控制工程基礎(chǔ)第六章 線性離散系統(tǒng)與Z變換ppt課件

1、第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換二、采樣過程與采樣定理三、Z變換與Z反變換四、脈沖傳遞函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、數(shù)字控制器與離散PID控制一、概述一、概述七、小結(jié)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換一、概述一、概述l 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 連續(xù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中各部分傳遞的信號為隨時(shí)間連續(xù)變化的信號。連續(xù)控制系統(tǒng)通常采用微分方程描述。 離散控制系統(tǒng)系統(tǒng)中某一處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)字量傳遞的系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)通常采用差分方程描述。 第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的分類 采樣控制系統(tǒng)間斷地對系統(tǒng)中某些變量進(jìn)行測量和控制。sa 受某一信號控制，使其短暫接通后立即斷開。采樣開關(guān)接通的時(shí)間間隔可

2、以相等，亦可不等，相等時(shí)稱為均勻采樣。圖中，sa為采樣開關(guān)或采樣器。G(s)H(s)xi(t)xo(t)sa (t)*p(t)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換連續(xù)信號 (t)經(jīng)采樣開關(guān)后成為離散信號*p(t)。該過程稱為采樣，相應(yīng)離散控制系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)。t (t)0t0*p(t)采樣控制系統(tǒng)的特點(diǎn)：采樣開關(guān)閉合時(shí)，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)，斷開時(shí)處于開環(huán)狀態(tài)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換采樣控制最早出現(xiàn)于某些大慣性或具有較大滯后特性的對象控制中。例如，工業(yè)爐溫度控制系統(tǒng)。工業(yè)爐可以視為具有延遲時(shí)間 的慣性環(huán)節(jié)，其延遲時(shí)間可長達(dá)數(shù)秒甚至數(shù)十秒，慣性時(shí)間常數(shù)也相當(dāng)大，采用常規(guī)控制無法解決控制精度與動

3、態(tài)性能之間的矛盾，而采用采樣控制將取得良好的控制效果：可以取較大的開環(huán)增益保證穩(wěn)態(tài)精度，又可抑制系統(tǒng)調(diào)節(jié)過頭產(chǎn)生大幅振蕩。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 數(shù)字控制系統(tǒng)系統(tǒng)中含有數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字編碼元件。圖中，A/D：模擬信號至數(shù)字信號轉(zhuǎn)換器； D/A：數(shù)字信號至模擬信號轉(zhuǎn)換器。被控對象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)A/D計(jì)算機(jī)D/A第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q A/D轉(zhuǎn)換采樣x(t)模擬信號取樣信號s(t)0ts(t)xs(t)量化編碼數(shù)字信號x(n)0tx(t)0tx(nt)tt0qx(n)000001010011nx(nt)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 D/A轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換器

4、低通濾波器nx(n)tx(t)tx(t)x(n)x(t)x(t)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換被控對象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)計(jì)算機(jī)保持器sam*(t)sbm(t)圖中，sa 與sb同步開關(guān)。 保持器：實(shí)現(xiàn)信號復(fù)現(xiàn)。將離散信號恢 復(fù)為模擬信號。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換t (t)0t0*(t)t0m*(t)t0m(t)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的特點(diǎn) 采樣信號特別是數(shù)字信號可以有效抑制噪聲， 從而提高系統(tǒng)抗干擾能力； 由計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字控制器，控制規(guī)律由軟 件實(shí)現(xiàn)，易于改變，控制靈活，且效果優(yōu)于 連續(xù)式控制。 允許采用高靈敏度控制元件，提高控制精度。 可實(shí)

5、現(xiàn)分時(shí)控制若干系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率。 對大延遲系統(tǒng)可以引入采樣方式穩(wěn)定。 可以實(shí)現(xiàn)各種先進(jìn)控制方式。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的研究方法 差分方程 z變換經(jīng)過 z 變換處理后的離散系統(tǒng)，可以將連續(xù)系統(tǒng)的分析方法經(jīng)過適當(dāng)改變應(yīng)用于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。 狀態(tài)空間雖然采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)的構(gòu)成及部件存在基本區(qū)別，但其分析和設(shè)計(jì)方法相同。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換二、采樣過程與采樣定理l 采樣過程sax(t)x*p(t)t0 x(t)t0t0T 2T 3T 4Tx*p(t)x*(t)設(shè) sa 每隔時(shí)間T接通一次，接通時(shí)間為 ，并滿足T 。 T 稱為采樣周期。其倒數(shù)稱為采樣頻

6、率。由于T ，故可近似認(rèn)為在 時(shí)間間隔內(nèi)，輸出維持不變。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換從而：)2( 1)2( 1)2( )( 1)( 1)()( 1)( 1)0()(*TtTtTxTtTtTxttxtxp0)( 1)( 1)(nnTtnTtnTx0)( 1)( 1 )(nnTtnTtnTx當(dāng) T，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于離散系統(tǒng)連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù)時(shí)，可近似認(rèn)為 0。從而有：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換00*)( 1)( 1 )(lim)(npnTtnTtnTxtx)( 1)( 1lim0nTtnTt1)( 1)( 1dtnTtnTt注意到：00*)()( )()()(nnpnTtnTxnTtnTxtx從而：第

7、六章 線性離散系統(tǒng)與z變換0)()(nTnTtt)()()()()()()(00*ttxnTttxnTtnTxtxTnn令：sax(t)x*p(t)x*(t)可見，采樣過程可理解為脈沖調(diào)制過程，即連續(xù)輸入信號 x(t) 對周期的理想脈沖載波信號進(jìn)行調(diào)制，調(diào)制后在nT 時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度為x(nT)。)()(*txtxp注意到：因此，采樣開關(guān)結(jié)構(gòu)圖可表示為：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換顯然由 X*(s)可以直接看出x*(t)的時(shí)間響應(yīng)。但須注意，由于 x*(t) 只描述了 x(t) 在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，故 X* (s)不能給出 x(t)在采樣間隔之間的信息。此外也不能認(rèn)為x*(t) 在采樣間隔內(nèi)數(shù)值為

8、0。上述分析過程中，假設(shè)了：x(t)=0，t 0，該條件對實(shí)際控制系統(tǒng)通常都是滿足的。0*)()()(nnTsenTxtxLsX對x*(t) = x(t)T(t)進(jìn)行拉氏變換：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣定理x*(t)只給出了x(t)在時(shí)域的部分信息，為了能從x*(t)不失真地恢復(fù)出原始的連續(xù)信號x(t)，采樣間隔采樣頻率需要滿足一定的條件。時(shí)域采樣原始信號f = f0fs=8f0fs=4f0fs=2f0第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換由上述時(shí)域采樣圖形分析可見： 對單個(gè)連續(xù)正弦信號進(jìn)行采樣，采樣頻率不 能低于信號頻率的兩倍； 對多個(gè)正弦信號疊加組成的信號進(jìn)行采樣， 采樣頻率不能低于信號中

9、最高頻率的兩倍。sin2f0tsin14f0tsin2f0t+sin14f0t時(shí)域采樣：混疊fs= 8f0第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換工程中的連續(xù)信號 x(t) 都可以通過傅立葉級數(shù)或傅立葉變換展開為多個(gè)或無窮個(gè)正弦信號分量的疊加，即信號的頻域描述(頻譜)。如對周期為T0的信號x(t)，其傅立葉級數(shù)展開1000sincos)(nnntnbtnaatx為信號角頻率。002Tn為正整數(shù)。 其中：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換2/2/0000)(1TTdttxTa2/2/0000cos)(2TTndttntxTa2/2/0000sin)(2TTndttntxTb如非周期信號x(t)，其傅立葉變換對為d

10、fefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換根據(jù)前述時(shí)域采樣的分析，若連續(xù)信號 x(t) 不包含任何大于 max 的頻率分量(帶限信號)，則為了能從采樣信號x*(t)無失真地恢復(fù)出原始的連續(xù)信號x(t) ，采樣頻率s必須滿足： s 2max或：fs 2fmax）此即為香農(nóng)采樣定理。實(shí)際采樣時(shí)，fs常取為信號最高頻率的34倍。 第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 信號恢復(fù)x(t)t0X()0max-maxAT(t)t0T 2T3T4T5T6T|T()|0s-sx*(t)t0T 2T3T4T5T 6T|X*()|0s-sA/T)()()(*ttxtxT)()(

11、)(*TXX第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換由圖可見，采樣信號x*(t)的頻譜X*()是以采樣角頻率 s 為周期的無窮多個(gè)原連續(xù)信號x(t) 的頻譜 X() 幅值變化了1/T 倍，并沿頻率軸平移了ns后的和。n = 0處的頻譜稱為采樣信號頻譜的主分量， ns (n 0) 處的頻譜為采樣引起的高頻輔助分量。易見，若采樣信號x*(t) 滿足采樣定理，則通過截止頻率為s/2的理想低通濾波器可準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號x(t) 的頻譜 X()，即恢復(fù)出x(t)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換實(shí)際濾波器不可能具有理想的頻率截止特性，即理想濾波器是不存在的。工程中通常通過保持器低通濾波器來恢復(fù)連續(xù)信號x(t)。 保持

12、器數(shù)學(xué)描述從采樣過程可知，在采樣時(shí)刻上，脈沖序列的脈沖強(qiáng)度等于連續(xù)信號的幅值，但在兩個(gè)相鄰的采樣時(shí)刻之間，連續(xù)信號的幅值未知，只能根據(jù)采樣時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度進(jìn)行插值或外推。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換保持器就是實(shí)現(xiàn)外推功能的一種裝置。能夠物理實(shí)現(xiàn)的保持器只能根據(jù)現(xiàn)在時(shí)刻和過去時(shí)刻的采樣值完成外推，而不能根據(jù)將來時(shí)刻的采樣值完成外推。保持器的外推規(guī)律通常用多項(xiàng)式關(guān)系描述：mmtatataatnTx)()()(2210其中，0tT。系數(shù) a0am 由過去m+1個(gè)采樣值x*(n-m)T x*(nT)確定。 m稱為保持器的階次。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 零階保持器零階保持器的外推公式為：TtnTxnT

13、xatnTx0),()()(*0即零階保持器按常值外推，將前一采樣時(shí)刻nT 的采樣值 x*(nT)一直保持到下一采樣時(shí)刻(n+1)T 到來之前，從而使離散采樣信號 x*(t)變成階梯連續(xù)信號xh(t)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換txh(t) x(t)0T2T 3T4T5T 6T 7Tx(t)xh(t)若將上述階梯信號xh(t)的中點(diǎn)連接起來，即可得到與連續(xù)信號 x(t)形狀一致但滯后半個(gè)采樣周期的響應(yīng)x(t -T/2)。注意到：0) 1(1)( 1)()(nhTntnTtnTxtx第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換若考慮保持器串接于采樣器之后，并考慮保持器的輸入為x*(t)，即將采樣器中的考慮到保

14、持器中去：00)1()(1 )()()(nnTsTsnTsnnTshhenTxseseenTxtxLsXsax(t)x*p(t)x*(t)零階保持器xh(t)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換從而由：0*)()(nnTsenTxsX0*)()()(nnTtnTxtx可得結(jié)合后零階保持器的傳遞函數(shù)：sesGTsh1)(因此，分析采樣控制系統(tǒng)時(shí)，若保持器的傳遞函數(shù)表示為上述形式，則采樣信號將直接表示為x*(t)，而不必考慮 的影響。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換T0-22/T4/T 6/T|Gh(j)|Gh(j)零階保持器的頻率特性：2/2/2/2/2/)2/sin( 1)(TjTjTjTjTjheTTT

15、jeeejejG第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換零階保持器的特點(diǎn)：q 非理想的低通濾波器。允許部分高頻分量q 經(jīng)過，導(dǎo)致恢復(fù)出的連續(xù)信號存在紋波。q 時(shí)間延遲特性。延遲時(shí)間為 T/2 ，使系統(tǒng)q 相角滯后加大，對穩(wěn)定性不利。相位滯后是各階保持器的共性，與一階及高階保持器相比，零階保持器具有最小的相位滯后，且結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)，因此，實(shí)際系統(tǒng)普遍采用零階保持器。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l Z變換三、Z變換與Z反變換考慮連續(xù)信號x(t) (x(t)=0，t0)的z變換。解：解：111 1)(112210zeezzzezezezetxZaTaTaTaTaTnnanT根據(jù)定義求得的z變換為無窮級數(shù)形式

16、，對于常用函數(shù)z變換的級數(shù)形式，都可以寫出其閉合形式。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換z變換的無窮級數(shù)形式具有明顯的物理意義：z-n (n = 0, 1, 2, )的系數(shù)直接表示連續(xù)時(shí)間函數(shù)在各采樣時(shí)刻上的采樣值，而指數(shù)n表示從t = 0開始，以采樣周期T為間隔的各個(gè)采樣時(shí)刻nT。因此，z變換含有時(shí)間的概念，可由連續(xù)函數(shù)z變換的無窮級數(shù)形式清楚地看出其在各采樣時(shí)刻上的采樣序列的分布情況。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 部分分式法步驟： 求已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)； 將X(s) 展開為部分分式形式，使每一部分 分式對應(yīng)簡單的時(shí)間函數(shù)，求得其相應(yīng)的 z 變換；將各部分的z 變換相加獲

17、得x(t)的z變換。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例4 已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換： 求相應(yīng)的z變換。)()(assasXaTaTaTaTatezezezezzzzeZtZtxZzX)1 ()1 ( 1)( 1 )()(2解：解：assassasX11)()(atetx1)(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例5 求 x(t) = sint 的z變換。解：解：jsjsjssX1121)(22jsjsjZzX1121)(TjTjezzezzj211cos2sin1)()(2122TzzTzeezzeezjTjTjTjTj第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 留數(shù)計(jì)算法nrpssMsXiiirii)()()(若已知

18、：ipssTrirriipssTiiiiiezzsXpsdsdrezzsXreszX)()()!1(1 )()(11那么：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例6 求單位速度函數(shù)x(t) = t (t 0)的z變換。解：解：21)(ssXp1 = 0，r1 = 2nipssTrirriiiiiezzsXpsdsdrzX111)()()!1(1)(0221)!12(1ssTezzssdsd202) 1()(zTzezTzessTsT第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 其它方法例7 求 x(t) = cost 的z變換。解：解：tjtjeet21cosTjTjtjtjezzezzeZeZzX2121)(1co

19、s2)cos(2TzzTzz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例8 求單位階躍函數(shù)的z變換。解：由于解：由于)0(lim)( 10tetata1lim lim)( 100zzezzeZtZaTaata第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 z變換的性質(zhì)q 線性性q Zax1(t)+bx2(t) = aZx1(t)+bZx2(t)q 其中a、b為常數(shù)。q 時(shí)域位移定理)()(zXzkTtxZk10)()()(knnkznTxzXzkTtxZ其中k為正整數(shù)。滯后定理超前定理第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換nnzkTnTxkTtxZ0)()(證明：證明：)(0)(knnkzTknxzknmzmTxzmkmk)()(zX

20、zk當(dāng)m0時(shí)，x(mT)=0mmkzmTxz0)(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換nnzkTnTxkTtxZ0)()()(0)(knnkzTknxzknmzmTxzmkmk)(mkmmmkzmTxzmTxz100)()(10)()(knnkznTxzXz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 復(fù)域位移定理)()(zeXtxeZaTatq 初值定理00)()(lim)0(tiftxzXxzq 終值定理)() 1(lim)(lim)(1zXznTxxzn若x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均為有限值，那么：x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均為有限值也可表述為：(z-1)X(z)的全部極點(diǎn)

21、位于z平面的單位圓內(nèi)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換證明：證明：0)() 1()()(nnznTxTnxtxTtxZ)0()() 1()()(zxzXztxTtxZ又由時(shí)域位移定理：即：0)() 1()0()() 1(nnznTxTnxzxzXz因此：00111)() 1()() 1(lim)0()() 1(lim)0()() 1(limnnnzzznTxTnxznTxTnxxzXzzxzXz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換NnNnnTxTnxnTxTnx00)() 1(lim)() 1(注意到：所以：存在若)(lim)() 1(lim)(lim)(1txzXztxxtzt)0()(lim)0()

22、1(limxtxxTNxtN第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 卷積定理x(nT)與y(nT)離散卷積定義為：00)()( )()()()(kkkTyTknxTknykTxnTynTx那么：)()()()(zYzXnTynTxZ第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換證明：證明：00)()()()(nnkkznTyzYzkTxzX000)()( )()()()(knnkkzTknykTxzYzkTxzYzX時(shí)域位移定理00)()(nnkzTknykTx)()()()(0nTynTxZznTynTxnn第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l Z反變換x(nT) = Z-1X(z)Z反變換的信號序列仍是單邊的，即當(dāng)n0后

23、，該極點(diǎn)消失。5 . 0)2)(1(1)(001zznzzzzzXres當(dāng)n=0時(shí)：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換322) 1( )() 1()(111111znznznzzzzzXzzzXresnznznznzzzzzXzzzXres)2(311) 1( )()2()(212121第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換所以：6131325 . 0)0(x, 3, 2, 1)2(3132)(nnTxn01*)()2(3132)(5 . 0 )()2(3132)(61)(nnnnnTttnTtttx第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 Z變換及反變換只反映X(z)與x*(t)間的關(guān)系；l 關(guān)于Z變換與反變換的說明對

24、于連續(xù)時(shí)間函數(shù)而言，Z變換及Z 反變換都不是唯一的。 為了全面描述 Z 反變換后x*(t)的函數(shù)特性， 可以令采樣周期T0。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 微分與差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一階前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一階后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采樣周期T第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 高階差分二階前向差分： 2x(n) = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二階后

25、向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k階前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k階后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 前向差分 差分的Z變換Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)101)0() 1()() 1()(nrrrnkkxzzzXznxZ)0()0(0 xx其中：Z變換中因子(z

26、- 1)與拉氏變換中s的作用相同。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 后向差分0 0)()(1)(tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(22tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(tiftxzXzznxZkk第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 微分與差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一階前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一階后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采樣周期T第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 高階差分二階前向差分： 2x(n) = x(n)

27、 = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二階后向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k階前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k階后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 前向差分 差分的Z變換Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)101)0() 1()

28、() 1()(nrrrnkkxzzzXznxZ)0()0(0 xx其中：Z變換中因子(z - 1)與拉氏變換中s的作用相同。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 后向差分0 0)()(1)(tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(22tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(tiftxzXzznxZkk第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 差分方程)()()(txtydttdy例：微分方程的離散化dtTTnTyTnydtndtydtndtydttydttydttdy)() 1( )()()()()()()()() 1(nTxnTyTnTyTny)()(1) 1(nTxTnTyTTny差分方程)()()

29、 1(00nxbnyany第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換普通，n階離散系統(tǒng)的前向差分方程為：)() 1() 1()()() 1() 1()(11011kxbkxbmkxbmkxbkyakyankyankymmnn初始條件為：y(i) = yi (i = 0 n-1) x(i) = xi (i = 0 m-1)n階離散系統(tǒng)的后向差分方程為：)() 1() 1()()() 1() 1()(11011mkxbmkxbkxbkxbnkyankyakyakymmnn初始條件為： y(k) = x(k) = 0 (k0)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 差分方程的求解q 迭代法根據(jù)給定的初值，利用差分方程的遞

30、推關(guān)系，迭代求出輸出序列。例1 已知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)輸入序列x(k)1，初始條件為y(k) = 0 ( k 0)，求輸出y(k) (k05)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解：解：y(k) x(k) + 5y(k-1) - 6y(k-2)y(0) x(0) + 5y(-1) - 6y(-2) = 1y(1) x(1) + 5y(0) - 6y(-1) = 6y(2) x(2) + 5y(1) - 6y(0) = 25y(3) x(3) + 5y(2) - 6y(1) = 90y(4) x(4) + 5y(3) - 6y(2) = 301y(5)

31、 x(5) + 5y(4) - 6y(3) = 966第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q Z變換法對差分方程兩端取Z變換，利用時(shí)域位移定理，得到關(guān)于z 的代數(shù)方程，求得Y(z)后，通過Z反變換得到輸出序列y(k)。例2 已知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)輸入序列x(k)1，初始條件為y(k) = 0 ( k 0)，求輸出y(k) 。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解：對方程兩端進(jìn)行解：對方程兩端進(jìn)行Z變換：變換：Zy(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = Zx(k)Y(z) 5z-1Y(z) + 6z-2Y(z) = X(z)(6511)(21zXzzzY

32、) 3)(2)(1(165322zzzzzzzzz35 . 42415 . 0zzzzzz. 2, 1, 0,)3(5 . 4)2(45 . 0)(kkykk第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例3 已知差分方程 y(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 0初始條件為y(0) = 0，y(1) = 1，求輸出y(k)。解：對方程兩端進(jìn)行解：對方程兩端進(jìn)行Z變換：變換：Zy(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 00)(6)0(5)(5) 1 ()0()(22zYzyzzYzyyzzYzzzyyyzzYzz)0(5) 1 ()0()()65(223265)(2zzzzzzzzY, 2

33、, 1, 0,32)(kkykk第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換四、脈沖傳遞函數(shù)l 脈沖傳遞函數(shù)的定義G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)s1和s2為同步采樣器。脈沖傳遞函數(shù)：零初始條件下，輸出采樣信號xo*(t)的z變換與輸入采樣信號xi*(t)的z變換之比。記為：00)()()()()(kkikkoiozkTxzkTxzXzXzG第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換零初始條件：xo(t) = xi(t) = 0 (t0) 或：xo(kT) = xi(kT) = 0 (k0)實(shí)際系統(tǒng)的輸出往往是連續(xù)信號，即采樣開關(guān)s2不存在，此時(shí)，可以在輸出端虛設(shè)一采樣開關(guān)，并使其與輸入

34、采樣開關(guān)s1同步，以考察連續(xù)輸出在各采樣時(shí)刻的狀態(tài)。G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 脈沖傳遞函數(shù)的意義前述已知，對線性連續(xù)系統(tǒng)，輸出y(t)與輸入x(t)之間滿足：ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，當(dāng)t 0時(shí)，g(t) = x(t) = 0。 g(t)L-1G(s)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換對圖示采樣系統(tǒng)，直接作用于系統(tǒng)連續(xù)部分的信號為：G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)0*)()()(niinTtnTxtx從而：)()()(*txt

35、gtxio第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換因此，輸出量在采樣時(shí)刻的值為：tniodnTnTxtgtx00)()()()(即：00)()()(ntidnTtgnTx0)()(ninTtgnTxkninioTnkgnTxnTkTgnTxkTx00)()()()()()()(kTgkTxig(t)=0, if t0第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換即脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列g(shù)(kT)的z變換。通常簡記為：從而：)()()(zGzXzXio0)()()()()(kkiozkTgkTgzzXzXzGG(z) = Zg(t) = ZL-1G(s) = ZG(s)需注意：zssGzG)()(zTssGzGl

36、n1)()(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)() 1() 1()()() 1() 1()(11011mkxbmkxbkxbkxbnkxankxakxakximimiiononoo若系統(tǒng)差分方程為：則當(dāng)y(k)=x(k)=0 (k0)時(shí)，兩端進(jìn)行z變換可得：knioTnkgnTxkTx0)()()(由于：即xo(kT)為不同時(shí)刻的輸入脈沖通過g(k-n)T加權(quán)后的和，因此，g(kT)通常稱為加權(quán)序列。niininmjjnjniiimjjjiozazzbzazbzXzXzG10101)()()(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換若系統(tǒng)差分方程為：niininmjjmjiozazzbzXzXzG10)()(

37、)()() 1() 1()()() 1() 1()(11011kxbkxbmkxbmkxbkxakxankxankximimiiononoo當(dāng)y(0) = y(1) = = y(n-1) = 0， x(0) = x(1) = = x(m-1) = 0時(shí)，兩端進(jìn)行z變換可得：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)中環(huán)節(jié)相互串聯(lián)時(shí)，由于采樣開關(guān)的位置和數(shù)目不同，求得的等效脈沖傳遞函數(shù)也不相同。 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3為同步采樣器。第六章 線性離散系統(tǒng)與z

38、變換)()()()(1121sGZzXzXzG)()()()(222sGZzXzXzGo因此：)()()()()()()()()(212121zGzGzXzXzXzXzXzXzGoo即當(dāng)兩環(huán)節(jié)之間存在采樣開關(guān)時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。同理： n 個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)時(shí)，若相鄰環(huán)節(jié)間均存在同步采樣器，則等效脈沖傳遞函數(shù)等于 n 個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器G1(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G2(s)s1、s2為同步采樣器。)()()()()()(2121zGGsGsGZzXzXzGio與G1(z)

39、G2(z)相區(qū)別即當(dāng)兩環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時(shí)，等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相乘后相應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的z變換。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3為同步采樣器。例1 已知采樣系統(tǒng)方框圖如下：其中：1101)(1ssG151)(2ssG比較有s2與無s2時(shí)，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解：解：1有有s2時(shí)時(shí))()()()()(2121sGZsGZzGzGzG1511101sZsZTTezzezz2 . 01 . 02 . 01 . 0)(02. 02 . 01

40、. 02TTezezz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換2無s2時(shí))()()()(2121sGsGZzGGzG1511101ssZTTezzezz2 . 01 . 02 . 0)()(2 . 02 . 01 . 02 . 01 . 0TTTTezezeez顯然，G1(z)G2(z) G1G2(z)。盡管如此，易見采樣開關(guān)只影響脈沖傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例2 已知采樣系統(tǒng)方框圖如下：其中：sesGsTh1)()()(1assasG求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。Gh(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G1(s)s1、s2為同步采樣器。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變

41、換解：此系統(tǒng)為有零階保持器的系統(tǒng)。解：此系統(tǒng)為有零階保持器的系統(tǒng)。)()()()(11sGsGZzGGzGhh )(11sGseZsTssGessGZsT)()(11ssGeZssGZsT)()(11由于e-sT為延遲一個(gè)采樣周期的延遲環(huán)節(jié)，因此，e-sTG1(s)/s對應(yīng)的時(shí)域輸出比 G1(s)/s 對應(yīng)的時(shí)域輸出延遲了一個(gè)采樣周期。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)(121assaZzasasasZz11111121aTezzazzazTzz111) 1(121)() 1()1 (1) 1(2aTaTaTezzaeaTzaTessGZzzG)(1)(11根據(jù)z變換的時(shí)域滯后定理，有：第六章 線

42、性離散系統(tǒng)與z變換l 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)由于采樣器位置可變，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)圖形式?？紤]常見的偏差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)：(t)*(t)xo(t)xo*(t)s1s3(z)G(s)s1s4為同步采樣器H(s)b(t)xi*(t)b*(t)s2s4xi(t)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換由圖可知：Xo(s) G(s)*(s)B(s) H(s)Xo(s)(s)Xi(s) - B(s) = Xi(s) - H(s)G(s)*(s)兩邊取z變換：(z)Xi(z) - HG(z)(z)G(s)*(s)* = G*(s)*(s)因此：)()(11)(zXzGHzi)()(1)()()()(zXz

43、GHzGzzGzXio第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換輸入作用下的偏差脈沖傳遞函數(shù)為：)(11)()()(zGHzXzzie與連續(xù)系統(tǒng)類似，閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程定義為：D(z) 1 + GH(z) = 0其中， GH(z) 為該閉環(huán)離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。所以，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：)(1)()()()(zGHzGzXzXzio第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換需注意：)()(),()(sZzsZzee采用上述類似分析方法，可求得采樣器位于其它位置時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。但只要偏差信號 (t) 處無采樣開關(guān)，則輸入信號xi*(t) (包括虛構(gòu)的xi*(t) )便無法獲得，從而不可能獲得閉環(huán)離散系統(tǒng)

44、對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，盡管如此，仍有可能求出輸出采樣信號的 z 變換Xo(z)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例如 考慮如下閉環(huán)離散系統(tǒng)：Xo(s) G(s)(s)，(s)Xi(s) - H(s)Xo*(s)(t)xo(t)xo*(t)s3G(s)H(s)xi(t)s1xo*(t)Xo(s) G(s)Xi(s) - G(s)H(s)Xo*(s)Xo(z)XiG(z) - GH(z)Xo(z)(1)()(zGHzGXzXio第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)的過渡過程分析基本方法：z反變換法求輸出序列xo*(t)。 單位階躍響應(yīng)例1：求圖示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，其中采樣周期T = 1s。Xi

45、(s)*(s)Xo(s)s1(s)ses1) 1(1ss第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解：解：)(1)()(1)()()()(zGzGzGHzGzXzXzio)1(1)1 ()1(11)(21ssZzssseZzGsT)368. 0)(1(264. 0368. 0)(1()1 (1) 1(zzzezzeTzTeTTT1632. 0264. 0368. 0)()()(2zzzzzzXzzXio632. 0264. 0368. 0)(2zzzz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換32121632. 0632. 121264. 0368. 0zzzzz87654321868. 0802. 0895. 0147

46、. 14 . 14 . 1368. 0zzzzzzzz按照采樣點(diǎn)估算的近似性能指標(biāo)：tr2stp4sts12sMp40%t (sec)xo*(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151600.20.40.60.811.21.41.6第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 采樣器與保持器對動態(tài)性能的影響考慮上例，若無采樣器與保持器，則系統(tǒng)為連續(xù)二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：11)(2sss若無采樣器，只有保持器，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：sTsTesses11)(23第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換若只有采樣器，無保持器，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：)368. 0)(1(632. 0) 1(1)(zzz

47、ssZzG368. 0736. 0632. 0)(1)()(2zzzzGzGz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo(t), xo*(t)連續(xù)系統(tǒng)無采樣器無保持器采樣堅(jiān)持 采樣器使系 統(tǒng)快速性提 高，穩(wěn)定性 降低；但對 大延遲系統(tǒng)， 適當(dāng)選擇采 樣周期可提 高穩(wěn)定性。 保持器使系統(tǒng)快速性和穩(wěn)定性均降低。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 采樣周期對動態(tài)性能的影響Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo*(t)T = 1sT

48、= 0.5sT = 0.1s連續(xù)系統(tǒng)采樣周期越大，快速性改善越好，但超調(diào)越大。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)，給不出統(tǒng)一的誤差脈沖傳遞函數(shù)形式，因此，其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)進(jìn)行求取。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常利用 z 變換的終值定理進(jìn)行求解，所獲得的誤差是離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)的誤差。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差除與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入形式有關(guān)外，還與采樣周期 T 有關(guān)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例1： 求圖示系統(tǒng)在單位階躍、單位速度以及單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，其中采樣周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)ses1) 1(1

49、ss第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解：圖示系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，誤差信號等解：圖示系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，誤差信號等于偏差信號，從而，可求得輸入作用下的誤于偏差信號，從而，可求得輸入作用下的誤差脈沖傳遞函數(shù)為：差脈沖傳遞函數(shù)為：)(11)(11)()()()()(zGzGHzXzzXzEziie)368.0)(1(264.0368.0)1(11)(zzzssseZzGsT632. 0368. 0368. 1)()()(22zzzzzXzEzie第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)(632. 0368. 0368. 1)(22zXzzzzzEi1單位階躍輸入時(shí)1632. 0368. 0368. 1)(22zz

50、zzzzzE0632. 0368. 0368. 1lim )() 1(lim)(2211zzzzzzEzezz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換2單位速度輸入時(shí)22211) 1(632. 0368. 0368. 1) 1(lim )() 1(lim)(zzzzzzzzEzezz22) 1() 1()(zzzTzzXi) 1)(632. 0()368. 0368. 1(lim221zzzzzzz1632. 143368. 0736. 23lim221zzzzz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換3單位加速度輸入時(shí)22211) 1(2) 1(632. 0368. 0368. 1lim )() 1(lim)(zz

51、zzzzzzEzezz332) 1(2) 1() 1(2) 1()(zzzzzzTzXi2221) 1)(632. 0(2)368. 0368. 1)(1(limzzzzzzzz264. 2264. 794368. 02104. 14lim2123231zzzzzzz第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)離散系統(tǒng)的型別按照開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所具有的 z1的極點(diǎn)數(shù)v 進(jìn)行劃分。與連續(xù)系統(tǒng)類似， v0，1，2，的系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型系統(tǒng)等?？紤]常見的偏差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)：(t)*(t)xo(t)s1G(s)H(s)xi(t)第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)位置誤差系

52、數(shù)1)(zzzXi)(1lim1)(1lim 1)(11) 1(lim)(111zGHzGHzzzzGHzezzz)(1lim1zGHKzppKe1)(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)2) 1()(zTzzXi)() 1(lim)(1) 1(lim 1)(11lim)(111zGHzTzGHzTzzTzzGHezzz)() 1(lim1zGHzKzvvKTe)(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)32) 1(2) 1()(zzzTzXi)() 1(lim)(1) 1(2) 1(lim ) 1(2) 1()(11lim)(212221221zGHzTzGHzzzTz

53、zzTzGHezzz)() 1(lim21zGHzKzaaKTe2)(第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析l s平面到z平面的映射TjTTjsTeeeez)(TzezTarg,|顯然：01|01|01|zzz即z平面上的單位圓對應(yīng)s平面的虛軸，單位圓內(nèi)部對應(yīng)左半s平面，外部對應(yīng)右半s平面。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換ReImsReImz00z1-/T/T3/T-3/T1第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換注意到argz = T，假設(shè) = 0，當(dāng)由-/T至/T變化時(shí)，z平面上的相應(yīng)點(diǎn)從-逆時(shí)針變換到 (逆時(shí)針轉(zhuǎn)一圈)。通常將-/T/T稱為主頻帶。當(dāng)由/T至3/T變化時(shí)， z平面上相應(yīng)點(diǎn)再

54、次逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一圈。因此， 由-至變化時(shí)，z平面上的相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓轉(zhuǎn)過無窮圈。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所有特征根 zi 1 (i = 1, 2, 3, , n)均位于 z 平面的單位圓內(nèi)，即|zi| 1。l 應(yīng)用勞斯判據(jù)判別離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯判據(jù)只能用來判別復(fù)變量 s 的代數(shù)方程的根是否在虛軸的左面，不能判別特征根的模是否小于 1。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換考慮如下的雙線性變換w變換）1111zzworwwz為此，需要對離散系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，將 z 平面的單位圓映射為另一復(fù)平面的虛軸，單位圓內(nèi)部映射到該平面

55、虛軸的左面。令z = x + jy，w = u + jv ，那么：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換222222) 1(2) 1(1 11yxyjyxyxjyxjyxjvuw2222) 1(1yxyxu顯然：1|101|101|10222222zyxifuzyxifuzyxifu注意到：第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換ReImwReImz00z1即雙線性變換將 z 平面的單位圓映射到 w 平面的虛軸，單位圓內(nèi)部映射到 w 平面虛軸的左面。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換1111zzworwwz雙線性變換w變換也可采用：例1：分析圖示系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍，其中采樣周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s

56、)s1(s)sesT1)2( ssK第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有：解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有：)(1)()(1)()()()(zGzGzGHzGzXzXzio)2()1 ()(21ssKZzzG225. 025. 05 . 0)1 (21sssZzK TezzzzzTzzzK2225. 0125. 0) 1(5 . 01)(1(4)21 (1) 12(222TTTezzeTzTeK第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換系統(tǒng)特征方程為：1G(z) = 01353. 01353. 11485. 02838. 0)(2zzzKzG即：01353. 01485. 0)1353. 12838. 0(2K

57、zKzT = 1s時(shí)，令：11wwz得：01353. 02706. 2)297. 07294. 1 (4323. 02KzKKw第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換根據(jù)勞斯判據(jù)，易知系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求：01353. 02706. 20297. 07294. 104323. 0KKK即當(dāng) 0 K 5.82 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。此例對應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，對任意K值，連續(xù)系統(tǒng)均穩(wěn)定，但離散化后，系統(tǒng)可能會成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例2：分析采樣周期T對圖示系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)sesT1) 1( ssK解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有：解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有：)(1)()(1)

58、()()()(zGzGzGHzGzXzXzio第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)1()1 ()(21ssKZzzG)(1()1 (1) 1(TTTezzeTzTeK系統(tǒng)特征方程為：1G(z) = 0即：0) 1() 1(12TTeKTKKzeKKKTz令：11wwz得：0)2(221 )222(22)1 (2KeTTewKTeeeweKTTTTTTT第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換若T2s，得： 0 K 1.450)2(2210)222(220)1 (KeTTeKTeeeeKTTTTTTT系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求：若T0s，系統(tǒng)變?yōu)檫B續(xù)系統(tǒng)，對任意K系統(tǒng)均穩(wěn)定。若T1s，得： 0 K 2.39若T0.5s，得： 0 K n時(shí)：mnmjjnmjjniijmkbjmkbinkuanku)( )()()(101未來時(shí)刻的輸入顯然物理可實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器要求：n m。mnzazzbzXzXzGniininmjjmjio10)()()(此時(shí)：第