以正方形為載體的中考試題賞析

1、以正方形為載體的中考試題賞析正方形是初中的重要知識(shí)內(nèi)容，縱觀2021年全國(guó)各地中考試題，可以發(fā)現(xiàn)諸多以正方形為載體，結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)的優(yōu)秀試題，風(fēng)格清新、構(gòu)思巧妙，較好的考察了學(xué)生的根底知識(shí)、學(xué)習(xí)才能和思維程度.現(xiàn)拮取幾例加以賞析：1 與拼圖相結(jié)合,注重考察學(xué)生的觀察才能.例1 (湖南湘潭市)如圖1，將一副七巧板拼成一只小貓，那么以下列圖中 AOB= .例2 (湖北荊門市)用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖3所示的大正方形，大正方形的面積是144，小正方形的面積是4,假設(shè)用x，y表示矩形的長(zhǎng)和寬(xy)，那么以下關(guān)系式中不正確的選項(xiàng)是( )2 與多邊形、圓相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)的綜

2、合運(yùn)用.三者的平方關(guān)系.可利用梯形的高來建立橋梁作用.如圖5，分別過點(diǎn)A、B做AEDC,BFDC,垂足分別為E、F.設(shè)梯形ABCD的高為h ,例4 (江蘇南通市)在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)那么是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面他們首先設(shè)計(jì)了如圖6所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如圖7所示的方案二兩個(gè)方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切1請(qǐng)說明方案一不可行的理由；2判斷方案二是否可行？假設(shè)可行，請(qǐng)確定圓錐

3、的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑；假設(shè)不可行，請(qǐng)說明理由(2)設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為R，那么 , ,由，可解得 ， 故所求圓錐的母線長(zhǎng)為 cm，底面圓的半徑為 cm點(diǎn)評(píng) 將正方形與多邊形、圓結(jié)合是中考中出現(xiàn)頻率較高的題目。此類題目涉及知識(shí)點(diǎn)較多，跨度較大，需要學(xué)生具有較為扎實(shí)的根本功，具有綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的才能。3 與“動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合,注重考察學(xué)生對(duì)不變因素的探究才能.例5 (湖北武漢市)正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFCD于點(diǎn)F。如圖8，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DFCF(1)如圖9，假設(shè)點(diǎn)P在線段AO上不與點(diǎn)A、O重合，PEPB且PE

4、交CD于點(diǎn)E.求證：DFEF；寫出線段PC、PA、CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)假設(shè)點(diǎn)P在線段OC上不與點(diǎn)O、C重合，PEPB且PE交直線CD于點(diǎn)E。請(qǐng)完成圖10并判斷(1)中的結(jié)論、是否分別成立？假設(shè)不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論所寫結(jié)論均不必證明解析 (1) 如圖11過點(diǎn)P做PHBC,垂足為點(diǎn)H,連接PD.此時(shí)四邊形PFCH為正方形.容易證出APBAPD,推得 BPC=DPC，進(jìn)一步可得BPH =DPF；由BPH +HPE =90°,EPF + HPE=90°，得BPH =EPF.因?yàn)镻EDC,可證得DF=FE.由EF+CE= PC得:DF=EF= PCEC.因

5、為PFAD,有 ,將DF= PCEC代入得: PC=PA+ CE.(2)連接PB、PD,做PFDC, PHBC,垂足分別為F、H,在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得PEPB.此時(shí)有結(jié)論DF=EF成立.而結(jié)論不成立, PC、PA、EC存在PA=PC+ EC關(guān)系.證明與類似,略.點(diǎn)評(píng) 動(dòng)點(diǎn)問題是中考熱點(diǎn)問題之一，它要求學(xué)生擅長(zhǎng)抓住運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律性和不變因素，把握運(yùn)動(dòng)與靜止的辨證關(guān)系.例5中,無(wú)論動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上如何運(yùn)動(dòng), BP1E是直角以及四邊形PFCH為正方形是不變的.4 與對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合,注重考察學(xué)生變換的思想.例7 黑龍江齊齊哈爾市 ：正方形ABCD中，MAN=45°，MAN繞點(diǎn)A順

6、時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB,DC或它們的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,N當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)如圖14，易證BM+DN=MN1當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)如圖15，線段BM,ND和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明2當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖16的位置時(shí)，線段BM,ND和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想解析 (1)如圖17，把AND繞點(diǎn)A順時(shí)針90°，得到ABE，那么有DN=BE,EAM= MAN=45°.進(jìn)而可證得：AEMAMN.所以MN=ME=MB+EB=MB+DN.(2) 線段BM,ND和MN之間存在MN = DNMB.點(diǎn)評(píng) 平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初

7、中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對(duì)應(yīng)的邊、角均相等.巧妙的運(yùn)用變換的根本性質(zhì)或構(gòu)造變換圖形，均可以使題目的解答簡(jiǎn)易而順暢.5 與函數(shù)圖象相結(jié)合,注重考察學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.1s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是： ；2與圖20相對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)途徑是： ；P點(diǎn)出發(fā) 秒首次到達(dá)點(diǎn)B；3寫出當(dāng)3s8時(shí)，y與s之間的函數(shù)關(guān)系式，并在圖16中補(bǔ)全函數(shù)圖象.解析 1圖19是正比例函數(shù)圖象，易求得s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S= (t0)2從圖20的函數(shù)圖象可以看出，動(dòng)點(diǎn)P的縱y在運(yùn)動(dòng)時(shí)隨時(shí)間t的增大開始時(shí)逐漸增大，而后又不變，最后又減小至0，說明P點(diǎn)在正方形的運(yùn)動(dòng)途徑是：MDAN.由圖18、19可知，P點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的路程為5，速度為0.5，所以首次到達(dá)點(diǎn)B需要時(shí)間為10秒.點(diǎn)評(píng) 函數(shù)圖象問題是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的重要表達(dá)，在中考試卷中也往往作為具有一定區(qū)分度的題目出現(xiàn)。例8是一個(gè)分段函數(shù)問題，其關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象弄清楚點(diǎn)P在正方形ABCD上的哪一段運(yùn)動(dòng),坐標(biāo)與時(shí)間、路程如何變化.6 與實(shí)際問題相結(jié)合,注重考察學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的才能.(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最??？點(diǎn)評(píng) 實(shí)際應(yīng)用問題側(cè)重考察學(xué)生的分析、理解問題的才能，它要求學(xué)生準(zhǔn)確把握題目?jī)?nèi)容和要求的