有關橢圓的中點弦問題

1、有關橢圓的中點弦問題一、教學U標：掌握解決有關橢圓的中點弦問題的多種方法學會解題方法的遷移了解設而不求的數(shù)學思想二、教學重點：掌握解決有關橢圓的中點弦問題的多種方法三、教學難點：掌握解決有關橢圓的中點弦問題的多種方法四、教學過程1、引入過程圓錐曲線是高考的重點，也是一個難點。每年的高考中都占有20-40分，必 有一道解答題。而橢圓乂是圓錐曲線中的十分重要的一部分，并且很多雙曲線和拋 物線的問題都可以借用解決橢圓問題的方法來解決。所以學習好了橢圓就相當于學 好了圓錐曲線的一大半。而有關橢圓的中點弦問題乂是橢圓中十分重要、典型的問 題。有關橢圓的中點弦問題中在考試中一般以三種類型的題U出現(xiàn)：（1）

2、求弦所在的直線方程；（2）求弦的中點的軌跡方程；（3）求弦的中點 坐標。那么今天這節(jié)課我們主要來學習一下弦所在的直線方程的求法。2、例題講解例1已知直線L和橢圓U42相交于A,B兩點, 為A, B的中點，求直線L的方程。解：方法一：代入法設兩點坐標為BQ")(1) 當直線L斜率不存在時，顯然不符合題意。(2) 直線L斜率存在，設為k,則直線方程為：y = k(x -1) + 1y = k(x-) + x2 y2 42將直線帶入橢圓方程得：(1 + 2?)x7 +4(1-Zr)x+ 2k? -4k-2 = 0X, + x2 =.4k1 + 2/k=-2所以所求直線為:1 y = z 2

3、分析：這種方法是運用方程的思想，直線與橢圓的交點也就是直線方程與橢 圓方程的方程組的解。但是在解題中并沒有把交點直接求出來，而是運用了韋達定理得到用k所表示的兩根之和。這里把A,B的坐標設出來而沒有求，也是設而不求 的思想。方法二：點差法設兩點坐標為倫,H）9嘰兒）2 2汕+乩=1422 2 142兩式作差得：（坷一可）（兀1十“2）| 5 一丿2）®十卩2）二°42變形可得：（陽+丿2心-丿2）=_£ = _比（州+兀2）（旺一兀2）4 a2k0M 每JJ & =-丄2所以所求直線為：1 3V =X+ 2 2分析：這種方法利用了作差變形，直接得到了直線的

4、斜率，對于解題十分方 便。這里也沒有求出點的坐標，也體現(xiàn)了設而不求的思想。方法三：作差法設兩點坐標分別為:A(x9y)與 (2 - x,2 - y)42(2-兀)2(2-刃 21= 142兩式作差得:1 32y + x 3 = 0U|» = x-i- 分析：作差后直接得到一個關于x與y的方程，因為x與y就是直線上的 點，所以這個方程就是所求的直線方程。總結(jié):運用第一種方法解題時，思路比較簡單清楚，就是為了得到兩根之和的表達 式，但是需要列出方程組后把直線方程帶入橢圓方程，計算量比較大。這種思路是 解決圓錐曲線問題的一種最基礎、最通用、最重要的方法。第二種點差法比第一種簡單方便，主要是

5、用來解決中點弦問題的。它不僅可 以用來求中點弦的直線方程問題，也可以求中點弦中點的軌跡方程以及求中點坐 標。第三種方法是專門針對求直線方程的，它是一種很特殊的方法，對于這類求 直線方程的問題能夠快速而精確的解決。前面兩種方法體現(xiàn)了數(shù)學中的設而不求的思想，這種思想在解決圓錐曲線的 問題中經(jīng)常使用。這些方法不僅可以解決橢圓的中點弦問題，對于雙曲線與拋物線也可以使 用，但是有時候也要注意他們自身的一些特性。練習：已知直線L與雙曲線42相交于A,B兩點，為A, B的中點，求直線L的方程。五、課堂小結(jié)今天我們學習了有關橢圓中點弦中求弦所在直線方程的問題的三種解法，特 別是點差法，它是解決有關橢圓中點弦問題的一種十分通用且方便的方法。當我們在平時遇