工程力學(xué)2ppt課件

1、 2.4 平面任意力系的簡化與平衡平面任意力系的簡化與平衡 2.4.1 力的平移定理力的平移定理 2.4.2 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化 2.4.3 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 2.4.4 剛體系統(tǒng)的平衡問題剛體系統(tǒng)的平衡問題 平面任意力系習(xí)題課平面任意力系習(xí)題課 2.4 平面任意力系的簡化與平衡平面任意力系的簡化與平衡平面任意力系平面任意力系(coplanar arbitrary force system) ：各力的作用：各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點(diǎn)又不相互平行的力系叫平面線在同一平面內(nèi)，既不匯交為一點(diǎn)又不相互平行的力系叫平面一般力

2、系一般力系.例力系向一點(diǎn)簡化：把未知力系平面任意力系變成已知力系向一點(diǎn)簡化：把未知力系平面任意力系變成已知 力系平面匯交力系和平面力偶系）力系平面匯交力系和平面力偶系）2.4.1 2.4.1 力的平移定理力的平移定理力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力的力 平行移到任一平行移到任一 點(diǎn)點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶。這個(gè)力偶，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶。這個(gè)力偶 的矩等于原來的力的矩等于原來的力 對新作用點(diǎn)對新作用點(diǎn)B的矩。的矩。FF證證 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF ,F(Theorem of translation of a force)力的平移

3、定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力的平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力 力力+力偶力偶 力平移的條件是附加一個(gè)力偶力平移的條件是附加一個(gè)力偶m，且，且m與與d有關(guān)，有關(guān)，m=Fd 力的平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。力的平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。說明：說明：2.4.2 2.4.2 平面一般力系向一點(diǎn)簡化平面一般力系向一點(diǎn)簡化 匯交力系 力 ， R(主矢)力 偶 系 力偶 ，MO (主矩)一般力系任意力系）一般力系任意力系）（未知力系）匯交力系匯交力系+力偶系力偶系向一點(diǎn)簡化向一點(diǎn)簡化（已知力系）(作用在簡化中心)(作用在該平面上)(Reduction of a coplanar force sys

4、tem to a given center) 大?。?主矢 方向： R iFFFFR321vector) principal(主主矢矢 )()()( moment) principal(21321iOOOOFmFmFmmmmM主主矩矩2222)()(YXRRRyx XYRRxy11tantan （移動(dòng)效應(yīng)）簡化中心簡化中心 (與簡化中心位置無關(guān)與簡化中心位置無關(guān)) 因主矢等于各力的矢量和因主矢等于各力的矢量和 大?。?主矩MO 方向： 方向規(guī)定 + 簡化中心： (與簡化中心有關(guān)) （因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數(shù)和）)(iOOFmM（轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)）在工程中常見的雨 搭車 刀固定端插入端約束固定

5、端插入端約束（fixed support） 固定端插入端約束固定端插入端約束說明說明 認(rèn)為認(rèn)為Fi這群力在同一這群力在同一 平面內(nèi)平面內(nèi); 將將Fi向向A點(diǎn)簡化得一點(diǎn)簡化得一 力和一力偶力和一力偶; RA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力YA, XA表示表示; YA, XA, MA為固定端為固定端 約束反力約束反力; YA, XA限制物體平動(dòng)限制物體平動(dòng), MA為限制轉(zhuǎn)動(dòng)。為限制轉(zhuǎn)動(dòng)。簡化結(jié)果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分別討論。 =0,MO0 即簡化結(jié)果為一合力偶, MO=M 此時(shí)剛 體等效于只有一個(gè)力偶的作用，因?yàn)榱ε伎梢栽趧傮w平 面內(nèi)任意移動(dòng)，故這時(shí)，主矩與簡化中心O無關(guān)。R

6、=0， MO =0，則力系平衡，則力系平衡,下節(jié)專門討論。下節(jié)專門討論。 RR 0,MO =0,即簡化為一個(gè)作用于簡化中心的合力。這時(shí)，即簡化為一個(gè)作用于簡化中心的合力。這時(shí)， 簡化結(jié)果就是合力這個(gè)力系的合力）簡化結(jié)果就是合力這個(gè)力系的合力）, 。（此時(shí)。（此時(shí) 與簡化中心有關(guān)，換個(gè)簡化中心，主矩不為零）與簡化中心有關(guān)，換個(gè)簡化中心，主矩不為零）RRRR 0,MO 0, 0,MO 0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡 化為一個(gè)合力化為一個(gè)合力 。R合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用線位置的作用線位置RMdORR結(jié)論：結(jié)

7、論：)(1niiOOFmM)()(主矩OOMdRRm)()(1niiOOFmRM 平面任意力系的簡化結(jié)果 ：合力偶MO ； 合力 合力矩定理：由于主矩 而合力對O點(diǎn)的矩 合力矩定理 由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義。 即：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系 中各力對于同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。R例：如圖所示結(jié)構(gòu)，半徑r=0.4m, P1=20kN, P2=6kN, P3=2kN, M=4kN.m, =30, 試將此力系向O點(diǎn)簡化，求出主矢和主矩。kN20.252362030cos21PPFRxx1221630sin32PPFRyykN計(jì)算主矢R：解：建立參考坐標(biāo)系如圖(a)所示

8、。 03968.0tanxyRR612計(jì)算主矩MO： mkNrPrPrPMPMMiOO.8 . 04 . 024 . 064 . 0200 . 4321例：如圖所示簡支梁AB上作用有荷載P1 、P2 、P3，且P1=30kN，P2=15kN，P3=5kN，試求合力R及其合力作用點(diǎn)位置。解：選參考坐標(biāo)系如圖所示，則合力R為：5051530321PPPPRykN設(shè)合力R距A點(diǎn)為x，由合力矩定理： iAAPMRM得：mxx9.39561523050 = 0 為力平衡 MO = 0 為力偶也平衡2.4.3 2.4.3 平面一般力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程0)()(22YXR

9、0)(iOOFmMR R 所以平面任意力系平衡的充要條件為： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： R 由于0X0)(iAFm0)(iBFm二矩式二矩式條件：條件：x 軸不軸不 AB 連線連線0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm三矩式三矩式條件：條件：A,B,C不在不在 同一直線上同一直線上上式有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)。上式有三個(gè)獨(dú)立方程，只能求出三個(gè)未知數(shù)。0X0Y0)(iOFm一矩式一矩式 例 知：P, a , 求：A、B兩點(diǎn)的支座反力？解：選AB梁研究 畫受力圖以后注明 解除約束，可把支反 力直接畫在整體結(jié)構(gòu) 的原圖上）0)(iAFm由32 , 032PNaNaPBB

10、0X0AX0Y3 , 0PYPNYABB解除約束設(shè)有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O點(diǎn)簡化得： 合力作用線的位置為： 平衡的充要條件為 主矢 =0 主矩MO =0 R FxFRMxiiORFRRO主矢iiiOOxFFmM)(主矩平面平行力系平面平行力系: :各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。所以 平面平行力系的平衡方程為：0)(iAFm0)(iBFm 二矩式二矩式條件：條件：AB連線不能平行連線不能平行 于力的作用線于力的作用線0Y0)(iOFm 一矩式一矩式實(shí)質(zhì)上是各力在x 軸上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求

11、解兩個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)。0X0, 0AXX由022; 0)(aPmaaqaRFmBA0Y0PqaRYBA)kN(122028 .01628 .02022PamqaRB)kN(24128 .02020BARqaPY例例 知：知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、B的支反力。的支反力。解：研究AB梁解得：例例 知：塔式起重機(jī)知：塔式起重機(jī) P=700kN, W=200kN (最大起重量最大起重量)，尺寸如，尺寸如圖。求：圖。求：保證滿載和空載時(shí)不保證滿載和空載時(shí)不致翻倒，平衡塊致翻倒，平衡塊Q=？ 當(dāng)當(dāng)Q=180kN時(shí)，求滿載時(shí)軌道時(shí)，求滿載時(shí)軌道A、B給

12、起重機(jī)輪子的反力？給起重機(jī)輪子的反力？0)(FmB0) 22() 212(2) 26(ANWPQ0ANkN 75Q限制條件：限制條件：解得解得解：解： 首先考慮滿載時(shí)，起首先考慮滿載時(shí)，起重機(jī)不向右翻倒的最小重機(jī)不向右翻倒的最小Q為：為：空載時(shí)，空載時(shí)，W=0由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制條件為：限制條件為：0BN解得解得kN 350Q因此保證空、滿載均不倒因此保證空、滿載均不倒Q應(yīng)滿足如下關(guān)系：應(yīng)滿足如下關(guān)系：kN 350kN 75Q04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA, 0iF0BANNWPQkN 870,kN 210BANN求當(dāng)求當(dāng)Q=180kN，滿載

13、，滿載W=200kN時(shí)，時(shí)，NA ,NB為多少為多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得：本節(jié)作業(yè)：2.4.4 2.4.4 靜定與靜不定問題的概念靜定與靜不定問題的概念 物體系統(tǒng)的平物體系統(tǒng)的平衡衡當(dāng)：獨(dú)立方程數(shù)目=未知數(shù)數(shù)目時(shí)，是靜定問題可求解） 獨(dú)立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時(shí)，是靜不定問題超靜定問題）一、靜定與靜不定問題的概念一、靜定與靜不定問題的概念我們學(xué)過：我們學(xué)過：平面匯交力系平面匯交力系 兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求兩個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。 一個(gè)獨(dú)立方程，只能求一個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。一個(gè)獨(dú)立方程，只能求一個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。 0X0Y0im0

14、X0Y0)(iOFm力偶系平面任意力系三個(gè)獨(dú)立方程，只能求三個(gè)獨(dú)立未知數(shù)。（Problems statically determinate and statically indeterminate） 例例 靜不定問題在強(qiáng)度力學(xué)材力,結(jié)力,彈力中用位移諧調(diào)條件來求解。靜定未知數(shù)三個(gè)） 靜不定未知數(shù)四個(gè)）例 二、物體系統(tǒng)的平衡問題二、物體系統(tǒng)的平衡問題外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力叫內(nèi)力。物體系統(tǒng)物系）：由若干個(gè)物體通過約束所組成的系統(tǒng) 。物系平衡的特點(diǎn)：物系平衡的特點(diǎn)：

15、物系靜止物系靜止 物系中每個(gè)單體也是平衡的。每個(gè)單體可列物系中每個(gè)單體也是平衡的。每個(gè)單體可列3 3個(gè)個(gè) 平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可列平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可列3n3n個(gè)方程設(shè)物系中個(gè)方程設(shè)物系中 有有n n個(gè)物體）個(gè)物體）解物系問題的一般方法：解物系問題的一般方法： 由整體由整體 部分常用），由局部部分常用），由局部 整體用較少）整體用較少）例例 知：知：OA=R, AB= l , 當(dāng)當(dāng)OA水平時(shí)，沖壓力為水平時(shí)，沖壓力為P時(shí)，時(shí)， 求：求：M=？O點(diǎn)的約束反力？點(diǎn)的約束反力？AB桿內(nèi)力？桿內(nèi)力？沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？0X由0sin BSN0Y0cosBSP tan ,cosPNPS

16、B 解：研究解：研究B0)(FmO0cosMRSA0X0sin AOSX0Y0cosOAYSPRM PYO tan PXO 負(fù)號表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反再研究輪例例 圖圖 (a)所示三根長度均為所示三根長度均為2l的桿件位于同一鉛直平面內(nèi)，各的桿件位于同一鉛直平面內(nèi)，各桿的中點(diǎn)桿的中點(diǎn)B、C、D用鉸鏈連接，用鉸鏈連接，A為固定鉸鏈支座，為固定鉸鏈支座，E為活動(dòng)為活動(dòng)鉸鏈支座，在鉸鏈支座，在F點(diǎn)作用有鉛直力點(diǎn)作用有鉛直力P不計(jì)各桿自重，試求不計(jì)各桿自重，試求AC桿桿上上B點(diǎn)受到的約束反力點(diǎn)受到的約束反力 解 本題共有九個(gè)未知約束反力，三個(gè)構(gòu)件均受平面任意力系作用，所能列寫的平衡方程的最大數(shù)

17、目為九個(gè)，因此是一靜定問題。 解法1(1) 取整體為研究對象，受力圖如圖 (b)所示，根據(jù)幾何關(guān)系可求得 列寫平衡方程，有 9 .101 .199 .40 PPNllPllNFmEEA866. 0coscos2sin2cos0)sin2cos()coscos2(0)( 解解得得(2) 取取BE桿為研究對象，受力圖如圖桿為研究對象，受力圖如圖 (c)所示，列寫平衡方程，有所示，列寫平衡方程，有PNRlRlNFmEBxBxED82. 0cos0cos20)( 解得解得 討論： (1)從本例可以看到求解物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，一般總是先選取整體為研究對象，當(dāng)整體出現(xiàn)的未知量有三個(gè)時(shí)，可以全部求出(是否

18、需要全部求出，根據(jù)具體情況而定)。當(dāng)未知量超過三個(gè)時(shí)，可以求解出其中的部分未知量。 (2)對于一個(gè)結(jié)構(gòu)，往往不需求出整個(gè)系統(tǒng)所有的約束反力，而是只需求解部分約束反力，這是求解物體系平衡問題時(shí)經(jīng)常遇到的，在選擇研究對象及列寫平衡方程時(shí)，應(yīng)考慮到盡量避開不需要求解的未知量，而用最少數(shù)目的平衡方程求得所求的未知量，以使求解過程簡單。 例 圖(a)所示結(jié)構(gòu)由三個(gè)構(gòu)件AB、BD及DE構(gòu)成，A端為固定端約束，B及D處用光滑圓柱鉸鏈連接、BD桿的中間支承C及E端均為可動(dòng)鉸鏈支座，已知集中載荷P10kN，均布載荷的集度q5kN/m，力偶矩大小M30kNm，梁的尺寸如圖所示，單位為m，各構(gòu)件自重不計(jì)。試求A、C及E處的約束反力。解解 本題的特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)受到有各種不同類型的載荷，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，本題的特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)受到有各種不同類型的載荷，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，可以根據(jù)題目要求來靈活選取研究對象和列寫平衡方程?？梢愿鶕?jù)題目要求來靈活選取研究對象和列寫平衡方程。 討論： (1) 本題要求解的約束反力共有五個(gè)，按上述求解方法只列寫了五個(gè)平衡方程，因此這種解題方案是可取的。請讀者考慮，是否還有其