專升本復(fù)習(xí)資料高等數(shù)學(xué)

1、第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3.掌

2、握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。2.會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1.熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0&#

3、183;”、“-”型未定式的極限的方法。2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。4.會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。5.會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2.熟練掌握不定積分的基本公式。3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。

4、第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2.掌握定積分的基本性質(zhì)3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4.熟練掌握牛頓萊布尼茨公式。5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6.理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1.了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3.理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握

5、二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5.會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。6.會(huì)用二元函數(shù)的無(wú)條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1.了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5.會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。6.了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7.

6、理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8.會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識(shí)內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1.數(shù)列定義按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱為無(wú)窮數(shù)列

7、，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作xn，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1）1，3，5，（2n-1），（等差數(shù)列）（2）（等比數(shù)列）（3）（遞增數(shù)列）（4）1，0，1，0，（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為（2n-1）,。對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說(shuō)數(shù)列xn可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,x2,x3,.xn,。2.數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列xn，如果當(dāng)n時(shí)，xn無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨

8、于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列xn以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作 比如：無(wú)限的趨向0，無(wú)限的趨向1否則，對(duì)于數(shù)列xn，如果當(dāng)n時(shí)，xn不是無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列xn沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1，3，5，（2n-1），1，0，1，0，數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列xn以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)xn可以無(wú)限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)xn與點(diǎn)A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：無(wú)限的趨向0無(wú)限的趨向1（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則1.數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1（惟一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2（有界性）若數(shù)列xn

9、收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。比如：1，0，1，0，有界：0，12.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列xn,yn,zn滿足以下條件：（1），（2）， 則定理1.4若數(shù)列xn單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理1.5（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念1.當(dāng)xx0時(shí)函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)xx0時(shí)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）A（當(dāng)xx0時(shí)）例y=f（x）=2x+1x1,f（x）?x

10、<1x1x>1x1（2）左極限當(dāng)xx0時(shí)f（x）的左極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的左邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作或f（x0-0）=A（3）右極限當(dāng)xx0時(shí)，f（x）的右極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的右邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作或f（x0+0）=A例子：分段函數(shù)，求，解：當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)x0時(shí)，f（x）的左極限是1，即有當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí)，f（x）無(wú)

11、限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x0時(shí)，f（x）的右極限是-1，即有顯然，函數(shù)的左極限右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系：定理1.6當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是反之，如果左、右極限都等于A，則必有。x1時(shí)f(x?x1x1f(x2對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f（x）的左極限是2，右極限也是2。2.當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）的極限y=f(xxf(x?y=f(x=1+xf(x=1+1定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作或f（x）A（當(dāng)x時(shí)）（2）當(dāng)x+時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f

12、（x），如果當(dāng)x+時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x+時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n+的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出x+，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。y=f(xx+f(xx？x+，f(x=2+2例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當(dāng)x+時(shí)，f（x）？解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2所以（3）當(dāng)x-時(shí)，函數(shù)f（x）的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x-時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x-時(shí)，f（x）的極限是A，記作x-f(x？則f(x=2+(x0x-,-x+f(x=2+2例：函數(shù)，

13、當(dāng)x-時(shí)，f（x）？解：當(dāng)x-時(shí)，-x+2，即有由上述x，x+，x-時(shí)，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x時(shí)f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x+以及x-時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)x-時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x+時(shí)，f（x）也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)x時(shí)的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。f(x=1+y=arctanx不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)x-時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x+時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x=1+y=arctanx不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arc

14、tanx來(lái)講，因?yàn)橛?即雖然當(dāng)x-時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x+時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x時(shí)，y=arctanx的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件：（1），（2）則有。注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理定理1.9如果則（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：（1）（2）（3）用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在

15、，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。（五）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1.無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮?。┒x對(duì)于函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮小量，一般記作常用希臘字母，來(lái)表示無(wú)窮小量。定理1.10函數(shù)以A為極限的必要充分條件是：可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。注意：（1）無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨于為零。（2）要把無(wú)窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú)論它多么小也不是無(wú)窮小量。（3）一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可

16、以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：振蕩型發(fā)散 （4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫。皇菬o(wú)窮小量。（5）無(wú)窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)椤?.無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或）時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無(wú)限地增大），則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作。注意：無(wú)窮大（）不是一個(gè)數(shù)值，“”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成或。3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。定理1.11在同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大量，則為無(wú)窮小量；反之，如果為無(wú)窮小量，且，則為無(wú)窮大量。當(dāng)

17、無(wú)窮大無(wú)窮小當(dāng)為無(wú)窮小無(wú)窮大4.無(wú)窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。5.無(wú)窮小量的比較定義設(shè)是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無(wú)窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無(wú)窮小量；（3）如果則稱與為等價(jià)無(wú)窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價(jià)的無(wú)窮小量。當(dāng)?shù)葍r(jià)無(wú)窮小量代換定理：如果當(dāng)時(shí)，均為無(wú)窮小量，又有且存在，則。均為無(wú)窮小又有這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化

18、運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)時(shí)，sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;（六）兩個(gè)重要極限1.重要極限重要極限是指下面的求極限公式令這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的型的極限問(wèn)題。其結(jié)構(gòu)式為：2.重要極限重要極限是指下面的公式：其中e是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為e=2.718281828495045其結(jié)構(gòu)式為：重要極限是屬于型的未定型式，重要極限是屬于“”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法：1.利用極限的四則運(yùn)算法則

19、求極限；2.利用兩個(gè)重要極限求極限；3.利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限?；緲O限公式 （2）（3）（4）例1.無(wú)窮小量的有關(guān)概念（1）9601下列變量在給定變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是A.B.C.D. 答CA. 發(fā)散D.（2）0202當(dāng)時(shí)，與x比較是A.高階的無(wú)窮小量B.等價(jià)的無(wú)窮小量C.非等價(jià)的同階無(wú)窮小量D.低階的無(wú)窮小量答B(yǎng)解:當(dāng),與x是極限的運(yùn)算：0611解：答案-1例2.型因式分解約分求極限（1）0208 答解:（2）0621計(jì)算答解:例3.型有理化約分求極限（1）0316計(jì)算 答解:（2）9516

20、 答解:例4.當(dāng)時(shí)求型的極限 答（1）0308一般地，有例5.用重要極限求極限（1）9603下列極限中，成立的是A.B.C.D. 答B(yǎng)（2）0006 答解:例6.用重要極限求極限（1）0416計(jì)算 答解析解一：令解二：03060601（2）0118計(jì)算 答解:例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407 答0解:，例8.用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限0317 答0解:當(dāng)例9.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限（1）0307設(shè)則在的左極限答1解析（2）0406設(shè),則 答1解析例10.求極限的反問(wèn)題（1）已知?jiǎng)t常數(shù)?解析解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必達(dá)法則）即，得.（2）若求a,b的值.解析型未

21、定式.當(dāng)時(shí)，.令于是，得.即，所以.04020017，則k=_.（答:ln2）解析前面我們講的內(nèi)容：極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念；無(wú)窮小量的性質(zhì)以及無(wú)窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識(shí)內(nèi)容（一）函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)

22、x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量x（初值為x0）趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量y也趨近于0，即則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，則稱f

23、（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，并稱f（x）為a，b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)?？梢宰C明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)則稱點(diǎn)x0為f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若f（x）在點(diǎn)x0處有下列三種情況之一：（1）在點(diǎn)x0處，f（x）沒有定義；（2）在點(diǎn)x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點(diǎn)x0處f（x）有定義，且存在，但，則點(diǎn)x0是f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。，則f（x）在A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1

24、處都連續(xù)C.x=0處間斷，x=1處連續(xù)D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷解：x=0處，f（0）=0f（0-0）f（0+0）x=0為f（x）的間斷點(diǎn)x=1處，f（1）=1f（1-0）=f（1+0）=f（1）f（x）在x=1處連續(xù) 答案C9703設(shè)，在x=0處連續(xù)，則k等于A.0 B. C. D.2分析：f（0）=k答案B例30209設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=？解：f（0）=e0=1f（0）=f（0-0）=f（0+0）a=1 答案1（二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連

25、續(xù)，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）0，則在x0處連續(xù)。定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在x=x0處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對(duì)應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f -1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則f（x）必在a，b上有界。定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f(x在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在a，b上至少存在一個(gè)，使得推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)