二元一次不等式組與平面區(qū)域

1、二元一次不等式(組)與平面區(qū)域教學(xué)設(shè)計西飛第一中學(xué) 付銀邦一、教材分析1、本節(jié)課在教材中的地位和作用本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)必修5（北師大版）第3章不等式中的第4節(jié)簡單的線性規(guī)劃問題的第一課時，在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的方程，已經(jīng)掌握了二元一次方程與平面直線的對應(yīng)關(guān)系，同時也體驗過數(shù)形結(jié)合的思想方法，為研究二元一次不等式與平面區(qū)域的對應(yīng)關(guān)系做了知識和方法上的準(zhǔn)備.二元一次不等式與平面區(qū)域作為線性規(guī)劃三個課時中的第一課時，起到了承前啟后的作用，既是對前面的不等式、直線方程等內(nèi)容的再認(rèn)識再學(xué)習(xí)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)簡單線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，并有助于學(xué)生對優(yōu)化思想的理解.這一節(jié)內(nèi)容，是學(xué)生對不等式、直線方程知識的

2、深化和綜合應(yīng)用.二元一次不等式作為刻畫區(qū)域的工具，為解決簡單的線性規(guī)劃問題做鋪墊，這種從點到數(shù)對的對應(yīng)，直線與方程的對應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對應(yīng)的過渡和提升，能使學(xué)生進(jìn)一步體會到數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)及其重要性.本節(jié)內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想.2、教學(xué)目標(biāo)（1）知識與技能：了解二元一次不等式（組）的相關(guān)概念，并會畫二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域. （2）過程與方法：經(jīng)歷觀察、實驗、探究、分析、歸納、概括及應(yīng)用的認(rèn)知過程， 體驗由特殊到一般，由具體到抽象的探索方法以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.（3）情感、態(tài)度與價值觀：通過主動參與、合作交流，感

3、受勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神；體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值與成功解決問題的快樂.3、教學(xué)重點與難點：（1）教學(xué)重點：會畫二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域.（2）教學(xué)難點：如何判斷二元一次不等式表示對應(yīng)直線哪一側(cè)的平面區(qū)域. 二、教學(xué)方法分析：1、教學(xué)理念：建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是在原有知識的基礎(chǔ)上，在人與環(huán)境的相互作用過程中，通過同化和順應(yīng)，使自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以轉(zhuǎn)換和發(fā)展.遵循教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)原則，通過創(chuàng)設(shè)情境提出問題，用類比和實驗的方法猜想出結(jié)論，思考驗證方案，進(jìn)而得到一般性的結(jié)論，再在知識應(yīng)用的過程中加深對于方法的理解.讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，體驗探索的樂趣.這不僅有利于知識的掌握，

4、也有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力. 注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的滲透，讓學(xué)生主動參與提出問題、探索問題和解決問題的過程，突出以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.2、教學(xué)方法：創(chuàng)設(shè)問題情境，采用探索發(fā)現(xiàn)法、小組合作交流的方法，并以多媒體作為輔助教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué).3、教學(xué)難點突破方法：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、比較、分析、小組合作交流、總結(jié)等環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并結(jié)合多媒體課件動態(tài)演示突破難點. 4、教學(xué)媒體：直尺，計算機，投影儀.三、學(xué)生情況分析： 直線方程、不等式等基礎(chǔ)知識方面上學(xué)生掌握比較好，但本節(jié)課的內(nèi)容是全新的，對學(xué)生來講是完全陌生的，需要從創(chuàng)設(shè)情境入手，通過類比與實驗逐漸深入，漸近式展開，另外，高二的學(xué)生已經(jīng)初步具

5、有獨立思考和探索問題的能力，觀察分析能力也有很大的提高，通過自主探索與小組合作交流，完全可以適應(yīng)掌握本節(jié)課的目標(biāo).四、學(xué)法指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生體驗知識的探索與發(fā)現(xiàn)的過程，促進(jìn)其學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變成在教師指導(dǎo)下的“再創(chuàng)造過程”，使學(xué)生從具體操作中掌握知識，在愉悅的氣氛中自主探索發(fā)現(xiàn)，潛移默化地形成自己的一種“獨立思考、積極探索”的學(xué)習(xí)方式.五、教學(xué)流程：提出問題創(chuàng)設(shè)情境類比探求實驗歸納交流合作解決問題歸納總結(jié)揭示新知應(yīng)用新知練習(xí)鞏固小結(jié)作業(yè)反饋評價六、教學(xué)設(shè)計：教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容教學(xué)活動設(shè)計意圖提出問題創(chuàng)設(shè)情境 問題1：某班計劃用少于50元的錢購買單價分別為5元和10元的小、大彩球裝點聯(lián)

6、歡晚會的會場，根據(jù)需要，小球數(shù)不少于3個，大球數(shù)不少于2個，有幾種不同的購買方案？學(xué)生列出滿足要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式.學(xué)生列式: 設(shè)購買大球x個，小球y個：教師結(jié)合學(xué)生列出的關(guān)系式引出二元一次不等式組.從實際問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，引出二元一次不等式和二元一次不等式組，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.類比猜想實驗歸納類比猜想實驗歸納問題2：一元一次不等式的解集如何在數(shù)軸上表示?2x問題3：二元一次不等式的解集可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點構(gòu)成的集合，它們位于何處？又能表示什么圖形？ 實驗1：寫出不等式的幾組解，如 (3 , 1) (2 , 3) (-1 , 2) (3 , -1)，并在坐標(biāo)系中描出這

7、些點，判斷它們與直線的關(guān)系.結(jié)論1：直線把平面分成三個區(qū)域，直線在右上、左下區(qū)域，不等式表示的點都在左下區(qū)域，即“同號同側(cè)” .思考1：如何證明？ 設(shè)點滿足不等式，即,即，直線上與P橫坐標(biāo)相同的點滿足，即，故.即點P在點A下方，從而也在直線下方.問題4：直線左下區(qū)域的點是否都滿足？ 實驗2: 在直線下方任取一點，判斷是否滿足.結(jié)論2：直線左下區(qū)域的點都滿足不等式. 即“同側(cè)同號” .學(xué)生回答一元一次不等式的解集在數(shù)軸上如何表示.引導(dǎo)學(xué)生由一元一次不等式的解集可以表示在數(shù)軸上，類比猜想二元一次不等式如何表示.學(xué)生在坐標(biāo)紙上畫出滿足不等式的點，判斷它們與直線的關(guān)系，小組交流合作歸納結(jié)論（即“同號同

8、側(cè)”）1.教師引導(dǎo)學(xué)生運用聯(lián)系、轉(zhuǎn)化的方法將點與直線上的點A聯(lián)系起來，學(xué)生討論得到證明方法.針對問題4，學(xué)生展開積極的分組交流探索活動，教師適時用幾何畫板演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察隨著動點P的變化，的數(shù)值變化情況，最后師生共同歸納結(jié)論2，即“同側(cè)同號”.由學(xué)生原有的知識作為新知識的生成點，類比猜想二元一次不等式的幾何表示. 采用類比推理的方法開始探索本節(jié)課的內(nèi)容，使學(xué)生比較容易的產(chǎn)生相關(guān)聯(lián)想.把問題作為教學(xué)出發(fā)點，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵學(xué)生進(jìn)行大膽的猜想，培養(yǎng)學(xué)生的想象能力和創(chuàng)新能力.通過學(xué)生的親手實驗驗證，感受知識的生成過程，體現(xiàn)學(xué)生為主體的教學(xué)思路.通過這樣的探究過程加深了學(xué)生對

9、于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷了知識形成的一個完整過程，這培養(yǎng)了他們解決問題的思維方法.學(xué)生交流合作、積極探索猜想，既調(diào)動了積極性，又培養(yǎng)了邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.多媒體動態(tài)模擬演示，有助于學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上形成理性認(rèn)識.問題4設(shè)計目的是從邏輯角度深刻理解二元一次不等式與平面區(qū)域的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。通過驗證發(fā)現(xiàn)可能成立，作為數(shù)學(xué)問題自然要考慮其是否可以證明，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時證明過程中滲透聯(lián)系、化歸的數(shù)學(xué)方法.交流合作解決問題思考2：這里的下方如何理解？思考3：如何證明？探索：你如何快速地判斷出二元一次不等式表示直線哪一側(cè)區(qū)域？不等式呢？若有學(xué)生提出從函數(shù)角度理解二元

10、一次不等式，可引導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)角度理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域。從函數(shù)的角度出發(fā)得出判斷二元一次不等式表示直線哪一側(cè)區(qū)域的方法：把不等式改為,從而表示直線以下區(qū)域。問題5:試用你的方法分別說說不等式所表示的平面區(qū)域是什么？與有何不同？作圖時如何體現(xiàn)？問題6:不等式和呢？有上面證明結(jié)論1的過程，這里由學(xué)生自行完成結(jié)論2的證明.通過上面一系列地實驗與交流探索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)判斷出二元一次不等式表示直線哪一側(cè)區(qū)域的方法.如有學(xué)生提出，可通過對不等式所表示的平面區(qū)域的思考，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)角度理解二元一次不等式表示的平面區(qū)域。由學(xué)生交流討論，解決問題，教師給于評價. 由學(xué)生交流討論，解決問題，教師給

11、于評價.思考2旨在引導(dǎo)學(xué)生證明結(jié)論2.通過上面一系列地實驗與交流與探索，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示知識形成過程，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，倡導(dǎo)布魯納的發(fā)現(xiàn)教學(xué)：讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人.結(jié)合多媒體課件動態(tài)演示，突破難點.充分考慮學(xué)生可能想到的方法,注重課堂的上學(xué)生的生成性問題及知識，鼓勵學(xué)生發(fā)揮自身的主觀能動性，鼓勵學(xué)生積極思考，對于學(xué)生正確的思考結(jié)果給予及時的鼓勵和肯定.問題5的設(shè)計目的在于讓學(xué)生主動思考邊界直線的實與虛不同的表示含義，從而有效的突破這個易錯點.問題6的設(shè)計是防止學(xué)生產(chǎn)生不等號是小于號了即表示直線下方區(qū)域的錯誤認(rèn)識，而則是考慮直線垂直于軸（此時無“上下”之說）的情形.歸納總結(jié)揭示新知結(jié)論3：在平面直

12、角坐標(biāo)系中,二元一次不等式(或)表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線,以表示區(qū)域不包含邊界；不等式 表示的平面區(qū)域包含邊界，把邊界畫成實線.由于直線同側(cè)的點的坐標(biāo)代入Ax+By+C中，所得實數(shù)符號相同，所以只需在直線的某一側(cè)取一個特殊點代入Ax+By+C中，從所得結(jié)果的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示哪一側(cè)的區(qū)域.即“直線定界，特殊點定域”。思考:如何取“特殊點” ？問題7：不等式表示怎樣的區(qū)域？如何判斷？從函數(shù)角度小結(jié)判斷二元一次不等式(或)表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，若不等式可改為的形式，即表示對應(yīng)直線上方區(qū)域；可改為的形式，即表示對應(yīng)直線下方區(qū)域。教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)“同側(cè)同

13、號”的結(jié)論和證明過程總結(jié)得出一般結(jié)論和畫平面區(qū)域的方法.學(xué)生思考，給出如何取“特殊點”的方法，直線不經(jīng) 過原點時，一般取原點.問題7由學(xué)生思考后回答。通過前面對一個具體實例的求解，歸納總結(jié)得出一般結(jié)論，遵循了從“具體到抽象”的認(rèn)知規(guī)律，蘊含了從“特殊到一般”的推理方法.及時梳理歸納，符合建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)原理，能較好地形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).代點法的引入，“直線定界，特殊點定域”，難點的突破也就水到渠成了.學(xué)生分組探索解決問題，有利于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過合作學(xué)習(xí)，提高分析和解決問題的能力，變“學(xué)會”為“會學(xué)”.充分保障學(xué)生的主體地位.問題7的設(shè)計是考慮直線經(jīng)過原點時如何判斷不等式表示的區(qū)域。應(yīng)用新知

14、練習(xí)鞏固例1.畫出下面二元一次不等式表示的平面區(qū)域：(1)；(2) .例2.畫出以下不等式組表示的平面區(qū)域：.例3.畫出引例中的二元一次不等式組表示的圖象,并指出所有的購買方案.例4.求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.學(xué)生練習(xí)：P98，1，42、若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，求的取值范圍.例1(1)采用學(xué)生回答老師板演的方法,給學(xué)生樹立規(guī)范答題的榜樣,(2)小題由學(xué)生板書畫出不等式的平面區(qū)域，并講解畫出的過程和判斷區(qū)域的方法.教師強調(diào)邊界線虛實線的劃法.例2教師點撥學(xué)生在作出每個區(qū)域后找出它們的交集.學(xué)生作圖，教師點評.例4由教師引導(dǎo)，學(xué)生完成.學(xué)生自行練習(xí)，教師巡視

15、，收集練習(xí)中出現(xiàn)的典型錯誤并及時訂正.留出一定時間讓學(xué)生自主練習(xí)， 教師巡視,第2題有一定的靈活性，注意在必要時予以引導(dǎo)和點拔.通過例題進(jìn)一步理解和鞏固所學(xué)的判斷方法，掌握畫二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的方法.由二元一次不等式到不等式組的設(shè)計，由淺入深，由易到難，便于學(xué)生的接受.例3與引例相呼應(yīng)，徹底的解決該問題，通過應(yīng)用題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.精心設(shè)計了階梯型的問題，層層設(shè)疑，學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中，思維層層深入.根據(jù)學(xué)生情況分層設(shè)計，注重學(xué)生的差異.鞏固所學(xué)知識與方法，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，使學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣.小結(jié)作業(yè)反饋評價1、二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法；2、畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法: “直線定界，特殊點定域”；3、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.作業(yè)： P108頁第3