不等式知識(shí)點(diǎn)劃分

1、不等式知識(shí)點(diǎn)劃分付高生一、不等式的地位不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一, 它不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著廣泛的工具性作用。不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。在近年的高考中,有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重(如2008年江西省高考理科數(shù)學(xué)試卷，考查知識(shí)性的試題就有20分，考查工具性的試題有20多分),試題不僅考查了不等式的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法,還

2、考查了運(yùn)算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 二、基本內(nèi)容和考試要求本章基本內(nèi)容包括不等式的基本性質(zhì)、不等式的解法、不等式的證明和含有絕對(duì)值的不等式等。要求：（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明；（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡單的應(yīng)用；（3）掌握用分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式；（4）掌握二次不等式、簡單的絕對(duì)值不等式和簡單的分式不等式的解法；（5）理解不等式 |a|-|b|a+b|a|+|b|。除此以外，對(duì)于不等式的解法，還要掌握簡單的高次不等式、無理不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法。這似乎超出了高考的范圍，事

3、實(shí)上，它們是通過等價(jià)變形將原不等式的求解歸結(jié)為一元一次或一元二次不等式（組）來求解的。對(duì)于不等式的證明，還要掌握例如換元法（特別是三角換元法）、反證法、構(gòu)造法和放縮法等方法。三、知識(shí)點(diǎn)解析: （一）不等關(guān)系： 課程標(biāo)準(zhǔn)要求：通過具體情境，感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。重點(diǎn)、難點(diǎn)：理解不等式的性質(zhì)及其證明，并進(jìn)行簡單應(yīng)用。掌握數(shù)或式的大小比值的基本方法作差比較法不等式的性質(zhì)：1. 三個(gè)等價(jià)關(guān)系（兩實(shí)數(shù)大小的比較）（1）（2）（3）2. 不等式基本性質(zhì)（1）、對(duì)稱性：如果，那么；如果，那么。（2）、傳遞性：如果， 那么。（3）、加法單調(diào)性：如果，那么。推

4、論1：如果且，那么。（相加法則）推論：如果且，那么。（相減法則）（4）、乘法單調(diào)性：如果且, 那么；如果且那么。推論1：如果且，那么。（相乘法則）如果且，那么。（相除法則）推論2：如果, 那么。（5）、性質(zhì)5：如果，那么。（6）的性質(zhì) 解題基本方法：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。 (2)注意課本上的幾個(gè)性質(zhì)成立的條件。另外需要特別注意： 若ab>0，則 。即不等式兩邊同號(hào)時(shí)，不等式兩邊取倒數(shù)，不等號(hào)方向要改變。 如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論。 圖象法：利用有關(guān)函數(shù)的圖象（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函

5、數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖象），直接比較大小。 中介值法：先把要比較的代數(shù)式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小 經(jīng)典題：例1 已知，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）A. B. C. D. 解：例2 判斷下列命題是否正確，并說明理由。（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則（5）若，則（6）若，則（7）若，則（8），則（9）若，且，則、均為正（10）（，）解：（1），（2）×時(shí)，不成立（3）由已知（4）×且時(shí)不成立（5）×應(yīng)為（6）×，時(shí)不成立（7） 單調(diào)增加（8）×為正數(shù)時(shí)成立（9）×、可均為負(fù)（10）左 左左 例3

6、已知，求、的范圍。解： 設(shè) 例4 已知：，若，試由大到小排列P、S。解：顯然，P （二）不等式的解法1、一元一次不等式：課程標(biāo)準(zhǔn)要求：掌握一元一次不等式的解法。重點(diǎn)、難點(diǎn)：一元一次不等式的解法，注意a的符號(hào)。解題基本方法：（1），解為（2），解為（3）經(jīng)典題：例1 已知不等式與不等式同解，解不等式。解：， 的解為 中 解 由題意 代入所求： 2、一元二次不等式：在高考中的地位：許多數(shù)學(xué)中的問題都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)解不等式的問題，如函數(shù)的定義域、值域、最值和參數(shù)的取值范圍，以及二次方程根的分布等。因此解不等式在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，是高考的必考內(nèi)容之一（不一定獨(dú)立成題，往往與其它問題綜合在一起）

7、。課程標(biāo)準(zhǔn)要求：經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。    通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。    會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。重點(diǎn)、難點(diǎn)：一元二次不等式的解法，關(guān)鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關(guān)系。解題基本方法：和型的不等式的解法。判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有相異二實(shí)根有二相等實(shí)根無實(shí)根一元二次不等式的解集（設(shè)）R（設(shè)）一元二次不等式的求 解流程：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫：畫出

8、對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.經(jīng)典題：【例1】 解不等式x23x10>0解：不等式x23x10>0的解集為例2不等式ax2+bx+c0的解集為x|x其中0，求不等式cx2+bx+a0的解集。解由已知條件得a0，原不等式可化為，為方程的兩根，a0得c0，不等式cx2+bx+a0可化為，不等式即它的解集.注意：根據(jù)解集的形式可以確定a0及c0。3、分式、高次不等式：課程標(biāo)準(zhǔn)要求：掌握簡單分式、高次不等式的解法。重點(diǎn)、難點(diǎn)：簡單分式、高次不等式劃歸為一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來解。解題基本方法：類不等式最后一般都要化為一元一次不等式（組）或一元二次不等

9、式（組）來解，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。.解分式不等式要使一邊為零，轉(zhuǎn)化為不等式組.如果能分解，可用數(shù)軸標(biāo)根法或列表法。解高次不等式的思路是降低次數(shù)，利用數(shù)軸標(biāo)根法求解較為容易.利用不等式的性質(zhì)可以把分式不等式 高次不等式因式分解，序軸標(biāo)根曲線在軸上方的部分的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不等式的解。簡單的高次不等式、分式不等式的求解問題還可采用“數(shù)軸標(biāo)根法”.數(shù)軸標(biāo)根法操作過程： (1)把不等式變形為一邊是一次因式的積,另一邊是0的形式; (2)各因式中x的系數(shù)全部變?yōu)?,約去偶次因式; (3)把各個(gè)根從小到大依次排好標(biāo)出,從右上方向左下方“穿針引線”;(4)嚴(yán)格檢查因式的根(特別是約去的偶次因式的

10、根)是否在解集內(nèi). 經(jīng)典題： 【例1】 解不等式1.思路分析一：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式的商，而右邊是非零常數(shù)，故需移項(xiàng)通分，右邊變?yōu)榱?，再利用商的符?hào)法則，等價(jià)轉(zhuǎn)化成整式不等式組.解法一：原不等式變?yōu)?0，即01x1或2x3.原不等式的解集是x1x1或2x3.思路分析二：經(jīng)移項(xiàng)通分后，右邊變?yōu)榱?，將左邊化為幾個(gè)一次因式的積（商）的形式，可用數(shù)軸標(biāo)根法求解。解法二：原不等式變?yōu)?0，0由數(shù)軸標(biāo)根法畫示意圖如右圖，可得不等式的解集為：x|1x1或2x3.注意：利用數(shù)軸標(biāo)根法解高次不等式或分式不等式時(shí)，如果出現(xiàn)重因式，若n是奇數(shù)，則該因式可視為x-a來解，若n為偶數(shù)，則先將因

11、式去掉，最后討論x=a是否為原不等式的解?！纠?】不等式0的解集是_.解析：數(shù)軸標(biāo)根法.答案：(-1,1)2,34、含參數(shù)一元二次不等式解法：在高考中的地位：參數(shù)的不等式恒成立問題是高考熱點(diǎn)題型之一.此類問題往往涉及面廣，題目難度大，綜合性強(qiáng)，解決此類問題所需的數(shù)學(xué)思想、方法較多,是考查考生綜合能力的一類重要問題課程標(biāo)準(zhǔn)要求：初步掌握含參不等式的解法。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的化歸能力和運(yùn)算能力。重點(diǎn)：會(huì)用分類討論的方法解含參不等式。難點(diǎn)：確定參數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)。解題基本方法：解含參數(shù)的不等式的基本途徑是分類討論，能避免討論的應(yīng)設(shè)法避免討論.解形如ax2+bx+c>0的不等式時(shí)分類討 論的標(biāo)準(zhǔn)有：

12、1、討論a 與0的大??；2、討論與0的大小；3、討論兩根的大?。唤?jīng)典題：例1解關(guān)于的不等式：解： ，此時(shí)兩根為，.（1）當(dāng)時(shí)，解集為()()；（2）當(dāng)時(shí)，解集為()()；（3）當(dāng)時(shí)，解集為；（4）當(dāng)時(shí)，解集為()()；（5）當(dāng)時(shí)，解集為()().例2解關(guān)于的不等式：解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式 其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)時(shí)，式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，式；（3）當(dāng)時(shí)，式.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.例3解關(guān)于的不等式：解： （1）時(shí)，（2）時(shí)，則或，此時(shí)兩根為，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，可知當(dāng)時(shí)，解集

13、為(,)； 當(dāng)時(shí)，解集為； 當(dāng)時(shí)，解集為()(); 當(dāng)時(shí)，解集為()().上述兩題分別代表一元二次不等式中多項(xiàng)式可否直接進(jìn)行因式分解，其共同點(diǎn)是二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，故需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行討論.上面三個(gè)例子，盡管分別代表了兩種不同的類型，但它們對(duì)參數(shù)都進(jìn)行了討論，看起來比較復(fù)雜，特別是對(duì)參數(shù)的分類，對(duì)于初學(xué)者確實(shí)是一個(gè)難點(diǎn)，但通過對(duì)它們解題過程的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)很好的規(guī)律：原來參數(shù)的分類是根據(jù)一元二次不等式中二次項(xiàng)系數(shù)等于零和判別式時(shí)所得到的的值為數(shù)軸的分點(diǎn)進(jìn)行分類，5、指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式課程標(biāo)準(zhǔn)要求：能利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的化歸能力和運(yùn)算能力。重點(diǎn)

14、、難點(diǎn)：會(huì)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式。解題基本方法：化為代數(shù)不等式，依據(jù)是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。 常見題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化： (1) (a>0,a1)。當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)<g(x)；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>g(x)。 (2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0。令ax=t(t>0)，轉(zhuǎn)化為mt2+nt+k>0，先求t的取值范圍，再確定x的集合。 (3)logaf(x)>logag(x) (a>0, a1)。 當(dāng)0<a<1時(shí)， 當(dāng)a>1時(shí)， (4) 。 令logaf(x)=

15、t (tR)，轉(zhuǎn)化為mt2+nt+k>0，先求t的取值范圍，再確定x的集合。 經(jīng)典題： 例1解不等式。 解：，所以x2-2x-3<3-3x，所以x2+x-6<0, 所以-3<x<2。 所以原不等式的解集為（-3，2）。 例2解不等式。 解：原不等式可化為，設(shè)2x=t(t>0), 則t2-12t-640。 所以-4t16，因?yàn)閠>0。所以0<t16, 故0<2x16, 從而x4。 所以原不等式的解集是（-，4。 例3解不等式 解：原不等式可化為： 所以所以所以1<x<5。 所以原不等式的解集為（1，5）。 注意：(1)解對(duì)數(shù)不等式

16、要考慮原不等式中的定義域；(2)如出現(xiàn)，往往將此項(xiàng)移項(xiàng)，這樣可以避開分式運(yùn)算；(3)如出現(xiàn)以2和4為底數(shù)的對(duì)數(shù)，最好統(tǒng)一成4為底的對(duì)數(shù)，這樣可以避開無理式運(yùn)算。 6、含絕對(duì)值的不等式在高考中的地位：絕對(duì)值不等式適用范圍較廣，向量、復(fù)數(shù)的模、距離、極限的定義等都涉及到絕對(duì)值不等式。高考試題中，對(duì)絕對(duì)值不等式從多方面考查。課程標(biāo)準(zhǔn)要求：1使學(xué)生掌握axbc與 axbc(c0)型的不等式的解法2使學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合，分類討論，方程與化歸的思想解一些簡單的絕對(duì)值不等式 重點(diǎn)：掌握axbc與 axbc(c0)型的不等式的解法難點(diǎn)：能夠利用數(shù)形結(jié)合，分類討論，方程與化歸的思想解一些（兩個(gè)絕對(duì)值）簡單的絕

17、對(duì)值不等式?；径ɡ恚簗a|-|b|a±b|a|+|b| 當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立。解題基本方法： 討論法：討論絕對(duì)值中的式子大于零還是小于零，然后去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般不等式。幾何法：絕對(duì)值在幾何上表示的是距離，所以有的時(shí)候可以用幾何圖形（如數(shù)軸）去解釋含有絕對(duì)值的不等式。常見題型及等價(jià)轉(zhuǎn)化：(1)一般地，不等式xa(a0)的解集是：xaxa(2)不等式xa(a0)的解集是xxa或xa（3)其推論為：axbc(c0)的解為：caxbcaxbc(c0)的解為axbc或axbc 經(jīng)典題：例1解不等式12x15思路一：這是一個(gè)雙連不等式，利用絕對(duì)值在數(shù)軸上的意義可以得出12x15或

18、52x11，從而求出不等式的解解：原不等式等價(jià)于12x15或52x11，即：22x6或42x0 解得：1x3或2x0故原不等式的解集為x2x0或1x3思路二：將原不等式轉(zhuǎn)化為進(jìn)而求出與不等式解集的交集解：原不等式等價(jià)于即或不等式組的解為1x3 不等式組的解為2x0故原不等式的解集為x2x0或1x3誤區(qū)點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，容易發(fā)生以下失誤在第一種解法中，將不等式轉(zhuǎn)化為12x15或12x15，在第二種解法中，將不等式轉(zhuǎn)化為含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的絕對(duì)值號(hào)的不等式的解法例2解不等式x3x38思路一：這是一個(gè)含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，為了使其轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，應(yīng)進(jìn)行分類討論解：

19、令x30，x30，得x3或3，解得：x4，解得：，解得：x4取的并集得原不等式的解為x4或x4點(diǎn)評(píng)：解這類絕對(duì)值符號(hào)里是一次式的不等式如：xaxbc或xaxbc，xaxb或xaxb常用“零點(diǎn)分段法”其一般步驟為：(1)分別求出每個(gè)絕對(duì)值為零的根，稱之為零點(diǎn)；(2)將各零點(diǎn)在數(shù)軸上標(biāo)出來，它們將數(shù)軸分成若干段；(3)依次對(duì)各段上的x進(jìn)行討論，求出相應(yīng)所得不等式的解集；(4)取這些不等式解集的并集即得原不等式的解集 思路二：利用函數(shù)的圖象解題解：分別畫出y1x3x3與y28的圖象 由圖象觀察可知：要使y1y2，只須x4或x4原不等式的解集為xx4或x4思路三：利用絕對(duì)值的幾何意義解題解：x3x38

20、圖113表示數(shù)軸上與A(3)，B(3)兩點(diǎn)距離之和大于8的點(diǎn)，而AB6，如圖112因此，要找與A、B距離之和為8的點(diǎn)，只須由點(diǎn)B右移1個(gè)單位，或點(diǎn)A左移一個(gè)單位，如圖113由圖象可得：原不等式的解集為xx4或x4點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如xaxbc，xaxbc，或xaxb的不等式，利用不等式的幾何意義或者畫出左右兩邊的圖象去解不等式，更為直觀，簡捷7、無理不等式課程標(biāo)準(zhǔn)要求：初步掌握簡單無理不等式的解法。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的化歸能力和運(yùn)算能力。重點(diǎn)：會(huì)用轉(zhuǎn)化、劃歸的方法解簡單無理不等式。難點(diǎn)： 無理不等式劃歸為有理不等式解題基本方法：解含無理不等式的基本途徑是轉(zhuǎn)化、劃歸。(1)> (2)>g(

21、x) 或 或 (3) <g(x) 經(jīng)典題：例解不等式x-2。 解法一： 即 ，所以x5。所以原不等式的解集為5，+）。 解法二：設(shè)=t (t0)。 則x=。所以原不等式化為t-2,所以t2-2t-30, 即t-1或t3。因?yàn)?t0, 所以t3, 所以x5。 解法3：令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函數(shù)y1>y2的x的取值范圍。在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象（圖4）。設(shè)它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0, 則=x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1（舍）。所以原不等式解集為5，+）。 評(píng)述：解法1是通法，要求必須熟練掌握，解法2是換元法，由于不等式兩邊次數(shù)恰是倍

22、數(shù)關(guān)系，故換元后變?yōu)槎尾坏仁剑罱K還要解x的方程。解法3是數(shù)形結(jié)合法，用圖象解題，一般比較簡捷、形象、直觀，但要注意作圖的正確和表達(dá)的清晰和完整。 （三）不等式的證明方法作用地位： 證明不等式是數(shù)學(xué)的重要課題，也是分析、解決其他數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，特別是在微積分中，不等式是建立極限論的理論基礎(chǔ)。高考中，主要涉及基本不等式，以及運(yùn)用不等式性質(zhì)所能完成的簡單的不等式的證明。用數(shù)學(xué)歸納法證明的與自然數(shù)有關(guān)的不等式命題難度較大。 課程標(biāo)準(zhǔn)要求：通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法重點(diǎn)、難點(diǎn)：不等式的基本證明方法：比較法、綜合法、分析法解題基本方法：（1）比較

23、法：作差比較： 作差比較的步驟： 作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。 變形：對(duì)差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和。 判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。 注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。 （2）綜合法：由因?qū)Ч?（3）分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證只需證，只需證 （4）反證法：正難則反。 （5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。 放縮法的方法有： 添加或舍去一些項(xiàng)，將分子或分母放大（或縮?。?利用基本不等式，（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)

24、換元。（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式； 典型題：1、比較法：（做差、做商）這是最常用的證明不等式的方法?！纠?】：已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：。證明：都是正數(shù)，并且<，> 0，> 0 即：?！纠?】：設(shè)a, b Î R+，求證：。證明：作商得，當(dāng)a = b時(shí)，當(dāng)a > b > 0時(shí)，當(dāng)b > a > 0時(shí)， ，。2、綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式?！纠?】：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a

25、2) + c(a2 + b2) > 6abc。證明：b2 + c2 2bc , a > 0 , a(b2 + c2) 2abc同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc當(dāng)且僅當(dāng)b=c，c=a，a=b時(shí)取等號(hào)，而a, b, c是不全相等的正數(shù)a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc3、分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題。【例4】：設(shè)x > 0

26、，y > 0，證明不等式：。證明：所證不等式即：即：即：只需證：成立， 4、換元法【例5】：求證：。證明： 令 ，即： 5、放縮法這一類型比較靈活，記住一些放縮規(guī)則很重要。比如分子不變，分母變大（小），分?jǐn)?shù)變?。ù螅?；相反分母不變，分子變?。ù螅?，分?jǐn)?shù)變小（大）?！纠?】：，求證證明：6、反證法【例7】：設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時(shí)大于。證明：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >，則三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1

27、- c)a < 又0 < a, b, c < 1 ，同理：, ，以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾，原式成立。7、構(gòu)造法（構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造圖形）【例8】：求證：證明：設(shè) 則，用定義法可證：f (t)在上單調(diào)遞增，令：3t1<t2 則，。（四）二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題地位與作用：線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。再理解。通過這一部分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力。每年高考必有一題。

28、課程標(biāo)準(zhǔn)要求：會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決重難點(diǎn)：會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決解題基本方法：解線性規(guī)劃問題的一般步驟：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。典型題：例1下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)（1，2）位于直線x+y1=0的同一側(cè)的是 

29、 （c）    A（0，0）            B（1，1）       C（1，3）              D（2，3）例2下列各點(diǎn)中，位于不等式（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是  （B）A（0，0）    &#

30、160;       B（2，0）         C（1，0）           D（2，3）例3用不等式組表示以點(diǎn)（0，0）、（2，0）、（0，2）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部，該不等式組為_. . 例4甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，它們可調(diào)出的數(shù)量分別是300t和750t.A、B、C三地需要該種產(chǎn)品的數(shù)量分別為200t、450t、400t，甲運(yùn)往A、B、C三地每1t產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)分別為6元

31、、3元、5元，乙地運(yùn)往A、B、C三地每1t產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)分別為5元、9元、6元，為使運(yùn)費(fèi)最低，調(diào)運(yùn)方案是_，最低運(yùn)費(fèi)是_.甲地運(yùn)往B地300t，乙地運(yùn)往A地200t，運(yùn)往B地150t，運(yùn)往C地400t，5650元;例5畫出不等式組表示的平面區(qū)域.思路分析：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.解：運(yùn)用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法，先畫出直線xy+5=0（畫成實(shí)線），如下圖，取原點(diǎn)（0，0），代入xy+5.00+5=50，原點(diǎn)在xy表示的平面區(qū)域內(nèi)，即xy+50表示直線xy+5=0上及右下方的點(diǎn)的集合，同理可得x+y0表示直線x+y=

32、0上及右上方的點(diǎn)的集合，x3表示直線x=3上及左方的點(diǎn)的集合.  例6一個(gè)農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn)，若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400千克；若種花生，則每畝每期產(chǎn)量為100千克，但水稻成本較高，每畝每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可賣5元，稻米每千克只賣3元，現(xiàn)在他只能湊足400元，問這位農(nóng)民對(duì)兩種作物各種多少畝，才能得到最大利潤?思路分析：這是一個(gè)求最大利潤問題，首先根據(jù)條件設(shè)種兩種作物分別為x、y畝，根據(jù)條件列出不等式組和目標(biāo)函數(shù)畫圖，即可得到最大利潤.    解：如下圖所示，設(shè)水稻種x畝，花生種y畝，則由題意得而利潤P=（3

33、×400240）x+（5×10080）y=960x+420y（目標(biāo)函數(shù)），    可聯(lián)立得交點(diǎn)B（1.5，0.5）.    故當(dāng)x=1.5，y=0.5時(shí)，    Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，    即水稻種1.5畝，花生種0.5畝時(shí)所得到的利潤最大. （五）基本不等式地位與作用：基本不等式不僅是采用綜合法時(shí)作為出發(fā)點(diǎn)的重要定理，也是求有關(guān)最值問題的重要工具，在應(yīng)用的時(shí)候不僅要注意成立的條件（正數(shù)），還要

34、注意對(duì)給出式子的變形。課程標(biāo)準(zhǔn)：了解基本不等式的證明過程會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題【重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【難點(diǎn)】基本不等式等號(hào)成立條件解題基本方法：1、在不等式的應(yīng)用中，經(jīng)常使用的不等式公式有；若，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。若，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。若，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。推廣：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2、注意：應(yīng)用公式的條件；取等號(hào)的條件；廣義地理解公式中的字母、；公式的逆用、變用：。定和定積原理：若個(gè)正數(shù)的和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)這各正數(shù)相等時(shí)積取到最大值； 若個(gè)正數(shù)的積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)正數(shù)相等時(shí)和取到最小

35、值。3、應(yīng)用不等式知識(shí)解題，關(guān)鍵是建立不等量關(guān)系，其途徑有： 利用題設(shè)中的不等量大小；利用不等式基本性質(zhì)；利用所涉及對(duì)象的概念內(nèi)涵外延所賦予的不等量大小；利用變量的有界性；利用幾何意義；利用判別式；利用不等式基本公式等等經(jīng)典例題：例1. （1）求的最小值。（2）求的最小值。（3）若0<x<, 求x(2-5x)的最大值。 解：（1）2=8，當(dāng)且僅當(dāng)=即x=2時(shí)原式有最小值8。（2）=（+1）+-12-1=4-1；當(dāng)且僅當(dāng)+1=即x=9-4時(shí)原式有最小值4-1。（3）0<x<,2-5x>0， 當(dāng)且僅當(dāng)5x=2-5x，即x=時(shí)，原式有最大值。例2. （1）已知x>

36、0,求y=的最大值； (2) 求的取值范圍。(1)從而有。（2）顯然，所以，或因此，的值域?yàn)槔?. （1）（06陜西）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（ ）B、8、6C、4D、2（2）（06天津）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 噸20（3）已知，則的最小值 解：=3(4)（06浙江）“ab0”是“ab”的 （ ） AA、充分而不必要條件 B、必要而不充分條件C、充分必要條件 D、既不允分也不必要條件（5）（07北京）如果正數(shù)滿足，那么（ ） A、，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一、，且等號(hào)成

37、立時(shí)的取值唯一、，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一、，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一（6）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=1，則(1xy)(1+xy) ( ) BA、有最小值，也有最大值1B、有最小值，也有最大值1C、有最小值，但無最大值D、有最大值1，但無最小值例4. 若正實(shí)數(shù)x、y滿足的最小值是多少？分析：本題主要考查最值的求法，函數(shù)與方程的思想，均值不等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化的思想，直線方程與數(shù)形結(jié)合的思想，以及靈活分析解決數(shù)學(xué)問題的能力.解法一：時(shí)取等號(hào).解法二： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).解法三：設(shè)：須（解法四 成等差數(shù)列.設(shè)此題雖然不難，但考查了學(xué)生的審題能力，及在解題過程中正確利用各知識(shí)點(diǎn)，可以任學(xué)生發(fā)揮，

38、既訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維，又可以提高學(xué)生綜合利用各部分知識(shí)的能力.例5. (2004年上海)某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8m2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時(shí)用料最省?解:由題意得 xy+x2=8,y=(0<x<4). 于定, 框架用料長度為 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 當(dāng)(+)x=,即x=84時(shí)等號(hào)成立. 此時(shí), x2.343,y=22.828.故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時(shí), 用料最省.（六）不等式恒成立解題基本方法：不等式恒成立題型，通常使用分離常數(shù)法，我們經(jīng)常見到有關(guān)不等式恒成立的問題，如“f (x,k)0或f(x,k) 0(其中xA )恒成立，求k的取值范圍。”這類問題通?？梢苑蛛x變量為h(k)g(x)或h(k) g(x), 再利用求函數(shù)最值的方法解決。典型題：例1 （2006江西）若不等式x2ax1³0對(duì)一切xÎ成立，則a的最小值為（ ）。A0 B. 2 C.- D.-3解：因?yàn)閤Î，且x2ax1³0，所以，所以，又在內(nèi)是單調(diào)遞減的，所以，故選C。評(píng)析：此題若用y=x2ax1，xÎ的最小值非負(fù)的方法來解，就太復(fù)雜了。（七）