21數(shù)列的應(yīng)用ppt課件

1、典型例題典型例題解解: 設(shè)第二個(gè)數(shù)為設(shè)第二個(gè)數(shù)為a, 則第三個(gè)數(shù)為則第三個(gè)數(shù)為 12-a. 前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列, , 第一個(gè)數(shù)為第一個(gè)數(shù)為 3a-12. 3a-12. 從而第四個(gè)數(shù)為從而第四個(gè)數(shù)為16-(3a-12)=28-3a. 16-(3a-12)=28-3a. 依題意得依題意得: (12-a)2=a(28-3a). : (12-a)2=a(28-3a). 化簡(jiǎn)整理得化簡(jiǎn)整理得 a2-13a+36=0. a2-13a+36=0. 解得解得 a=4 或或 9. 這四個(gè)數(shù)分別為這四個(gè)數(shù)分別為 0, 4, 8, 16 0, 4, 8, 16 或或 15, 9, 3, 1. 15

2、, 9, 3, 1. 1.有四個(gè)數(shù)有四個(gè)數(shù), 前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列, 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16, 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是和是 12, 求這四個(gè)數(shù)求這四個(gè)數(shù).a2=1 a2=1 從而從而 a1=1-d, a1=1-d, a3=1+d. a3=1+d. 整理得整理得 4(2d)2- 4(2d)2-17(2d)+4=0. 17(2d)+4=0. 故故 an=2n-3 an=2n-3 或或 an=- an=-2n+5. 2n+5. 2.設(shè)設(shè) an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, bn=( )an

3、, 知知 b1+b2+b3= , b1b2b3= , 求等差數(shù)列求等差數(shù)列 an.1282118解解: 設(shè)設(shè) an 的公差為的公差為d. b1b3=( )a1( )a3=( )a1+a3=( )2a2=b22,12121212由由 b1b2b3= b1b2b3= 得得 b23= . b23= . 1818 b2= . 12又由又由 b1+b2+b3= 得得 ( )1-d+ +( )1+d= . 821121212821解得解得 2d=22 2d=22 或或 2-2. 2-2. d=2 d=2 或或 -2. -2. 當(dāng)當(dāng) d=2 d=2 時(shí)時(shí), an=a2+(n-2)d=1+2n-, an=a2

4、+(n-2)d=1+2n-4=2n-3; 4=2n-3; 當(dāng)當(dāng) d=-2 d=-2 時(shí)時(shí), an=a2+(n-2)d=1-2n+4=-2n+5. , an=a2+(n-2)d=1-2n+4=-2n+5. f(x)=2-f(x)=2-1010 4x.4x.(2)由已知由已知 an=log2 f(n)=log2(2-10 4n)=2n-10. 3.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=abx 的圖象過(guò)點(diǎn)的圖象過(guò)點(diǎn) A(4, ) 和和 B(5, 1). (1)求函求函數(shù)數(shù) f(x) 的解析式的解析式; (2)記記 an=log2 f(n), n為正整數(shù)為正整數(shù), Sn 是數(shù)列是數(shù)列 an 的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)

5、和, 解關(guān)于解關(guān)于 n 的不等式的不等式 anSn0; (3)對(duì)于對(duì)于(2)中的中的 an 與與 Sn, 整數(shù)整數(shù) 104 是否為數(shù)列是否為數(shù)列 anSn 中的項(xiàng)中的項(xiàng)? 若是若是, 則求出相則求出相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)應(yīng)的項(xiàng)數(shù); 若不是若不是, 則說(shuō)明理由則說(shuō)明理由.14解解: (1)由已知由已知 ab4= , ab5=1, 14解得解得 b=4, a=2-10. Sn=n(n-9).Sn=n(n-9). anSn=2n(n-5)(n-anSn=2n(n-5)(n-9).9).nnN N* *, , 由由 anSn0 anSn0 得得 (n-5)(n- (n-5)(n-9)0.9)0.解得解得 5n9,

6、 5n9, n nN N* *. . n=5, 6, 7, 8, n=5, 6, 7, 8, 9.9.(3)a1S1=64, a2S2=84, a3S3=72, a4S4=40;當(dāng)當(dāng) 5n9 5n9 時(shí)時(shí), , anSn0;anSn0;當(dāng)當(dāng) 10n22 10n22 時(shí)時(shí), , anSna22S22=9724104;anSna22S22=9724104;anSna23S23=11529104;故整數(shù)故整數(shù) 104 不是數(shù)列不是數(shù)列 anSn 中的項(xiàng)中的項(xiàng).解解: (1)由已知數(shù)列由已知數(shù)列 an+1-an 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 -2, 公差為公差為 1 的等差數(shù)的等差數(shù)列列.an+1-an=(a2-

7、a1)+(n-an+1-an=(a2-a1)+(n-1)1) 1=n-3.1=n-3.an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) 4.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an 和和 bn 滿足滿足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且且數(shù)列數(shù)列an+1-an (nN*) 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 數(shù)列數(shù)列 bn-2 (nN*) 是是等比數(shù)列等比數(shù)列. (1)求數(shù)列求數(shù)列 an 和和 bn 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; (2)是否存在是否存在 kN*, 使使 ak-bk (0, )? 若存在若存在, 求出求出 k, 若不存在

8、若不存在, 說(shuō)明理說(shuō)明理由由. 12an-an-1=n-an-an-1=n-4(n2).4(n2).=6+(-2)+(-1)+0+1+2+(n-4) = (n2-7n+18)(n2). 12而而 a1=2 a1=2 亦適合上式亦適合上式, , = (n2-7n+18)(nN*). 12an an 又?jǐn)?shù)列又?jǐn)?shù)列 bn-2 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 b1-2=4, 公比為公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列, 12 bn-2=4( )n-1=( )n-3. bn-2=4( )n-1=( )n-3. 1212 bn=( )n-3+2. bn=( )n-3+2. 12故數(shù)列故數(shù)列 an 和和 bn 的通項(xiàng)公式分別為的

9、通項(xiàng)公式分別為: an= (n2-7n+18),12bn=( )n-3+2. 12解解: (2)顯然當(dāng)顯然當(dāng) k=1, 2, 3 時(shí)時(shí), ak-bk=0, 不適合題意不適合題意; 數(shù)列數(shù)列 ak ak 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列, bk , bk 是遞減是遞減數(shù)列數(shù)列. .不存在不存在 k kN N* *, , 使使 ak- ak-bkbk(0, ).(0, ).12當(dāng)當(dāng) k4 時(shí)時(shí), ak= (k2-7k+18), bk=( )k-3+2, 1212數(shù)列數(shù)列 ak-bk ak-bk 是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. . ak-bk a4-b4=3- ak-bk a4-b4=3-( +2)= ( +2)= 1

10、212 (0, ). 12 4.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an 和和 bn 滿足滿足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且且數(shù)列數(shù)列an+1-an (nN*) 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 數(shù)列數(shù)列 bn-2 (nN*) 是是等比數(shù)列等比數(shù)列. (1)求數(shù)列求數(shù)列 an 和和 bn 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; (2)是否存在是否存在 kN*, 使使 ak-bk (0, )? 若存在若存在, 求出求出 k, 若不存在若不存在, 說(shuō)明理說(shuō)明理由由. 12 5.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù)的各項(xiàng)均為正數(shù), 公比公比 q1, 數(shù)列數(shù)列 bn 滿足滿足 b1=20, b7=5, 且且 (

11、bn+1-bn+2)logma1+(bn+2-bn)logma3+(bn-bn+1) logma5=0. (1)求數(shù)列求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)設(shè) Sn=|b1|+|b2|+|bn|, 求求 Sn. 楊景波楊景波解解: (1)將將 logma3=logma1+2logmq, logma5=logma1+4logmq 代入已代入已 知等式整理得知等式整理得: 2(bn-2bn+1+bn+2)logmq=0. bn-2bn+1+bn+2=0.bn-2bn+1+bn+2=0.qq1, logmq1, logmq0. 0. 即即 bn+bn+2=2bn+1.bn+bn+2=2bn+

12、1.數(shù)列數(shù)列 bn bn 是等差數(shù)是等差數(shù)列列. .設(shè)其公差為設(shè)其公差為 d, d, 52- .- .bn=20+(n-1)(- ).bn=20+(n-1)(- ).52即即 bn=- bn=- n+ .n+ .52245則由則由 b7=b1+6d 可得可得 d= 解解: (2)令令 bn=0, 得得 n=9.當(dāng)當(dāng) n9 時(shí)時(shí), bn0. 那么那么 Sn=b1+b2+bn=20n+ (- ) n(n-1) 252=- n2+ n. 54485當(dāng)當(dāng) n9 時(shí)時(shí), bn9. 54485- n2+ n, n9, - n2+ n, n9, 54485Sn= Sn= 5.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列 an

13、的各項(xiàng)均為正數(shù)的各項(xiàng)均為正數(shù), 公比公比 q1, 數(shù)列數(shù)列 bn 滿足滿足 b1=20, b7=5, 且且 (bn+1-bn+2)logma1+(bn+2-bn)logma3+(bn-bn+1) logma5=0. (1)求數(shù)列求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)設(shè) Sn=|b1|+|b2|+|bn|, 求求 Sn. 6.設(shè)設(shè) a0 為常數(shù)為常數(shù), 且且 an=3n-1-2an-1(nN*). (1)證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意 n1, an= 3n+(-1)n-1 2n+(-1)n 2n a0; (2)假設(shè)對(duì)于任意假設(shè)對(duì)于任意 n1, anan-1, 求求 a0 的取值范圍的取值范圍.

14、15(1)證證: 由由 an=3n-1-2an-1 知知: 3 +1 2令令 =- 得得 =- . 15那么那么 an- an- 3n 3n 是以是以a0- a0- 為首項(xiàng)為首項(xiàng), , 公比為公比為 -2 -2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列. . 1515an- an- 3n=(a0- )(-2)n.3n=(a0- )(-2)n.1515即即 an= 3n+(-1)n-12n+(-1)n2na0. 15(2)解解: 由由 anan-1 及及 an=3n-1-2an-1 知知: an-an-1=3n-1-3an-10.an-13n-2 . an-10.1)=6an-10.0an-13n-2 . 0an-

15、130 成立的成立的 n 的最小值的最小值. 12解解: (1)由已知可設(shè)等比數(shù)列由已知可設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為的公比為 q, 依題意得依題意得:a1q+a1q2+a1q3=28, a1q+a1q3=2(a1q2+2), 解得或解得或 (舍去舍去)a1=2, q=2, a1=32, q=, 12an=2an=2 2n-2n-1=2n.1=2n.即即 an an 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an=2n.an=2n.(2) bn=anlog an=-n2n, 12-Sn=1Sn=1 2+22+2 22+322+3 23+n23+n 2n.2n.-2Sn=12Sn=1 22+222+2 23+32

16、3+3 24+n24+n 2n+1.2n+1.Sn=2+22+23+2n-Sn=2+22+23+2n-n n 2n+12n+1=2n+1-2-n 2n+1.為使為使 Sn+n Sn+n 2n+130 2n+130 成立成立, , 應(yīng)有應(yīng)有 2n+132.2n+132.n4.n4.使使 Sn+n Sn+n 2n+130 2n+130 成立的成立的 n n 的最小值的最小值為為 5. 5. Sn=-Sn=-(1(1 2+22+2 22+322+3 23+n23+n 2n).2n). 9.以數(shù)列以數(shù)列 an 的任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn)的任意相鄰兩項(xiàng)為坐標(biāo)的點(diǎn) Pn(an, an+1)(nN*)均在一次

17、函數(shù)均在一次函數(shù) y=2x+k 的圖象上的圖象上, 數(shù)列數(shù)列 bn 滿足滿足條件條件: bn=an+1-an (nN*, b10). (1)求證求證: 數(shù)列數(shù)列 bn 是等比是等比數(shù)列數(shù)列; (2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an, bn 的前的前 n 項(xiàng)和分別為項(xiàng)和分別為 Sn, Tn, 假設(shè)假設(shè) S6=T4, S5=-9, 求求 k 的值的值. (1)證證:Pn(an, an+1) (nN*) 均在一次函數(shù)均在一次函數(shù) y=2x+k 的圖象上的圖象上, an+1=2an+k, an+1=2an+k, 即即: an+1+k=2(an+k). : an+1+k=2(an+k). 又又 bn=an+1-an=

18、an+k, 那么那么 bn+1=an+1+k, bn+1bn = =2. = =2. an+1+k an+k數(shù)列數(shù)列 bn bn 是等比數(shù)列是等比數(shù)列. . 解得解得: k=8. : k=8. (2)解解: b1=a1+k, bn=(a1+k)2n-1, an=bn-k=(a1+k)2n-1-k, S6=T6-6k=(a1+k)(26-1)-6k=63a1+5k, T4=(a1+k)(25-1)=15(a1+k), S5=31a1+26k=-9, S6=T4a1=- k, 78 10.(1)已知數(shù)列已知數(shù)列 cn, 其中其中 cn=2n+3n, 且數(shù)列且數(shù)列 cn+1-pcn 為為等比數(shù)列等比

19、數(shù)列, 求常數(shù)求常數(shù) p; (2)設(shè)設(shè) an, bn 是公比不相等的兩個(gè)等是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列比數(shù)列, cn=an+bn, 證明證明: 數(shù)列數(shù)列 cn 不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列.(1)解解: 數(shù)列數(shù)列 cn+1-pcn 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, (cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1).pcn-1).又又 cn=2n+3n,2n+1+3n+1-p(2n+3n)22n+1+3n+1-p(2n+3n)2 =2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2n+3n- =2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2

20、n+3n-p(2n-1+3n-1).p(2n-1+3n-1).即即(2-p)2n+(3-p)3n2(2-p)2n+(3-p)3n2 =(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n- =(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1.1+(3-p)3n-1.整理得整理得 (2-p)(3-p)2n3n0. 16解得解得 p=2 或或 3.(2)證證: 設(shè)設(shè) an, bn 的公比分別為的公比分別為 p, q, pq. 為證為證 cn 不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列, 只須證只須證 c22c1 c3.事實(shí)上事實(shí)上, c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+

21、2a1b1pq,c1 c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2 +a1b1(p2+q2).ppq, p2+q22pq.q, p2+q22pq. 又又 a1, b1 不為零不為零, c22c22c1c1 c c3.3.故故 cn 不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列. 11.設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的各項(xiàng)為實(shí)數(shù), 前前 n 項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn, 公比為公比為q. (1)假設(shè)假設(shè) S5, S15, S10 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 求證求證: 2S5, S10, S20-S10 成成等比數(shù)列等比數(shù)列; (2)假設(shè)假設(shè) 2S5, S10, S20-S10 成等比數(shù)列成等

22、比數(shù)列, 試問(wèn)若試問(wèn)若 S5, S15, S10一定成等差數(shù)列嗎一定成等差數(shù)列嗎? 請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證證: 由已知由已知q1(假設(shè)假設(shè) q=1, 那么那么 S5=5a1, S15=15a1, S10=10a1, 不滿足不滿足 S5, S15, S10 成等差數(shù)列成等差數(shù)列).1-q a1 記記 t = , 則由則由 S5, S15, S10 成等差數(shù)列得成等差數(shù)列得: S5+S10-2S15=0. t(1-q5+1-q10-t(1-q5+1-q10-2+2q15)=0. 2+2q15)=0. 即即 tq5(2q10-q5- tq5(2q10-q5-1)=0. 1)=0. tq5tq

23、5 0, 0, 2q10-q5-1=0. 2q10-q5-1=0. 以下有兩種證法以下有兩種證法: 法法1: q 1: q 1, 1, 可解得可解得: q5=-: q5=- . . 12S102= t2(1-q10)2= S102= t2(1-q10)2= t2, t2, 169 2S5(S20-S10)=2t2(1-q5)(q10-q20)= t2=S102. 1692S5, S10, S20-S10 2S5, S10, S20-S10 成等比成等比數(shù)列數(shù)列. . 法法2: 1+q5=2q10. 2: 1+q5=2q10. S102S5 = = = = (1+q5)=q10. (1+q5)=

24、q10. 1-q10 2(1-q5) 12S20-S10 S10又又 = -1=1+q10-1=q10.= -1=1+q10-1=q10.1-q20 1-q10 = . = . S102S5S20-S10 S102S5, S10, S20-S10 2S5, S10, S20-S10 成等比成等比數(shù)列數(shù)列. . (2)解解: 不一定成立不一定成立. 例如例如 q=1 時(shí)時(shí), 顯然顯然 2S5, S10, S20-S10 成等比數(shù)成等比數(shù)列列,但但 S5, S15, S10 不成等差數(shù)列不成等差數(shù)列. 11.設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的各項(xiàng)為實(shí)數(shù), 前前 n 項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,

25、公比為公比為q. (1)假設(shè)假設(shè) S5, S15, S10 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 求證求證: 2S5, S10, S20-S10 成成等比數(shù)列等比數(shù)列; (2)假設(shè)假設(shè) 2S5, S10, S20-S10 成等比數(shù)列成等比數(shù)列, 試問(wèn)若試問(wèn)若 S5, S15, S10一定成等差數(shù)列嗎一定成等差數(shù)列嗎? 請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由. 12.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 an 的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn, 假設(shè)假設(shè) Sn 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 S1 各各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q 的等比數(shù)列的等比數(shù)列. (1)求數(shù)列求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公式式 an (用用 S1 和和 q 表示表示); (2)試

26、比較試比較 an+an+2 與與 2an+1 的大小的大小, 并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論.解解: (1)由已知由已知 Sn=S1qn-1(q0). 當(dāng)當(dāng) n=1 時(shí)時(shí), a1=S1; 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí), an=Sn-Sn-1=S1(q-1)qn-2. (2)當(dāng)當(dāng) n=1 時(shí)時(shí), a1+a3-2a2=S1+S1(q-1)q-2S1(q-1) =S1(q2-3q+3)0. a1+a32a2; a1+a32a2; 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí), an+an+2-2an+1=S1(q-1)qn-2+S1(q-1)qn-2S1(q-1)qn-1, S10, qn-20, S10, qn-20, 當(dāng)當(dāng) q=1 q=

27、1 時(shí)時(shí), (q-1)3=0, (q-1)3=0an+an+2-an+an+2-2an+1=02an+1=0an+an+2=2an+1; an+an+2=2an+1; an= an= S1, (n=1) S1(q-1)qn-2, (n2) =S1(q-1)3qn-2. 當(dāng)當(dāng) 0q1 時(shí)時(shí), (q-1)30an+an+2-2an+10an+an+21 時(shí)時(shí), (q-1)30an+an+2-2an+10an+an+22an+1. 綜上所述綜上所述, 當(dāng)當(dāng) n=1 時(shí)時(shí), a1+a32a2; 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí), 假設(shè)假設(shè) q=1, 那么那么 an+an+2=2an+1; 假設(shè)假設(shè) 0q1, 那么那么

28、 an+an+21, 那么那么 an+an+22an+1. 13.下表給出一個(gè)下表給出一個(gè) “三角形數(shù)陣三角形數(shù)陣” : 已知每一列的數(shù)成等差數(shù)已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列列, 從第三行起每一行的數(shù)成等比數(shù)列從第三行起每一行的數(shù)成等比數(shù)列, 每一行的公比每一行的公比 都相等都相等. 記第記第 i 行第行第 j 列的數(shù)為列的數(shù)為 aij (ij, i, jN*). (1)求求 a83; (2)寫出寫出 aij 關(guān)于關(guān)于 i, j 的表達(dá)式的表達(dá)式; (3)記第記第 n 行的和為行的和為 An, 求數(shù)列求數(shù)列 An 的前的前 m 項(xiàng)和項(xiàng)和 Bm 的表達(dá)式的表達(dá)式; 3438121416314解解: (

29、1)依題意依題意 ai1 成等差數(shù)列成等差數(shù)列.a11= , a21= , a11= , a21= , 1214每行的公比每行的公比 q= . q= . 12a81= +(8-1)a81= +(8-1) =2. =2. 1414a31= , a32= , a31= , a32= , 且各行成等比數(shù)列且各行成等比數(shù)列, , 公比都相等公比都相等, , 383412a83=2a83=2 ( )2 = . ( )2 = . 12(2)由由(1)知知 ai1= +(i-1) = . 1414 i4 i412aij=ai1aij=ai1 ( )j-1 = ( )j-1 = ( )j-1 =i( )j+1

30、. ( )j-1 =i( )j+1. 1212(3) An=an11+2-1+2-2+2-(n-1)= 2-2-(n-1)= -n( )n+1. n4n212 Bm= (1+2+m)- ( + + + ). m 2m 1212243812設(shè)設(shè) Tm= + + + . Tm= + + + . m 2m 122438m+2 2m+112由錯(cuò)位相減法可求得由錯(cuò)位相減法可求得 Tm=1- ,m+2 2m+1 Bm= + -1. m(m+1) 4 14.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an 和和 bn 滿足滿足 5an, 5bn, 5an+1 成等比數(shù)列成等比數(shù)列, lgbn, lgan+1,

31、 lgbn+1 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 且且 a1=1, b1=2, a2=3, 求通項(xiàng)求通項(xiàng) an, bn.解解: 5an, 5bn, 5an+1 成等比數(shù)成等比數(shù)列列,(5bn)2=5an(5bn)2=5an 5an+1, 5an+1, 2bn=an+an+1.2bn=an+an+1.又又lgbn, lgan+1, lgbn+1 lgbn, lgan+1, lgbn+1 成成等差數(shù)列等差數(shù)列, , an+1= an+1= bnbn+1 . bnbn+1 . an= bn-1bn an= bn-1bn (n2). (n2). 2bn= bnbn+1 + bn-1bn (n2). 2bn= b

32、nbn+1 + bn-1bn (n2). 2 bn= bn-1 + 2 bn= bn-1 + bn+1 (n2).bn+1 (n2).又由又由 lgb1, lga2, lgb2 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 且且 b1=2, a2=3 得得: b2= . 92 b2 - b1 = . b2 - b1 = . 22 bn bn 是以是以 2 2 為首項(xiàng)為首項(xiàng), , 為公差的為公差的等差數(shù)列等差數(shù)列. . 22 bn = 2 +(n-1) bn = 2 +(n-1) 222n+1 = . bn= . bn= . (n+1)2 2bn-1= (n2). bn-1= (n2). n2 2an= bn-1bn

33、 = an= bn-1bn = (n2). (n2). n(n+1) 2又又 a1=1 a1=1 亦適合上式亦適合上式, , n(n+1) 2an= . an= . 15.設(shè)設(shè) an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列, Sn 是其前是其前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和. (1)證明證明:lgSn+lgSn+2 0, 使得使得 =lg(Sn+1-c)成成立立? 并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c) 2(1)證證: 設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為的公比為 q, 由題設(shè)知由題設(shè)知 a10, q0.當(dāng)當(dāng) q=1 q=1 時(shí)時(shí), Sn=na1, , Sn=na1, S

34、nSn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-SnSn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12(n+1)2a12=-a120;當(dāng)當(dāng) q q1 1 時(shí)時(shí), , Sn= , Sn= , a1(1-qn) 1-q SnSn+2-Sn+12= SnSn+2-Sn+12= - -a12(1-qn)(1-qn+2) (1-q)2 a12(1-qn+1)2 (1-q)2 =-a12qn0.SnSn+2-Sn+120.SnSn+2-Sn+120. SnSn+2Sn+12.SnSn+2Sn+12. lgSnSn+2lgSn+lgSnSn+2lgSn+12.12.lgSn+lgSn+22lgSn

35、+lgSn+lgSn+22lgSn+1.1.lgSn+lgSn+2 lgSn+1. 2=-a120, c0, 使結(jié)使結(jié)論成立論成立. .當(dāng)當(dāng) q q1 1 時(shí)時(shí), (Sn-c)(Sn+2-c) -, (Sn-c)(Sn+2-c) -(Sn+1-c)2 (Sn+1-c)2 a1(1-qn) 1-q = -c -c- -c2 a1(1-qn+2) 1-q a1(1-qn+1) 1-q 當(dāng)當(dāng) q=1 q=1 時(shí)時(shí), (Sn-c)(Sn+2-c) -, (Sn-c)(Sn+2-c) -(Sn+1-c)2 (Sn+1-c)2 (Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2, Sn-c0, 解法解法1:

36、 要使要使 =lg(Sn+1-c)成立成立, 則有則有l(wèi)g(Sn-c)+lg(Sn+2-c) 2(2)是否存在常數(shù)是否存在常數(shù) c0, 使得使得 =lg(Sn+1-c)成成立立? 并證明你的結(jié)論并證明你的結(jié)論. lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c) 2=-a1qna1-c(1-q), 且且 a1qn0, 故只能有故只能有 a1-c(1-q)=0, 即即 c= , 此時(shí)此時(shí), c0, a10, a1 1-q 0q1. 0q1. 但當(dāng)?shù)?dāng) 0q1 0q1 時(shí)時(shí), , Sn-c=Sn- a1 1-q a1qn 1-q =- 0, c0, 使結(jié)論成使結(jié)論成立立. .故不存在常數(shù)故不存在常數(shù) c0, 使得使得 =lg(Sn+1-c) 成立成立.lg(Sn-c)+lg(