(diǎn)Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2zYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算的的函函數(shù)數(shù)，則則只只看看作作看看作作定定值值，將將先

2、先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計計算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函數(shù)。的函數(shù)。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx留意留意相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)

3、情情形形的的邊邊界界曲曲面面區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的直直線線與與閉閉軸軸且且穿穿過過閉閉區(qū)區(qū)域域平平行行于于Sz )1(分分若若干干個個小小區(qū)區(qū)域域來來討討論論相相交交多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)時時，把把的的邊邊界界曲曲面面閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的直直線線與與軸軸且且穿穿過過閉閉區(qū)區(qū)域域若若平平行行于于 )2(SzYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算三重積分化為三次積分的過程：三重積分化為三次積分的過程：。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D )2(軸軸投投影影，得得到到向向 xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直線作直線過

4、點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事實(shí)上，事實(shí)上， dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( )2(軸軸投投影影，得得到到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事實(shí)上，事實(shí)上， ).,(),(, ),()( :211

5、1yxzzyxzdycyxxyxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdyYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算。面面上上投投影影，得得到到向向yzDyoz )1( )2(軸軸投投影影，得得到到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作作直直線線過過點(diǎn)點(diǎn)yzDzy 得到得到).,(),(21zyxxzyx 事實(shí)上，事實(shí)上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(

6、.),()()(),(),(2121 bayzyzzyxzyxdxzyxfdzdyYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算211xozy1。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .210, 10 :xyxD, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydxYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 10021 0 21 xdyxzdxyx 100221)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxx

7、xx1 0 4324132241 xxx.481 于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx( , ) ,x yDz 過過點(diǎn)點(diǎn)作作平平行行與與軸軸的的直直線線得到得到.210yxz YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算解解, 122 yxYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算.),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因因此此，YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算oxyz12DYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算于是，于是， dx

8、dydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算zzDYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算解解xyzozDYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzz

9、czab222)1( .1543abc 原式原式因此，因此，YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算二、二、 三重積分的變量替換三重積分的變量替換( , , ):( , ,),( , ,),( , ,)(1)( , ,), ( , ,), ( , ,)( , , )(2)( , ,)0;( , ,)f x y zxyzVTxx u v wyy u v wzz u v wuvwVxyzVx u v wy u v wz u v wVD x y zDJ u v wD u v w 定定理理1 1設(shè)設(shè)在在空空間間上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)，變變換換將將空空間間上上的的閉閉

10、區(qū)區(qū)域域變變?yōu)闉榭湛臻g間上上的的，且且滿滿足足在在上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；在在上上雅雅可可比比式式Y(jié)unnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算(3):( , , ) ( , ,), ( , ,), ( , ,)( , ,)VVT VVf x y z dxdydzf x u v wy u v wz u v wJ u v w dudvdw 變變換換是是一一對對一一的的，則則有有 , ,., ,D x y zdVdudvdwD u v w 稱稱為為體體積積元元素素 , , ,D x y zVD u v w當(dāng)當(dāng)雅雅可可比比行行列列式式在在區(qū)區(qū)域域 的的個個別別點(diǎn)

11、點(diǎn)上上或或某某條條曲曲線線，某某塊塊曲曲面面上上等等于于零零，而而在在其其它它點(diǎn)點(diǎn)處處非非零零時時, ,換換元元法法則則仍仍成成立立. .YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 2225,0 0,0,0.VIx dxdydzVzayzbyyabzx zxzh h例例 計計算算其其中中 是是由由曲曲面面，所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域解解: :作變換作變換2:,zzT uvwzyx( , ,)|,0,Vu v waubvwh VV則則變變成成：YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算而而所以所以1( , , )( , ,)( , ,)( , , )

12、D x y zD u v wD u v wD x y z 2Ix dxdydz 37422012bhauduv dvw dw 923321111.27hab2322x yz 3221.2wvu 3222212wwdudvdwvvu YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算,0 r,20 . z1、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 ( , , ), , , M x y zMxoyPrrzM 設(shè)設(shè)為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)在在面面上上的的投投影影的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為，則則這這樣樣的的就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(z

13、yxM),( rP r簡單地說，柱面坐標(biāo)就是簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xoy 面上的極坐標(biāo)面上的極坐標(biāo) + z 坐標(biāo)坐標(biāo)YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面r xyzoz),(zyxM),( rP rxyzoYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算從而從而( , , )( , , )xyzrrrD x y zxyzD rzxyzzzz

14、cossin0sincos0 001rr cossinsincosrr r YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算( , , )d d dVf x y zx y z ( cos , sin , ) d d dVf rrz r rz 所以所以V一一般般地地，表表示示為為 1212,rrrzrzzr，YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算( , , )Vf x y z dxdydz ( cos , sin , ).Vf rrzr dr ddz 如圖，柱面坐標(biāo)系中的如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為體積元素為, dzddrrdv 于是，于是， dr

15、xyzodzdr rd再根據(jù)再根據(jù) V 中中 z，r， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。普通，先對普通，先對 z 積分，再對積分，再對 r ，最后對，最后對 積分。積分。YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算例例6 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分利用柱面坐標(biāo)計算三重積分, dxdydzz其中其中所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。與與平平面面是是由由曲曲面面 4 22 zyxz解解(1) 畫畫 圖圖(2) 確定確定 z，r， 的上下限的上下限將將 向向 xoy 面投影，面投影，得得 4 :22 yxD或或 . 20,20 : rD 過過 (r, )D 做平行于做平行

16、于 z 軸軸的直線，得的直線，得xyzo4xyzo4Ao22 r ),( rYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算xyzo4 ),( r42 zr .,sin,coszzryrx 即即過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 4, 20,20 :2 zrr 于是，于是， dxdydzz . dzddrrz 420202 rdzzrdrd Ao22 r, dzddrrdv YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 dxdydzz dzddrrz 420202 rdzzrdrd 20422022 drzrdr 2052

17、0)(16 21drrrd 202 0 6261821drr2 0 62618221 rr .364 YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算解解 zyxzyx3422222求交線：求交線：xyzo將將 向向 xoy 面投影，面投影，得得 . 3 :22 yxD . 1, 322zyxoA3 r或或 .30,20 : rD YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 dzdrdrzdxdydzzI .413 xyzo 23242030rrzdzrdrd .4322rzr 即即過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 .

18、43,30,20 :22 rzrr ),( r .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 或或 .30,20 : rD YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算例例8 計算三重積分計算三重積分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所圍成。所圍成。與平面與平面面面 )0( 22 HHzyxz解解將將 向向 xoy 面投影，面投影，得得222 :HyxD 或或 .0,20 : HrD xyzoHxyzoHxyoHHH H .Hzr 過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 ),( rYunnanUniversity2. 三重積分

19、的計算三重積分的計算 ,0,20 : HzrHr 即即或或 .0,20 : HrD .Hzr 過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得xyoHHH H HxyzoH ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 HHrdrzrd0 320 HdrrHr043)(2 .10 5H ,0,20 : HzrHr 即即 dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryr

20、x , dzddrrdv YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算( , , ) M x y zMOMOMzzxOPPMxoyM 設(shè)設(shè)為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，則則點(diǎn)點(diǎn)可可用用三三個個有有次次序序的的數(shù)數(shù)， ，來來確確定定，其其中中為為原原點(diǎn)點(diǎn)與與點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離，為為有有向向線線段段與與軸軸正正向向所所夾夾的的角角，為為從從正正軸軸來來看看自自軸軸按按逆逆時時針針方方向向轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到到有有向向線線段段的的角角，這這里里為為點(diǎn)點(diǎn)在在面面上上的的投投影影，這這樣樣的的三三個個數(shù)數(shù)， ，就就叫叫做做點(diǎn)點(diǎn)的的球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)0, .20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyx

21、MP 2. 2. 球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 為為常常數(shù)數(shù)為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sinsin ,cos .xyz 球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為Pxyzo),(zyxM r zyxAxyzor YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算( , , )( , , )xyzD x y zxyzDxyz 由由sincossinsincoscoscoscossinsinsinsinsincos0 Y

22、unnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算sinsincossinsin cossinsinsincoscos sincos coscossin 2222sinsinsincos 2sin 所以所以( , , )d d dVf x y zx y z 2(sincos ,sinsin ,cos )sin d d dVf YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算( , , )Vf x y z dxdydz2 (sincos ,sinsin ,cos)sin.Vfddd 球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為2 sin,dvddd 如圖，如圖

23、， drxyzodr dsinr rd d d sinr再根據(jù)再再根據(jù)再 V 中中 ， ， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。普通，先對普通，先對積分，再對積分，再對 ，最后對，最后對 積分。積分。YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算例例9 用球面坐標(biāo)計算用球面坐標(biāo)計算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解畫畫 圖。圖。確定確定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 將將 向向 xoy 面投影，面投影，得得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 過過 z 軸作半平面，得軸作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, ,

24、 0 過原點(diǎn)作過原點(diǎn)作射線，得射線，得. 10 rxyzoYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算xyzo(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 過原點(diǎn)作過原點(diǎn)作射線，得射線，得. 10 r即即 . 10,0,20 :r dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算 0220 sin cos51dd 0220)(cos cos5

25、1dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 YunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算例例10 計算計算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 圍成。圍成。)0( R將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 過過 z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 過原點(diǎn)作射線，得過原點(diǎn)作射線，得.0Rr 解解軸作半平面，得軸作半平面，得xyzoRYunnanUniversity2. 三重積分的計算三重積分的計算即即 .0,40,20 :Rr dddrrr 2 2si