李林2013年導學班高數講義

1、第一章 函數極限連續(xù)性 考試要求1理解函數的概念，掌 握函數的表示法，會建 立簡單應用問題的函數 關系式.2、了解函數的有界性，單調性，周期性和奇偶 性.3理解復合函數及分段 函數的概念，了解反函 數及隱函數的概念.4、掌握基本的初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.5、理解極限的概念，理 解函數左、右極限的概 念，以及函數極限存在 與左、右極 限之間關系.6、掌握極限的性質及四 則運算法則7、掌握極限存在的兩個 法則，利用兩個重要極 限求極限的方法.8、理解無窮小，無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限.9、理解函數連續(xù)性概念(左連續(xù)與右連續(xù))，會判斷間斷點類型.10

2、 了解連續(xù)函數性質和 初等函數的連續(xù)性，理 解閉區(qū)間上連續(xù)函數的 性質(有界 性，最值定理，介值定理)，并會用這些性質.考點1函數表達式及四個性質考點解析 按照大綱要求，主要考 查：函數的四個性質，即奇偶性，單調性，周 期性, 有界性。一般以填空題 和選擇題考察。內容與方法提要1?函數是一個映射，其要 點是“對應”2?判別奇偶性，周期性，性：單調性，用其定義 奇偶性：f ( x) f (x), f ( x)f (x);周期f(x T) f(x),當花X2時，f(xj ( )f(X2)，則f(x)單調增加(減少)；判 別的有界性的 方法有兩個：一是利用 閉區(qū)間上連續(xù)函數一定 有界；二是f(x)在

3、開區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且 f (a 0)與f(b 0)存在，則有界.典型例題1 x 1例1(01 年數一，二).設f(x)'，則ff(x).0, x 1解ff(x)1例2討論下例函數的奇偶性1f (x) xexe1,e1f (x)為奇函數.3?利用復合函數的奇偶性：設f (x) f (u),解利用定義法f( X)T 0 f(x),x 0數y f (x)為偶函數；當f與 的奇偶性相同，則 奇偶性.4?有關積分上限函數F(x)是偶(奇)函數.u(x),當f與 的奇偶性不同時，其復 合函y f (x)與外層函數f (u)有相同的xo f (t)dt的奇偶性，若f (x)是連續(xù)的奇(偶)函數

4、，則F(x)X證明 F( x) ° f(t)dtxu 0 f( u)d(u)x0 f (u)du F(x),x0 f(u)du當f(x)為奇函數F(x),當f(x)為偶函數例4設f (x)連續(xù)，則下列函數必為偶函數的為x 2(A) 0 f (t)dtx(C) 0tf(t) f ( t)dtx2(B)0 f (t )dtx(D) 0tf(t)f(t)dt5?利用可導函數的奇偶性 函數.:若當f(x)為奇(偶)函數，則當f (x)是偶(奇)函數,f (x)是奇(偶)(A)f (x)0, f(x)0.(B)f (x)Q f(C)f (x)0, f(x) 0.(D)f (x)0, ff( X

5、)在(0,)內 f (x)0, f (x)例5設f (x)解f(x)為奇函數，貝y f (x)為偶，f(X)為奇0,則 f(x)在(,0)內 (x)(x)0.0.(A)(解故f (x)f(x)1,0)limx 10, f (x) 0,x (,0),選(C).x|sin(x 2)在哪個區(qū)間上有界.2x(x 1)(x2)(B)(0,1)(C)(1,2)f(x)與lim f (x)均存在x 1(D)(2,3)選(A).考點2求未定型函數極限考點解析 主要考查：求函數極限 的幾種方法 一利用兩個重要極限，有 理化，洛比達 法則，等價無窮小代換，變量替換，提取因子等常用方法?？荚囍谐Ｒ蕴羁蘸徒獯痤}出現(xiàn).

6、內容與方法提要11 ?重要極限：lim 1, lim (1 一) lim 1) e.0 02?等價無窮小代換：lim丄兇lim.其中f(x)x xo g(x) x xo (x)lim3(Q)或()x xo g(x) 0(x), g(x) (x).(x Xo).3?洛比達法則：f (x)0,f (x)與g (x)在(x0)內存在.limx x° g (x)4?lim f (x) Ax xqlimx Xof (x) lim f (x) Ax xq5?常用的等價無窮小:(1)sin x x tan x;(2)1 cosx1 2 x ; (3) arcs in x x arcta n x;2

7、YV(4)e1x;(5) a1 x ln a;(6) ln(1x) x;nn 1(8)anX an 1x利用等價無窮小代換時極限的加減運算中使用a1x a/ (x 0)，注意：只能在極限的，但在極限加減運算中1(7)loga(1 x) x; ln a1 x (為實數)6?對“o, 0五種形式,(9)(1 x)乘除運算中使用等價無 窮小代換，不能在 可以略去高階無窮小.可化為 0或一型用洛比達法則.(見例題).0典型例題求極限1tan xj )x原式 e而limx 0lim(-x 01 sin xlim031 tan x03 ln( )1 sin x,z 1 tan xln -1.)sin x求

8、極限tan x sin x】1 pln1 x1 tan x sin x _3"'x 1 sin xlimx 01 sin x12.1e2原式limx 01、xsin-).xx2 1i2 e .xtann(丄).4 n1 2ta n 亠)n 2.1 7 tan nlim( cosxx2原式 lim (1 sin )求極限limx原式 limx(1sin a(e 1)x 1, x 0設f (x)2( ex “(a 0),求 linjf(x).仝衛(wèi)，x 0ln(1 2x)lim f (x) a, lim f (x) ax 0x 0求極限lim (2x 01e：1 e'sin

9、 x)lim (2x 01lim (x 01原式1e匚e1ex4e匚sin X)xsin X)x1,x e 求極限lim (一x2 xarcta nx).ex xarcta nxex xarcta nximI X求極限lim 1x 0cos2x cosx原式（有理化）.limx1 cos2 x(1 2sin2 x)x2 (1 cosx . cos2x)求極限limx 0ln( cosx)x(e2x 1)2原式2xsin x 1 lim x 0 2x24例9 求極限 lim 1 xsinx cosx.x 0xsin x解原式 lim 1 xsinx 血1.x 0 xsinx x 0 xsinx例

10、10求極限limx 0寸 cosx Vi sin2x (arcsin x)2原式 lim (x 0vcosx 1 Vi sin2x2xx2712例11解(05數三、四)求極限原式 lim x 0lim (-x 0 1xe1 xxe32.例12 求極限limxx解原式(令-t)x2 xILd2 叫 H tIL例131 1(1)求極限 lim n2(3n3百).n(2)求極限 lim ln(1 3x)ln(1x2-)x解1 1(1)原式lim n2.3n1(3n(n1)1)ln31(2)原式 lim ln 3x(1-)ln(12)2l n3x3x3例14求極限lim(1xx)2xX.333解原式

11、lim (x)2x21(1 t)213t limx- xxx 0t2考點3已知極限，確定參數或求另一函數極限.考點分析 已知某函數極限值，確 定函數中的參數，主要 考查極限的運算法則及 洛比達 法則，多以選擇題形式出現(xiàn).內容方法提要1 ?確定函數中的參數.常利用結論：設lim f (x) A且lim f (x)0(或lim g (x)0)則 lim g(x) 0(或 lim f(x) 0)如果有多個參數，用洛比達法則（要驗證洛比達法則的條件），得到參數滿足的多個方 程，從而解出參數。2?已知函數極限，求另一相關函數極限，主要采 用兩種方法：方法一：利用極限的變里與無窮小的關系.lim f（x）

12、 Axf(x) A（x）其中(x)0,x將其代入所求極限中即 可.方法二：利用恒等變形，找出所求極限與已知極限之間的關系.典型例題例12已知 lim (axx x 1b) 0,則(A)a 1,b 1.(B) a 1,b 1.（C）a1,b1.（D）a1,b1.答案（C）例2設limx 0ata nxb(1 cosx)2(A)b 4d.cln(1 2x) d(1 e(B)a2,其中a2 )4d.b20,則(C) a 4c.(D)a 4c.答案（D）例3 設 lim (ax . x2 x 1 b) 0,求a， b的值.a1,b例4設limx 0sin bx xf (x)3x0,則limx 036考

13、點4數列極限考點解析 數列極限主要考點：求數列極限的方法，及判別數列極限存在的兩個準則。 內容方法提要1?求函數極限的方法(除洛比達法則外)均可直接用在求數列極限中2?將數列f(Xn)中Xn換為X,即變量連續(xù)化，用洛3?利用夾逼準則求數列極限，關鍵是對數列進行 夾逼準則：設(1) xn znyn(2) lim xn lim yn Ann(3) lim zn An4?單調有界準則：單調遞 增(減)且有上(下) 常利用數學歸納法.典型例題、. 1 2例 1 (98年數四)求 lim (ntan)n .nn解原式 lim (xtan1產 1 t lim tan3_1xx x n 0 t比達法則求之放

14、大與縮小界的數列，證明單調與有界時,例2設anx2(2)n,(x0),求 lim an.n解lim ann1 , 0x , 12x2 ,例3(02年數二)設0 x1 3, xn 1. xn(3xn),證明xn極限存在，并求此極限解0 Xn3, 1 1.故可令 lim xn A2Xnn由 A Ja(3 A)解出 A -2考點5無窮小量階的比較考點解析主要考查無窮小量階的比較定義，考試以小題 為主，有時也滲透到其他綜合題中，是必考點之一 內容方法提要1?若lim丄兇 C 0,則f (x)與g(x)是同階無窮小 x xo g(x)右limx x0f(x)g(x)右limx x0f(x) g(x)1,

15、則f (x)與g(x)是等價無窮小，記 f (x) g(x).0,則f (x)o是比g(x)是高價無窮小，記 f (x) o( g(x).若 limk c 0,則 f(x)是 g(x階無窮小.(其中 f(x)0, g(x)0, xx0 或 xx xog(x)2?無窮小量的比較，本質上就是一個極限問題，有時也利用到等價無窮小代替等求極限方法3?無窮小量的性質：有限 個無窮小之積仍是無窮 ??；有限個無窮小之和 仍是無窮??；o()；若，貝y.典型例題例1(1)設x0時etanxex與Xn是同階無窮小，求n設x 小，求n.解(1)20時,(1 cosxln(1 x2)是比xsinxn高階的無窮小，而

16、xsin xn是比(ex 1)的高階無窮xim0tan xenxtan xn x可得n2 n 14,得n 2.1例2(03年數二)若x 0時,(1 ax2)4 1與xsinx是等價無窮小，則a 4例3(09年數一、二、三)當x0時,f(x) x sinax與g(x) x2ln(1 bx)是等價無窮小,求a,b值.答案a 1,b-.6例4(02年數一)設f (x)在x 0的某鄰域內具有一階連續(xù)導數，且f(0) 0, f (0) 0,若af (h) bf(2h) f (o)在h0時是比h高階無窮小，試確定 a, b的值.解 由已知可得 a b 10知a 2,b1.a 2b 0考點6判別函數的連續(xù)性

17、考點解析 主要考查：會用連續(xù)性 定義，連續(xù)的充要條件 及連續(xù)函數的運算法則，判別函 數的連續(xù)性.內容方法提要1 ?若 lim f (x)X x0f (x),稱f (x)在x點連續(xù).2?f(x )在x0處連續(xù)f(x)在x x0左連續(xù)又右連續(xù).3?連續(xù)函數的和，差，積，商(分母不為零)是 連續(xù)函數.4?復合函數的連續(xù)性：設 u(x)在x0處連續(xù),y f (u)在u0連續(xù)，則y f (x)在x x0處連續(xù).5?反函數的連續(xù)性：設y f(x)在區(qū)間I*上單調且連續(xù)，則反函數x(y)在對應區(qū)間ly y y f (x), x Ix上的連續(xù)，且有相同的 單調性.6?一切初等函數在其定義 區(qū)間上連續(xù).7 ?下

18、列情形之一，稱f (x)在x0間斷.(1) f (x)在x0沒有定義.(2) f (x)在x有定義，但lim f (x)不存在.0x x0(3) f(x)在 x0 有定義,lim f (x)存在,但 lim f (x) f (x ).X xXX。典型例題例1設f (x)和g(x)在(，)內有定義，f (x)為連續(xù)函數，且f (x) 0, g(x)有間斷點，下列 函數是否必有間斷點？g ( x)2(1) .(2)gf(x).(3)(gf(x) .(4)fg(x).f(x)答案(1) 一定有斷點；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定.例2 (03年數三)設f(x)丄1-x sin x1111,

19、1,試補充定義f (1),使f (x)在-,122,x(1 x)上連續(xù).解lim f(x)1 1-,補充定義f(1)即可.x 1For personal use only in study and research; not for commercial use考點7討論函數間斷點考點解析 主要考查：判別函數間 斷點的類型，包括函數 以極限形方式或分段函 數形式給 出，是一個重要考點.內容與方法提要1?若x0是f (x )的間斷點，且lim f(x )與lim f(x)都存在，則稱x0點為f(x)的第一類間斷點.XX。XX。2?若X。是f (x)的間斷點，lim f (x)與lim f (x)

20、至少有一個不存在，則 稱x。點為f (x)的第二類間XX。XX。斷點.3?若f(x)以極限形式給出，先求 出極限再討論間斷點類 型，分段函數主要考查 分界點處情形. 4?根據函數的連續(xù)性或間 斷點類型確定參數是一種常考的題型.典型例題x21例1設f (X)x21 , X,X1,則在點X 1處f(x)1(A)不連續(xù).(B)連續(xù)但不可導.(C)可導，但導數不連續(xù).(D)可導，且導數連續(xù)答案(A)1x，x 0,2例2求導數f (x)e711間斷點，并指出其類型1 ,X2解由 lim f(x)x 0,知X0是第二類間斷點.lim f (x)1, lim f (x)0, x2是第一類間斷點.x 2x 2

21、n 2n例3討論f (x) limXXnn-的連續(xù)性.nXX1,0 x1解f (x)0,X1,x 0, x1是第一類間斷點.2X ,X1是第一類間斷點例4 (09年數二，三) 函數f (x)3乞旦 的可去間斷點的個數為sin x(A) 1(B)2(C)3(D)無窮多個.例5 (03年數二)設f (x)3ln(1ax3)x arcsin x '6 ,ax 2e x ax.xxsi n4x1 -,x0，問a為何值時，f (x)在x 0處連續(xù)；a為何2a241, f(x)在x 0連續(xù),值時,x 0是 f (x)的可去間斷點.解lim f (x)6a, lim f (x)x 0x 0由 6a

22、2a24 得 aa 2時，x 0是f(x)可去間斷點.考點8閉區(qū)間上連續(xù)函數的性 質考點解析 主要考查：閉區(qū)間上連 續(xù)函數的有界性，最值，介值定理，零點定理 的簡單應用.內容方法提要1?設f(x)在a,b上連續(xù)，則f (x)在a,b上有界，且有最大值和 最小值.2?介值定理：設f(x)在a,b上連續(xù)，則對于介于f(a)與f (b)之間的任何實數，存在 a,b, 使f().3?零點定理：設f (x)在a,b上連續(xù)，且f (a)和f (b)異號，則至少存在(a,b), 使f ( ) 0此定理在討論方程f (x)0的根時常用到4?由介值定理知，閉區(qū)間 上的連續(xù)函數必能取到 它的最大值與最小值之 間的

23、一切值典型例題例1設f(x)在0,3上連續(xù)，且f(0) f (1) f (2) 3, f (3) 1,證明至少存在0，,使f ( )f(3).解m f(0)f(1) f(2) M3由介值定理，存在0,2,使f( ) f(3) 1.例2 設f(x)在a,b上連續(xù)，且a c d b,證明在a,b上至少存在一點，使pf (c) q f (d) (p q) f ( ). (p 0,q0)解由已知 m pf(C) qf(d)M.p q由介值定理，存在a,b，使f()_.p q例3 設f (x)在a,b上連續(xù)，f(a) f (b),證明存在 x a,b。使 f (x。)f(x。- a).2 證令F(x)

24、f(x) f (x )2 則F(x)在a,旦b上連續(xù).2a b a b a bF(a) f(a) f(),F()f()f(b)22 2若f(a)a b f()o,由 f(a) f (b)2取xoa或xoab2若F(a)f(a) f(ab) o,2由已知F(a) 與f (a2b)異號.由零點定理，存在xo ( a)2使 F ( Xo)0,得證.第二考試要求1理解導數和微分的概 了解導數的物理意義，2、掌握導數的四則運算了解微分的四則運算法3、了解高階導數的概念4、會求分段函數的一階5、會求隱函數和由參數6、理解并會用羅爾定理7、理解函數的極值概念 數最大值和最小值的求8、會用導數判斷函數圖 會描

25、述函數的圖形.9、掌握用洛比達法則求10、了解曲率和曲率半徑 考點1導數的定義1章一元函數微分學念，理解導數的幾何意 理解函數的可導性與連法則和復合函數的求導 則和一階微分形式的不，會求簡單函數的、二階導數.方程所確定的函數以及 ，拉格朗日中值定理和 ，掌握用導數判斷函數 法及其簡單應用.形的凹凸性，會求函數未定式極限的方法.的概念，會求曲率和曲義，會求平面曲線的切 續(xù)性之間的關系.法則，掌握基本初等函 變性，會求函數的微分n階導數.反函數的導數.泰勒公式，了解并會用 的單調性和求函數極值圖形的拐點以及水平，率半徑.考點解析正確理解導數的概念, 導是主要考查內容.可導的充要條件以及含絕對值函數

26、的可導性,線和法線方程，數的導數公式，柯西中值定理。的方法，掌握函鉛直和斜漸近線，分段函數的求內容與方法提要1?導數的定義：f(xo) lim 似 x)仏)Hm f(x) f(xo)x 0xx x0 x x0f (Xo) A f (xo) f (Xo) A.2? f (x0)存在不能得出f (x)在U(x0)內存在，但f (x0)存在可得出f (x)在U (x0)內存在.3 ?設曲線yf (x),在x x0點可導，則過(x0, f (x0)的切線方程為y f(x0) f (x0 )(x x0),、 、 1法線為 y f(x°)(x x°).(f (x°) 0)f

27、(x。)4?當函數f(x)在點x0處是否可導，事先不知 道時，一般用定義求導.例如，分段函數在分界點處導數.典型例題設 f(x)eSinx,則 01f (2 x) f (1)x 1例2 設f(x)在x答案9f (1)1處導數存在，則lim f(1 X)X 0f (1 si nx) 2 f (1 3ta nx)考點2利用導數定義求導考點解析 利用導數定義求導是考 試經常出現(xiàn)的，主要利 用導數定義及可導的充 要條件.內容與方法提要1?f(x。)A f (x。)f (x。)A.2?下列情形均利用導數定義式求導f (x)在點x0處是否可導，事先不知 道；只知道f(x)在x0點可導；分段函數在 分界點處

28、導數；函數f(x)具體表達式未給出，求f(X). 典型例題例1設F(x) sin(x a)2 (x),其中(x)在x a處有定義且在a的某鄰域內有界，求F (a).2解F(a)|叫 ( x (a x) 0x 0 ( x)例2設yf (x)關于直線x a(a 0)對稱，且f (a)存在，求f (a).解f (a) lim 丄 x) f(a) f (a)x 0xf (a) 0例3 (04數二)設f (x)在x(,)內有定義，在0,2上f (x) x(x2 4),若對任意的x滿足 f (x) kf(x 2),其中k為常數.(1)寫出f (x)在2,0)上表達式；(2)問k為何值時,f (x)在x 0

29、處可導.解(1)當 2 x 0時,f(x)kx(x 2)(x 4)1(2) f (0)4, f (0)8k,故 k .例4 (05數一)設 f(x)(A)處處可導.(C)恰有一個不可導點答案(C)lim '1 |xn,則f (x)在(,)內(B) 恰有一個不可導點.(D)至少有三個不可導點考點3有關可導性的幾個常用結論考點解析 可導性的幾個常用結論 是指：可導與不可導函 數的乘積的可導性；f(x)可導 性與f(x)可導性的關系；可導函 數的極限值等.考試多以選擇題出現(xiàn).內容與方法提要1?設y f(x)在x0處可導，y g(x)在冷處連續(xù)但不可導，則F(x) f(x) g(x)在x0處可

30、導 的充要條件是f(x。)0.2?設f(x)在x0處可導，則當f (x0) 0時，yf (x)在x0處可導.當f (x0)0時，但f(x0)0時，yf (x)在x0處不可導.當f(x0)0時，且f(x0)0時，yf (x)在x0處可導，且y% x°0.3?設f(x) (x x°)k x x(1)當k 0時,f (x) (x x0)在x0處不可導.當k 1時,f (x) (x x0)x x0在x0處一階可導但二階不可 導.一般當k為正整數時,f (x) (x x0)k x x0在k階可導,但k 1階不可導.4?設f (x)在x0,x0(0)上連續(xù)，在(x0,x0)內可導，且

31、lim f (x) A，則f (x0)x x0存在，且 f (x0)lim f (x) A.0 x x0典型例題例 1 設f (x)可導，F(xiàn)(x) f (x)1 |ln(1 x),則f (0) 0是F(x)在x 0處可導的()(A) 充分必要條件(B)充分但非必要條件(C) 必要但非充分條件(D)既非充分又非必要條件答案(A)例2 (00年數三、四)設f(x)在x(A) f (a)0且f (a) 0(C) f (a)0且f (a)0答案(B)a處可導，則f(x)在x(B) f (a)0且f (a)(D) f (a)0且f (a)a處不可導的充分條件是(00考點4導數計算考點解析 復合函數，隱函

32、數，參 數方程確定函數，反函 數求導是基本計算，大 綱要求熟練 掌握.內容與方法提要1?復合函數的鏈式法則：設y f(u),u(x)均可導，則復合函數y f (x)的導數為dy dy dudx du dx2?隱函數求導是利用復合 函數求導法，在F(x,y) 0兩邊對x求導，解得 列即可.dx3?參數方程x x(t)確定 ，則dy令史 班.y y(t)dx dt dx x(t)4?設y f(x)的反函數x(y),則dy 爲(空 0)dy典型例題例1設y f (x)由方程xe®e，確定，其中f有二階導數，且f1，求dx 解dy -dx x(1 f (y)2 2d y 1 f (y) f

33、(y)dx2x21 f (y)3例2對數螺線e在點(，)(ej)處的切線的直角坐標方程是 .2解y1.d dx切線為：x y e2設x x(y)是y y(x)的反函數,(y 0),將x x(y)所滿足的微分方程 考點5羅爾定理應用解1d2xy dy y si nxdxdyy0變換為y y(x)滿足的微分方程.冷代入化簡得考點解析 大綱要求理解并會用羅 爾定理，微分中值定理 是高數中一個難點。考 試中常用 大題出現(xiàn)，解題的關鍵是輔助函數.內容與方法提要1 ?羅爾定理：設f(x)滿足在a,b上連續(xù),(2)在(a,b)內可導,(3)f(a)f(b)則至少存在(a,b),使f ( )0.2、應用羅爾定

34、理的關鍵是設輔助函數，其主要 方法有兩個：一是分析 法，即由所證結論岀發(fā)，去尋找輔助函數；二是原函數法，即利 用積分去求輔助函數。(見例題)典型例題設f(x)在0,上可導，且f20，證明至少存在一點(0,)，使 f( ) tan f ( )0.2證令輔助函數F(x) f (x)sinx, F(0)F() 0由羅爾定理，存在(0,)，使F ( ) 0,得證.2例2設f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,內可導，且f2f (0),證明至少存在(0,1),使(1 )f ( ) f().設f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,內可導，f (0)0,證明至少存在(0,，使f ( ) kf( ) f ( ). kN

35、.證(1)令F(x) d,F(0) F(1),由羅爾定理，存在(0,1)x 1使F ( )0,得證.(2)令F(x) f (x)(x1)k，應用羅爾定理即可.例3 (1證明方程2ln(1 x) x在 (0,(2)任取 Xo 0,令為 2ln(1 Xo), Xn證(1)令f(x) x 2ln(1x), f (0)由Jm f (x),存在x2)內有惟一實根2ln(1 xn 1),(n1,2,) 求證 lim Xnn0, f (1)0.0,使f (x2)0,由零點定理得證(2)當x0 ，可證得Xn單增且xn,故lim xnA且An考點6拉格朗日中值定理的應用考點解析拉格朗日中值定理是微分中值定理中最

36、重要的一個定理，它建立了函數增量與導數的關系，是利用導數解決函數問題的橋梁，是考試中的難點之一.內容與方法提要1 ?拉格朗日中值定理：設f (x)滿足(1)在a,b上連續(xù)(2)在(a,b)內可導，則至少存在(a,b), 使 f(b) f(a) f (). b a或 f(b) f (a) f a (b a)(b a),(01)2?有關拉格朗日中值定理 的證明題，關鍵是設適 當的輔助函數 設輔助函數的方法與羅 爾定理相似，有分析法 和原函數法.(見例題) 典型例題例1設f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，證明在(a, b)內至少存在一點 ，使bf(b) af (a)f( ) f ( )(

37、b a)證xf (x)在a,b上應用 LagrangeTH 即可例2 設f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，且f (a) f (b)1,證明存在 ，(a,b),使e f( ) f ( ) 1.證當 令F(x) exf (x)1,在a,b應用 Rolle定理.當對ex f (x)與ex在a, b應用 Lagrange 定理.例3若x 0,證明不等式：ln(1 x) x.1 x證(1)令 f (x) ln(x 1),在0, x上應用 Lagrange定理.x, 0ln(1 x)例4(05年數一)已知f (x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f (0)0, f(1)1,證明(1)存在

38、(0,1),使 f( ) 1存在兩個不同的點與 (0,1),使f ( ) f ( )1.證(1) 令g(x) f(x) x 1,g(0)0, g(1) 1,由零點定理得證(2) f (x)在0，, ,1應用 Lagrange定理即可.考點7柯西中值定理應用考點解析 柯西中值定理應用較少 在考試中出現(xiàn)，與羅爾 定理或拉格朗日中值定 理 的綜合應用是難點.內容與方法提要柯西中值定理：設F(x),G(x)滿足:(1)F(x),G(x)在a,b)上連續(xù)，(2)在(a,b)可導，且G(x) 0，則皿品 U ,(a,b)G(b) G(a) G ()典型例題例1設f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，

39、0 a b,證明存在(a, b),使ab2bf (b) af(a) f( ) f () b a證xf (x)與-在a,b上應用CauchyTh 可證x例2(03年數二)設f (x)在a,b連續(xù)，在(a,b)內可導，且f (x)f (2x a)0,右lim存在,x a x a證明：(1)在(a,b)內f (x)0(2)在(a, b)內至少存在，使b2f(x)dx證(1)由 f (x) 0 得f (x)f (a)0(2) x2與f(t)dt，在a,b上應用 CauchyTh 即可.考點8泰勒公式的應用考點解析 泰勒公式是微積分中一 個重要公式，在證明含 中值 的等式和不等式中經常 應用，其應用關鍵

40、在適 當點x0處展開，即有n階導數的函數f(x)可用n次多項式函數表示, 近年來多以小題出現(xiàn)，難度不大.內容與方法提要1?泰勒公式：設f (x)在U(x0)內有n 1階導數，則 f(x) f(x。)¥(x X。)(n)A。x0)n n!0(n 1)(n Mx x0)n1其中介于X。與X之間.的麥克勞林2?泰勒公式是咼階的中值 定理，五個常用函數 ex,sinx,cosx,ln(1 x), (1 x) 公式，一般要記住ex的公式.典型例題例1設f (x)在a,a(a 0)上有三階連續(xù)導數，且 (1)寫出f (x)帶Lagrange余項的二階麥克勞林公式.(a,a)，使 a2 f (x0

41、)6.f (0) x2f ()zv2f( a) a, f(a) a, f (0)(2)證明存在x0證(1)f(x)(2)將xx36a代入(1)式相減得 52_2f(0)(2)再由介值定理得證.例2設f (x)在0,1上有二階導數，當0 x 1時 ,f(x) 1, f (x)2,證明:當0 x 1時,f (x)3.證 在x點應用Taylor公式及已知條件.0, f (0)0,例3(0 2年數一，二)設f(x)在x 0某鄰域內有一階連續(xù)導 數，且f (0) 若af (h) bf (2h)f (0)在h0時是比h高階無窮小，試確定 a,b的值.解將f (h)與f(2h)在x 0展開，代入已知等式得a

42、 b 10, a 2b 0得 a 2,b1.考點9 利用函數的單調性證明 不等式考點解析 用單調性證明不等式是 一種常見題型，考試中 經常出現(xiàn)，一般難度中 等。證明 含兩個參數的不等式較 多，應熟練掌握 .內容與方法提要1?設f(x)在區(qū)間I可導，f (x) 0( 0)f(x)在I上單調增加(減少)，反之不一定成立，如3 y x .2?證明f (x) g(x),x I,設輔助函數F(x) f(x) g(x);求導數F (x),判別F (x)符號，從而證明 結論.3、含兩個參數的不等式，可視其中一個參數為 變量，另一個視為常量僅供個人參考典型例題例1設x1且x0,證明1 11.x ln(1x)證

43、即證ln(1x) xxl n(1 x)0xln(1x)令f(x)ln(1 x)x xln(1x),利用單調性可證例2設x(0,1),證明(1) (1x)l n2(1x)x2111 11In 2ln(1 x) x2.證(1)令f (x) x2(1x)ln 2(1x),利用單調性可證(2)令F(x)11,利用單調性ln(1 x) x例3 (04年數一、二)設 e a b e2,證明 In2 b In2 a 冷(b a). e224證令 f(x) In x In a (x a) e求f (x), f (x)，由單調性可證.考點10函數的單調性，凹凸性，極值點，拐點的判別.考點解析“兩性，兩點”的判別

44、是應該熟練掌握的內容，是重要的考點，多數是基礎題， 應力求計算準確內容與方法提要1?凹凸性：x I,f (x)0( 0),則f(x)在I上凹或下凸，連續(xù)曲線 凹凸性的分界點，稱為 拐點;判別：f(X。)0(或f (x0)不存在)，則當f (x)在x0兩側變號,(x0,f(x。)是拐點.不得用于商業(yè)用途2?極值：(1求f (x0) 0的點x0及f (x0)不存在，(2)利用充分條件判別極 值，當f (x) 在x0兩側變號，則x0是極值點；當f (x0) 0, f (x0)為極大值，當f (x0) 0, f (x0)為極小值 3?注意極值點和拐點都不能在區(qū)間端點取得。(由其定義知4?最值：求出f(

45、x)的所有可能的極值點，與區(qū)間端點比較之，便 得最值.5 ?曲率：(1)弧微分：y f(x),ds ,；1y 2dx(2)曲率：yf(x), ky3 .(1y(3)曲率半徑：1 R .k6?漸近線：設y f (x)若lim f (x) c,則y c為水平漸近線.x若lim f (x)，則x x0為鉛直漸近線.x Xo(3) 若 lim f (x) a,b lim f (x) ax,則y ax b為斜漸近線.x xx注意討論左、右極限.典型例題設 f(x)f (x)3x(2 x)2J, f(x) (2 x)4,求f (x)的單調區(qū)間，凹凸區(qū)間，極值和拐點及漸近線方程.得x 0,x6,可知(，6)

46、,(f (x)單增，(6, 2)單減，x 2, y x為漸近線.24x4(2 x)2,0), (0,)f ( 6)為極大值，(0, f (0)為拐點,arcta nx例2(00年數三，四)求函數y (x 1)e2的單調區(qū)間和極值，并求漸近線.解(，1)，( 0，)單增，(1,0)單減.f (0)e2為最小值，f( 1)2e4為最大值.例3設f (x0)f (x0) 0, f (x0) 0則正確的是(A) x0是f (x)的駐點.(B) f (x0)是f (x)的極大值.(C) f (x0)是 f (x)的極小值.(D) (x0, f (x0)是 f(x)的拐點.答案(C)例4設f(x)有二階連續(xù)導數，且f (0)°，00f(x)x1,則(A) f (0)是f (x)的極大值.(B) f (0)是f (x)的極小值.(C) (0, f(0)是f (x)的拐點.(