極限計(jì)算方法總結(jié)(簡潔版)

1、極限計(jì)算方法總結(jié)(簡潔版)一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1定義：(各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見高等數(shù)學(xué)函授教材，這里不一一敘述)。說明：(1)一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如:lim -b n an0 (a,b為常數(shù)且 a 0) ； lim(3x 1)5 ； lim qnx 2n0，當(dāng)|q| 1時(shí) 不存在, 當(dāng)|q|1時(shí)等等(2)在后面求極限時(shí)，(1)中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定 義證明。2 極限運(yùn)算法則(1)定理1已知lim f (x), limg(x)都存在，極限值分別為A, B,則下面極限都存在，且有l(wèi)

2、imf(x) g(x) A B(2) lim f (x) g(x) A B1imfgA,(此時(shí)需B 。成立)說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3 兩個(gè)重要極限(1)sin x limx 01 lim (1x)x e ；lim (1 丄)xex 0?xx說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式,作者簡介：靳一東，男，(1964),副教授。1例如：lim 泌1, lim(1 2x) 2x e, lim (1x 0 3xx o/x4.等價(jià)無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小(即極限是定理3當(dāng)x 0時(shí)，下列函數(shù)都

3、是無窮小(即極限是0),且相互等價(jià)，即有：x sin x tanx arcs in x arctanx ln(1 x)ex 1。說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)(g(x) 0 ),仍有上面的等價(jià)3x2關(guān)系成立，例如：當(dāng)x 0時(shí)，e 13x ； ln(1 x2) X。定理4如果函數(shù)f (x), g(x), f1(x), g1(x)都是x x時(shí)的無窮小，且f(x)fx), g(x)f1 (x)f(x)f1 (x)g1(x)，則當(dāng)lim - 存在時(shí)，lim也存在且等于f(x) lim -,即x xo g-(x)x x g(x)x xo g-(x).f(x) f-(x)lim = lim

4、 -。x xo g(x) x 倉 g-(x)5 洛比達(dá)法則定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時(shí)，函數(shù) f(x)和g(x)滿足：(1) f (x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；(2) f (x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；r f(X)(3) lim存在(或是無窮大)；g (x).f (x). f (x). f (x) f (x)則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim=limg(x)g (x)g(x) g (x)說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗(yàn)證所求極

5、限是否為“0 ”型或“一”型；條件0(2) 般都滿足，而條件(3)則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6 連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果 X。是函數(shù)f (x)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有 lim f (x) f (x0)。x X07 極限存在準(zhǔn)則定理7 (準(zhǔn)則1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理8 (準(zhǔn)則2)已知Xn ,yn ,Zn為三個(gè)數(shù)列，且滿足:(1)Zn , (n 1,2,3,)(2)lim yn a, lim z“ann則極限lim xn 一定存在，且極限值也是an，即 lim xnn1.求極限方法舉例用初等

6、方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限3x 12limx 1 x 1解：原式=lim 匕3x1)22lim。x 1 (x 1)( J3x 12) x 1 (x 1)(J3x 12)43x 3注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例 2 limn(、n 2. n 1)n解：原式=nimn(n 2) (n 1)分子分母同除以訕例3 nim3n上下同除以3n解：原式limn1)n(I02. 利用函數(shù)的連續(xù)性(定理12 ：ex求極限例 4 lim xx 2解：因?yàn)閄02是函數(shù)f(X)12 xx e的一個(gè)連續(xù)點(diǎn),1所以原式= 22e24-. e3.利用兩個(gè)重要極限求極限1 cosx lim 2 x 0 3x2 x2

7、sin -解：原式=lim嚴(yán)x 0 3x2lXm02 x2 sin 2x 2 12(3)注：本題也可以用洛比達(dá)法則。2例 6 lim (1 3sin x)xx 0解：原式=lim (1 3sinx) 3sinxx 01 6sin xxlim(101 6sin x3sin x) 3sinx x例 7nim(T7)解：原式=lim (1nn 1 3n3 )市 nlim(1nn 1 3n3 n 13)3e o4.利用定理2求極限2 1例 8 lim x sinx 0x解：原式=0 （定理2的結(jié)果）。5.利用等價(jià)無窮小代換（定理 4）求極限lim xln（1 3x）例 9 limx 0 arctan（

8、x2）解:2 2x0時(shí)，ln(1 3x)3x, arctan(x )x ,原式=limx 0 x2x sin x e e例 10 limx 0 xsin x解：原式=0。sinx # x sin x .e (e 1)x sin xsin x . e (x sin x), lim1 ox 0 x sinx注：下面的解法是錯(cuò)誤的:xsin x.(e 1) (e 原式=lim01)x sin xlim x Sinx 1。x 0 x sin x正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣:tanx sinx3xxm0tan (x2 sin )例 11 limx 0 sinx解： 當(dāng)x 0時(shí)，x2sin丄是無窮小，tan(

9、x2sin1)與x2sin等價(jià)，xxx/sin1所以,原式=limlim xsin10x 0 x（最后一步用到定理 2）6.利用洛比達(dá)法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無窮小代換等方法。洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。同時(shí),1例 12 lim -x 0cosx3x2(例 4)1O （最后一步用到了重要極限）6cos2x sin -解：原式=呱2 21sin xx解：原式=lim=lim）s -。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）x 0 3x2x 0 6x 6例15 |xm0sin x xcosxx2 sin x原式解：sin x xcosx lim 2 x

10、 0x2xsin x3x2lim0cosx (cosx limx 0xsin x)3x2例 18 lim x 0 xln(1 x)解：錯(cuò)誤解法:原式= lim- x正確解法:原式 limln)xx 0 xln(1丄1lim x 0 2xx)lim ln(1 x)x 01 o2應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。2x(1 x)解：易見：該極限是“-”型，但用洛比達(dá)法則后得到：1 2 cosxlim，此極限0x 3 sinx例 19 limx不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下:x 2si nx3x cosx2sin x原式=ximdM （分子、分母同時(shí)除以x1X)=-3（利用定理1和定理2）7.利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20已知x1.2,Xn 12xn , (n1,2,)，求 limnXn解：易證：數(shù)列Xn單調(diào)遞增，且有界（0 Xn2）,由準(zhǔn)則1極限limnxn存在,設(shè) lim xnn對已知的遞推公式xn 12 xn兩邊求極限,得:a，解得:（不合題意，舍去）。所以lim xnn例21limn-)n解:易見:n一 n21一n221.n2 nnn21因