立體幾何中幾類典型問題的向量解法-

1、 （2）設 n1 = ( x1 , y1 , z1 是平面 AB1C1 的法向量， 由 n1 × AB1 = 0, n1 × AC1 = 0 得 ì y 1 = 0, ì- x1 + y1 + z1 = 0, 所以 í 令 z1 = 1 ，則 n1 = (1,0,1 ， í î x1 = z1 , î- x1 + z1 = 0, 因為 AB = (-2,2,0 ，所以，B 到平面 AB1C1 的距離為 d = | AB × n1 | | n1 | = 2. （3）設 n2 = ( x2 , y2 , z

2、2 是平面 A1AB1 的法向量.由 n2 × AB = 0, n2 × AA 1 = 0, 得 ì- x2 + y 2 = 0, ì x2 = y 2 , 令 y 2 =1，則 n2 = (1,1,0, 所以í í î z 2 = 0. î z 2 = 0, 因為 cos < n1 , n2 > n1 × n2 | n1 |, | n2 | = 1 2 2 = 1 所以，二面角 C1AB1A1 的大小為 60° 2 6、 （）連結 AC、BD，設 AC I BD = O .由 PA

3、BCD 與 QABCD 都是正四棱錐，所以 PO 平面 ABCD，QO平面 ABCD.從而 P、O、Q 三點在一條直線上，所以 PQ平面 ABCD. （）由題設知，ABCD 是正方形，所以 ACBD. 由（） ，QO平面 ABCD. 故可分別以直線 CA、DB、QP 為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直 角坐標系（如圖） ，由題條件，相關各點的坐標分別是 P（0，0，1） ，A（ 2 2 ，0，0） ，Q （0，0，2） ，B（0， 2 2 ，0）. 所以 AQ = (-2 2 ,0,-2 PB = (0, 2 2, -1 uuu q uuuq uuu q uuuq uuu q AQ 

4、5; PB 2 1 于是 cos < AQ, PB >= uuuq uuu = . q = AQ × PB 2 3 ´ 2 3 6 1 從而異面直線 AQ 與 PB 所成的角是 arccos . 3 D z P C O B y A x (由（） ，點 D 的坐標是（0， 2 2 ，0） ， AD = (-2 2 ,-2 2 ,0 ， Q uuu q PQ = (0,0, -3 ，設 n = ( x, y, z 是平面 QAD 的一 個法向量，由 ì ì ïn × AQ = 0 ï 2x + z = 0 得

5、7; .取 x=1，得 n = (1,-1,- 2 . í ï ï îx + y = 0 în × AD = 0 第 16 頁 uuu q q PQ × n 3 2 所以點 P 到平面 QAD 的距離 d = . q = 2 n 7、 （）如圖，建立直角坐標系 Oxyz，其中原點 O 為 AC 的中點 設 A(a，0，0，B(0，b，0，B1(0，b，2c C1 則 C(a，0，0，C1(a，0，2c，E(0，0，c，D(0，b，c ED （0，b，0） ，BB1 (0，0，2c ED · BB1 0，EDBB1又

6、AC1(2a，0，2c， ED · AC10，EDAC1， C E O B A x z B1 A1 D y 所以 ED 是異面直線 BB1 與 AC1 的公垂線 （）不妨設 A(1，0，0，則 B(0，1，0，C(1，0，0，A1(1，0，2， BC (1，1，0， AB (1，1，0，AA1 (0，0，2， BC · AB 0， BC · AA1 0，即 BCAB，BCAA1，又 ABAA1A， BC平面 A1AD 又 E(0，0，1，D(0，1，1，C(1，0，1， EC (1，0，1， AE (1，0，1， ED (0，1，0， EC · AE 0， EC · ED 0，即 ECAE，ECED，又 AEEDE， EC面 C1AD EC ·