北郵版概率論答案(二)

1、習題二1 .一袋中有5只乒乓球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.解】X=3,4,51P(X=3)=K3=0.1C53P(X=4)=0.3C5C2P(X=5)=0.6C5故所求分布律為X345P0.10.30.62 .設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求：(1) X的分布律；(2) X的分布函數(shù)并作圖；133PX-,P1:二X-,P1三X-,P1:X:2.word資料可編輯X=0,1,2.P(XP(XC3C13c3 一c15_ 12c2c132235P(XC3

2、51235C= 2)UC15135X012P22121353535故X的分布律為(2)當 x0 時，F(xiàn) (x) =P(Xwx) =0 22當 0今1 時，F(xiàn) (x) =P (XWx) =P(X=0)=3534當 1wx2 時，F(xiàn) (x) =P (Xx) =1故X的分布函數(shù)0, 22 匚 /、 j35 HR35 、1,x : 00Mx ： 11 _ x ： 2x-2_1_ 122FF,3334p弓(=3534 0353312P(1-X-)P(X=1)P(1:二X-)=2235341P(1：二X:二2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1_=0.35353.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊

3、中率為0.8,求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.解】設(shè)X表示擊中目標的次數(shù).則X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C130.8(0.2)2=0.096P(X=2)=C3(0.8)20.2=0.3843P(X=3)=(0.8)=0.512故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)0,x00.008,0x1F(x)=0.104,1x:二20.488,2x31,x.3P(X_2)=P(X=2)P(X=3)=0.8964.(1)設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a,k!其中k=0,1,2,，

4、入0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.(2)設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a/N,k=1,2,，N,試確定常數(shù)a.解】（1）由分布律的性質(zhì)知二二二二1k16P(X=k)=a%=akoyk!故a=e-,(2)由分布律的性質(zhì)知NNa1=、，P(Xk)=、-ak=1k4N即a=1.5 .甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：(1)兩人投中次數(shù)相等的概率；(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率.解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) P(X=Y)=P(X=0,Y=0)P(X=1,Y=1)P(X=2,Y=2)P(X=3,Y=3)33_12_12-(0.4

5、)(0.3)C30.6(0.4)C30.7(0.3)+_22_2233C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3+(0.6)(0.7)=0.32076(2) P(XY)=P(X=1,Y=0)P(X=2,Y=0)P(X=3,Y=0)P(X=2,Y=1)P(X=3,Y=1)P(X=3、=2)_123_223=C30.6(0.4)(0.3)C3(0.6)0.4(0.3)33_22_12(0.6)(0.3)+C3(0.6)0.4C30.7(0.3)+(0.6)3c30.7(0.3)2(0.6)3C2(0.7)20.3=0.2436 .設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落，任一飛機在某一時刻BI落的概率設(shè)為

6、0.02,且設(shè)才能保證某一時刻飛機需立即各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)？解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù)，則Xb(200,0.02),設(shè)機場需配備N條跑道，則有P(XN)0.01200即CCk00(0.02)k(0.98)200*3)=ZC5(0.3)k(0.7)=0.16308k3(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb(7,0.3)7kk7kP(Y之3)=工C7(0.3)(0.7)=0.35293k=310 .某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松分

7、布，而與時間間隔起點無關(guān)(時間以小時計).(1)求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；(2) 求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.35解】(1)P(X=0)=e/(2)P(X之1)=1P(X=0)=1e”kk2_k11 .設(shè)PX=k=C2P(1p),k=0,1,2PY=m=C：pm(1-p)45，m=0,1,2,3,45分別為隨機變量X,Y的概率分布，如果已知PX1=-,試求RY1.954解】因為P(X之1)=,故P(X1)=.99而P(X：二1)=P(X=0)=(1-p)2.一c4故信(1-p)=,9r1即p.3465從而P(Y-1)-1-P(Y-0)-1-(1-p)

8、4=0.802478112 .某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計算np=20000.001=2e25P(X=5)：-=0.00185!13 .進行某種試驗，成功的I率為-,失敗的概率為1.以X表示試驗首次成功所需試驗的44次數(shù)，試寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率.BIX=1,2,川,k,|1kJ3P(X=k)七尸二44P(X=2)P(X4)|lP(X-2k)|l13.(1)33.(1嚴3.444444= 3L1-(4)14.有2500名同

9、一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1)保險公司虧本的概率；(2)保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.解】以年”為單位來考慮.(1)在1月1日，保險公司總收入為2500X12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,0.002),則所求概率為P(2000X30000)=P(X15)=1-P(X-14)由于n很大，p很小，A=np=5,故用泊松近似，有14e-55kP(X.15)：10.000069kmk!（2）P（

10、保險公司獲利不少于10000）二P(30000-2000X-10000)=P(X 20000) =P(X 5)5 e5k% 0.615961k =0 k!即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)= Ae |x|OOX+ 8求：(1)A值；(2)P0X1;(3)F(x).qQ解】(1)由Jf(x)dx=1得qQqQ1=Ae4dx=2Ae，x=2A1故A.211e1(2)p(0mxi)=3ie/dx=a(1-e)一，x1x1x(3)當x0時，F(xiàn)(x)=一edx=e22x11101x1當xR時，F(xiàn)(x)=e*dx=-exdx+e-edx-二2-二202

11、x :二 0x - 01xe,F(x)=21-e216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管電子管使用壽命X的密度函數(shù)為100f(x)=0,x.100,x100.求：(1)在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率(2)在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率(3)F(x)(1)150100P(XH150)=.1。詈xdx=3.P1=P(X150)3=弓)3曝327(2)p2=C31(|)2=4339(3)當x100時F(x)=ff(t)dtJ-aO100=f(t)dtoCix100100二dt=1t2xf(t)dt1001001001,x-100F(x)=x0,x017.在區(qū)間0，a上任意投擲一個質(zhì)點，以

12、X表示這質(zhì)點的坐標，設(shè)這質(zhì)點落在0，a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例，試求X的分布函數(shù)解】由題意知XU0,a，密度函數(shù)為1,0-x-af(x)=a【0,其他故當x0時F(x)=0當0今a時，F(xiàn)(x)=1即分布函數(shù)18.設(shè)隨機變量X在2值大于3的概率.解】XU2,5,即0,x:二0xF(x)=一a1,5上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測1f(x)=50,2_x_5其他P(X3)=512dx二一333故所求概率為P = c3(2) 32319.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間 1X （以分鐘計）服從指數(shù)分布 E（一）.某顧客在窗5口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就

13、離開他一個月要到銀行 5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求PY1.x -0x5dx = e1解】依題意知XE（-）,即其密度函數(shù)為51_x1e5f(x)=5i,0,該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為二1P(X10)=1。/5Yb(5,e-)，即其分布律為P(Y=k)=Ck(eN)k(1eN)5Jk=0,1,2,3,4,5P(Y_1)=1-P(Y=0)=1(le/)5=0.516720.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N(40,102)；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N(50,42).(1)若動身時離火車

14、開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？(2)又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？解】(1)若走第一條路，XN(40,102),則x-4060-40,P(X60)=PIx(2)=0.97727,1010若走第二條路，XN(50,42),則X-5060-50,P(X:二60)=P:二(2.5)=0.9938+,44故走第二條路乘上火車的把握大些.(2)若XN(40,102),則X-4045-40,P(X45)-P:二=J(0.5)-0.69151010若XN(50,42),則(-1.25)X-5045-50P(X：45)=P:44=1-中(1.25)=0.10

15、56故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN(3,22),(1) 求P2X5,P42,PX3;(2) 確定c使PXc=PXc.2-3X-35-3解】(1)P(2XE5)=P2221=中(1)一中-=0.8413-10.6915=0.5328X -3210 -3012I0.060.06J二1一中(2)：(2)=21-中(2)=0.045623 .一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時)服從正態(tài)分布N(160,d2),若要求P120vXw200=0.8,允許點大不超過多少？解】P(120X200)=Pl120-160-0-1-0.840c_=31.251.2924 .設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為F(x)=A

16、Bex,0,x_0,x3;(3)求分布密度f(x).mF(x)=1曰a=i解】(i)由得limF(x)=limF(x)B=-1，_2(2) P(X2)F(2)=1-eP(X3)-1-F(3)-1-(1-e3)-e3(3) f(x)=F(x)= e-x0,25.設(shè)隨機變量X的概率密度為X,f (x) = 2 -x,0,0 _ x ： 1,1 x :二 2,其他.求X的分布函數(shù)F (x),并畫出f (x)及F(x)解】當x0時F(x) =0當 0x1時 F(x) = _f (t)dt = 一 f(t)dt f (t)dt-0-od.JtJOxx2=tdt=02當 1x2 時 F(x) = f(t)

17、dt =10,x :二 0F(x)26.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為(1) f(x)= ae|x|，入0;(2) f(x)=bx, 10 二 x 二 1,2x2x -1,21,x _22，x0,1 x ： 2,其他.試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F (x).解】由f (x)dx = 1知1 = -ae-qQ1dX=2al。exdx2ak即密度函數(shù)為當 x0時F(x)=f(x)dx=Ydx+eeVdx:2021-x=1e2故其分布函數(shù)1-1e-x2，dxxF(x)=2e(2)由1=(f(x)dx=|0bxdx+1b=1即X的密度函數(shù)為x,0:x：二11 x ： 2,1f(x)=-2,其他x0,當x

18、VQ時F(x)=0當0x1時F(x)=f(x)dx=f(x)dx，if(x)dx:一:0x=xdx0x01x1當1x2時F(x)=Jf(x)dx=f0dx+xxdx+2=dx二一二一01x31=2x當x/時F(x)=1故其分布函數(shù)為0,F(x)=x-00:x：11ZQ)=0.003得1-:：J(z.)=0.003即；，(z-)=0.997查表得z.2.75由P(Xza/2)=0.0015得1-：J(z./2)-0.0015即(z：./2)=0.9985查表得z：./2=2.9628.設(shè)隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求y=X2的分布律.解】Y可取的值為0

19、,1,4,91P(Y=0)=P(X=0)=_5一一一117P(Y=1)=P(X=-1)P(X=1)=615301P(Y=4)=P(X=.2)511P(Y=9)=P(X=3)二30故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/301,.29.設(shè)PX=k=()k,k=1,2,，令2vri,當x取偶數(shù)時Y二-1,當X取奇數(shù)時.求隨機變量X的函數(shù)Y的分布律.mP(Y=1)=P(X=2)+P(X=4)+|+P(X=2k)+|1o1,1o,.242k(二)仁)(二)222111=(/(1一/=3P(Y-1)=1-P(Y=1)=230.設(shè)XN(0,1)(1)求Y=eX的概率密度；(2) 求Y=2X2

20、+1的概率密度；(3) 求Y=|X|的概率密度.解】(1)當ywo時，F(xiàn)y(y)=P(Y0時，F(xiàn)y(y)=P(YWy)=P(exy)=P(XIny)lny-fx(x)dxfY(y)=dFY(y)dy1二一 fx(ln y)二 y11n2y/2yZ e一_一2(2)P(Y=2X1-1)=1當y1時FY(y)=P(Y1時FY(y)=P(YEy)=P(2X2+1Wy)上2(y)/2Lj(y1)/2fx(x)dxd12fY(y)FY(y)fxdy4y-11P(Y-0)=1當yq時FY(y)=P(YEy)=0當y0時FY(y)=P(|X區(qū)y)=P(-yXy)y=yfx(x)dx故 fY(y) =-dFY

21、(y)=dyfx(y)fx(-y)2.y2/2二百e31.設(shè)隨機變量XU(0,1),試求：(1) Y=ex的分布函數(shù)及密度函數(shù)；(2) Z=2lnx的分布函數(shù)及密度函數(shù).解】(1)P(0x1當yE1時FY(y)=p(yy)=0當1ye時FY(y)=P(eXWy)=p(xe時FY(y)=P(exMy)=1即分布函數(shù)0,y1I%(y)=iny,iye1,y之e當 yW0 時，F(xiàn)Y(y) = P(Y M y) =0word資料可編輯故Y的密度函數(shù)為工fY(y)=y,d1：y二e其他(2)由P(0X1)=1知P(Z0)=1當z0時,Fz(z)=P(Zz)=P(2nXz)-P(lnX三-1)-P(X1/

22、2-e)1/oz/2dx=1-e”e-即分布函數(shù)0,Fz=1-ez/2Z0z0故Z的密度函數(shù)為1fZ(z)=2e0,z032.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為2xf(x)=2,0,其他.試求Y=sinX的密度函數(shù).解】P(0Y1)=1當0y1時，F(xiàn)Y(y)=P(YMy)=P(sinXMy)=P(0XWarcsiny)+P(冗一arcsinyXt)arcsiny2x.2dx、0/；Tt_arcsiny2xdx冗1/、2/1/.、2(arcsiny)+1-(兀-arcsiny)冗2=arcsiny冗7t當yE時，F(xiàn)y(y)=1故Y的密度函數(shù)為0二y0.9即(0.9)n22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。

23、x : 0,-10 x ,2x 1x236.已知0,_1F(x)=x+,21,則F(x)是()隨機變量的分布函數(shù)(A)連續(xù)型；(B)離散型；(C)非連續(xù)亦非離散型解】因為F(x)在(oo,+oo)上單調(diào)不減右連續(xù)，且limF(x)=0xlimF(x)=1，所以F(x)是一個分布函數(shù)。x但是F(x)在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選(C)37.設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0,則區(qū)間a,b等于()(A)0,卅2;(B)0,叱(C)兀/2,0；3(D)0，2兀.解】在0,，上sinxR“2且卜

24、sinxdx=1.故f(x)是密度函數(shù)。在0,可上10sinxdx=201.故f(x)不是密度函數(shù)。冗一人，,一一一、一，在一,0上sinx0,故f(x)不是密度函數(shù)。在0,3句上、“3,一、一當Ttx九時，sinx0,f(x)也不是留度函數(shù)。2故選(A)。38.設(shè)隨機變量XN(0,相)，問：當0a何值時，X落入?yún)^(qū)間(1,3)的概率最大？一21X3解】因為XN(0,ff2),P(1X3)=P(-)oaa31人=0(一)-6(一)令g(。)cra=利用微積分中求極值的方法，有g(shù)d)=(-2)(g)=d)CTCTCTa31_9/2:211/2:2N：三e二2、2T=-FX-eJ/2021-3e/2

25、tf二0_o4得I%=，則ln3又g(二0)02，0)=1，故01e2X1,即P(0Yi時，E(y)=1當0y1時，F(xiàn)Y(y)=P(Y1-y)1=P(X-ln(1-y)1.ln(1 -y)022e2xdx即Y的密度函數(shù)為1, fY(y)= 0 0,0 :二 y ：二 1其他即 YU (0, 1)41.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為32f(x)=-90,0 x1,3 x 6, 其他.若k使得PX冰=2/3 ,求k的取值范圍.（2000研考）_ _ .2 1解】由P (X被)=知P (Xk)=-33若 k0,P(X k)=0k 1k1若 0wkw1,P(Xk尸dx = 2w，0 33 3，11當 k=1

26、 時 P (Xk)=31 11 k3 時 P (X k) = 1 dx +0dx0 314.11 k22右 3 k6,則 P (X6,則 P (Xk) =1一一，-12故只有當1q3時滿足p（X冰）=-.342.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=0,0.4,0.8,1,x - -1,-1 _ x ：: 1,1 x 1)=19知P(X=0)=(1p)3=2727故p=131 f(x)= 5,44.若隨機變量X在（1,6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？1x:6其他_2一一一4P(X-4-0)=P(X-2)P(X三-2)=P(X-2)=一545.若隨機變量XN(2,),

27、且P2X4=0.3,則PX0=.2-2X-24-2解】0.3=P(2X4)=P(-)-0.5acr故2)=0.8tTX_20-22因此P(X二0)=P(0-)=：，()cracr=1-中(2)=0.22)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立).求(1)全部能出廠的概率a;(2)其中恰好有兩臺不能出廠的概率B;(3)其中至少有兩臺不能出廠的概率0.解】設(shè)八=需進一步調(diào)試,B=儀器能出廠,則A=能直接出廠,AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠由題意知B=AUAB,且P(A)=0.3,P(B|A)=0.8P(AB)=P(A)P(B|A)=0.30.8=0.24P(B)=P(A)P(AB)=0.70.24=0.94

28、令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，則X6(n,0.94),故二二P(X=n)=(0.94)nP=P(X=n_2)=C2(0.94)T(0.06)2-P(XMn-2)=1-P(X=n-1)-P(X=n)=1-n(0.94)n40.06-(0.94)n47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.解】設(shè)X為考生的外語成績，則XN(72,b2)24=1-：，(一) CT0.023=P(X_96)=PX-72_96-72力(芻=0.97724r查表知一二2,即0=12CTwor

29、d資料可編輯從而XN(72,122)故 P(60c,、c60-72X-7284-7212_84)=PI-121212=.：,(1)_中(_1)=2中一1=0.68248.在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2(假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252).試求：(1)該電子元件損壞的概率區(qū)(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200240V的概率(3解】設(shè)A1=電壓不超過200V,A2=電壓在200240V,A3=電壓超過240V,B=元件損壞。由XN(220,252)知P(A)=P(X三200)cX-220.2

30、00-220-PI一2525=中(-0.8)=1-中(0.8)=0.212P(A2)=P(200EX240)200-220.X-220.240-220一25-25-25-中(0.8)-中(0.8)=0.576P(A3)=P(X240)=1-0.212-0.576=0.212由全概率公式有3二二P(B)八P(A)P(B|A)=0.0642i4由貝葉斯公式有B：二 P(A2 |B)=P(4)P(B1A2)0.009P(B)2X的概率密度fY(y).49.設(shè)隨機變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布，試求隨機變量1,1二x:二2外，其他因為P(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1當ywe2時Fy(y)=P(Ywy)=0.當e2ye4時，F(xiàn)y(y)=P(Yy)=P(e2Xy)1=P(1：X_-lny)1-lny12dxlny-112當yR4時，F(xiàn)y(y)=P(Y