幾何法求最值技巧

1、幾何法求最值技巧 一、教學目標: 使學生掌握幾何法求最值的常規(guī)技巧.會用幾何法求某些函數(shù)的最值.二、教學重難點: 如何平移線段和如何構造圖形是本課的重點又是難點.三、教學方法:探研法.四、教 具:多媒體.五、教學過程:1.引入課題 函數(shù)的最值(值域)是高中數(shù)學的重點內容,也是近幾年高考的熱點，對最值的求解可分為兩大類： 對能寫出解析式(較簡單的)可用配方法、判別式法、有界法、函數(shù)單調性、重要不等式、導數(shù)法. 對不能寫出解析式(或解析式較復雜)可用線段平移、構造圖形、表面展開、線性規(guī)劃等方法.2.例題選講例1.在直線L:y= x+3上取一點P,過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點為焦點作橢

2、圓,求橢圓長軸的最小值及此時P點的坐標與橢圓方程.解:易求得雙曲線的兩焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0),由此設橢圓為:由橢圓定義與平面幾何的結論得:當且僅當點P重合于點Po時，上式取"="號，例2.如圖,有一條河,兩個工廠P和Q位于河岸L(直線)的同側，工廠P和Q距離河岸L分別為10km和8km,兩個工廠的距離為14km,現(xiàn)要在河岸的工廠一側選一處R,在R處修一個水泵站,從R修建直線輸水管分別到兩個工廠和河岸,使直線輸水管的總長度最小.請確定出水泵站R的位置,并求出R到各處的距離.解: 將PRQ繞P點逆時針旋轉60o到PR'Q'(如圖) 當Q

3、9;,R',R三點共線且垂直L時總長最小.此時PRQ=120o, PRR'=QRR'=60o,延長QR交P到L的垂線于A點,則PRA為正三角形作QB垂直PA于B,可求得BA=8,又PB=2,所以PR=PA=10,R到L的距離為5,QR=QA-RA=6.回歸:若R點在河岸L上時如何求解？結果如何？引申:若將上述三個距離改為任意正數(shù)a,b,c時如何求解？例3. 解:為半圓:(x-2)2+y2=4 (y0)上的點P到直線2x-2y+7=0的點Q的距離.(如圖)|BD|為最大值，|CE|為最小值.例4.如圖,V-ABCD為正四棱錐(AVB<45o),閉折線AEFGA是過A

4、且沿正四棱錐側面一周的細繩最短時的路徑.問四點A,E,F,G是否一定共面?并說明理由.解:將正四棱錐的側面沿VA剪開并鋪平在一個平面上,(如圖)則細繩長度的最短值即為線段AA1,且E1,F1,G1三點分別對應E,F,G三點.假設A,E,F,G四點共面.不妨設VA=1,在AVC中,VOAC=VCAF,四點A,E,F,G才可能共面.六、小結: 幾何法求最值的常規(guī)方法有： 1.線段平移法 技巧為：對稱點轉移（或等腰三角形轉移）正三角形轉移. 2.數(shù)形結合法 3.表面展開法 4.線性規(guī)劃法 (略)七、作業(yè)1.相距40km的兩城鎮(zhèn)A,B之間有一個圓形湖泊,圓心落在AB連線中點O,半徑為10km,現(xiàn)要繞過

5、湖泊修建一條連結兩鎮(zhèn)的公路,這條公路的最短路程為( )km. 答案: D2.上的動點,則|PA|+|PF1|的最小值是 答案: B3.已知A為60o二面角-L-內一點,點A到兩個平面的距離分別為2和3,P,Q分別在平面，內，求三角形APQ周長的最小值. 解:過A點分別作兩平面的對稱A',A'',連接A',A'',設A'A''交兩平面,分別為P,Q,此時的三角形APQ即為周長的最小值的三角形,易證其周長為A'A'',4.已知實數(shù)x,y滿足:x1,y1,loga2x+loga2y=loga(ax2)+

6、loga(ay2) (a>0且a1)求loga(xy)的取值范圍.解:原式可化為:(logax-1)2+(logay-1)2=4.令u=logax,v=logay,k=u+v.點P(u,v)在(u-1)2+(v-1)2=4 (uv0)一、三象限兩段圓弧，k為一組平行直線v=-u+k在y軸上的截距.(如圖) 主講人:李品國 2003年12月29日補充1.定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動,記線段的中點為M.求M點到y(tǒng)軸的最短距離,并求此時點M的坐標.解:設L為y2=x的準線，(如圖)設點M的坐標為(xo,yo),則2.83.如圖,L1,L2表示地面上兩條河道,L1,L2垂直

7、交于O點,A,B表示兩村莊.A到L1,L2的距離分別為2公里、1公里; B到L1,L2的距離分別為4公里、3公里;現(xiàn)要在河流L1,L2上選一地點M建一抽水站,分別鋪設水管到A,B兩村,問M應選在何處水管造價最少?L1L2OBA解:如圖,以L1,L2分別為x軸,y軸建成立坐標系,則A(1,2),B(3,4),A關于x軸,y軸的對稱點分別為A1(-1,2),A2(1,-2).4.在一條直線路徑上有A1,A2,A3,A4,A5五個機器人在工作,為節(jié)約時間,提高效率,工廠欲在此直線路徑上設一零件供應點M,使M與五個機器人的距離總和最小,則M應設在何處?解:M應設在A1,A5之間的A3處.5.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4,側棱長為8,E,F分別是PB,PC上的點,求AEF的周長最小值. 解:如圖,