高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系及一些應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系及一些應(yīng)用摘 要：眾所周知，初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展。由于現(xiàn)階段數(shù)學(xué)數(shù)字化時代的發(fā)展，中學(xué)教師要是掌握一定的高等數(shù)學(xué)的知識與方法，并在教學(xué)中與初等數(shù)學(xué)的知識有機(jī)結(jié)合起來，那么將能提高學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)并提高其解決問題的能力。因而，本文著重把高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，通過幾個例子來闡述高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的一些重要的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué) ；應(yīng)用1. 引言數(shù)學(xué)是一門概括性、邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，將它從自然科學(xué)中分離出來而成為一門獨(dú)立的學(xué)科與自然科學(xué)、社會科學(xué)并駕齊驅(qū)，在修完高等數(shù)學(xué)課程之后才能體會到這個主

2、張是非?？茖W(xué)的。因此有人把它叫做思維的體操，也有人把它稱作其他自然科學(xué)必備的基礎(chǔ)工具。這些都是基于這種認(rèn)識和理解，是有一定的道理的。中小學(xué)的數(shù)學(xué)，即使是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，它所要承擔(dān)的教學(xué)任務(wù)和培養(yǎng)的目標(biāo)只能是學(xué)會基本的運(yùn)算和簡單的推理，由于學(xué)生的接受能力有限，更深一層次的研究只能在大學(xué)進(jìn)行。只有通過大學(xué)高等數(shù)學(xué)各門必修課程和選修課程的學(xué)習(xí)和理解，才能深切感受到數(shù)學(xué)這門充滿生機(jī)、古老的學(xué)科的龐大的體系和深邃的理論，才能認(rèn)識到數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的三種特性：抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和高度的概括性。2. 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀大學(xué)課程學(xué)習(xí)的思維單向性很強(qiáng)。大學(xué)的學(xué)習(xí)給學(xué)生的感覺是用中學(xué)知識去學(xué)習(xí)大學(xué)課程中的內(nèi)容，學(xué)生幾乎

3、感覺不到能用大學(xué)知識解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題或?qū)庵袑W(xué)數(shù)學(xué)問題有什么幫助?！坝谩钡挠^念淡薄了，“學(xué)”的熱情自然而然的就少了。抓住高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用及高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用是本課題研究的重點(diǎn)和關(guān)鍵問題。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的教學(xué)難點(diǎn)經(jīng)常讓新教師費(fèi)勁口舌，但學(xué)生仍然暈頭轉(zhuǎn)向，不知其意。比如極限定義、集合和函數(shù)等。一位新數(shù)學(xué)教師在解釋從非空數(shù)集A到數(shù)集B的映射是函數(shù)時常常講不清楚函數(shù)的值域到底是不是B。如果他的數(shù)學(xué)分析中的映射掌握得好，完全可以既講得輕松而學(xué)生又聽得明白。法國數(shù)學(xué)家F克萊因曾經(jīng)說過：“教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理由是，觀點(diǎn)越高，事物就顯得越簡

4、單?！睌?shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生絕不可以輕視高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。要使高等數(shù)學(xué)課程學(xué)有所用，必須要盡可能了解中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，明確教材改革方向和趨勢，這樣才能在教學(xué)中將兩者有機(jī)結(jié)合起來，從而提高學(xué)生的思維，居高臨下地解決問題。3.高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展，而初等數(shù)學(xué)卻是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。作為學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的步驟，無疑應(yīng)該是先學(xué)習(xí)和掌握初等數(shù)學(xué)，然后才能學(xué)習(xí)和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)。反之，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)能加深對初等數(shù)學(xué)的理解和掌握，可以開闊思路、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)和解決問題的能力。但由于中學(xué)數(shù)學(xué)知識幾乎很難和高等數(shù)學(xué)知識直接銜接，使不少大一新生一接觸到“數(shù)學(xué)分析”、“高等代數(shù)”等這些數(shù)

5、學(xué)課程，就對數(shù)學(xué)專業(yè)課產(chǎn)生了畏難、抵觸情緒。而且高等數(shù)學(xué)理論與中學(xué)教學(xué)需要嚴(yán)重脫節(jié)，許多大學(xué)師范畢業(yè)生對如何運(yùn)用高等數(shù)學(xué)理論指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)感到迷茫。毫無頭緒。為了解決上述長期存在的問題，筆者認(rèn)為研究高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系是一項有效的措施。4.高等數(shù)學(xué)在初等數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用（1）.柯西施瓦茲不等式應(yīng)用柯西施瓦茲不等式是高等代數(shù)的一個重要不等式，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。設(shè)歐式空間，令，則。（等號當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時成立）在標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積下，即，若，則得。例設(shè)都是正數(shù)，且。求證：證明：在中，使用標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。設(shè)，則由柯西不等式，得，（等號當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時成立）使用柯西施瓦茲不等式重要的是構(gòu)造一個合適的歐式

6、空間，特別是構(gòu)造內(nèi)積運(yùn)算，并找到兩個適當(dāng)?shù)南蛄?。做到這一點(diǎn)是有困難的，但是只要完成這個構(gòu)造，余下的問題便很容易解決。構(gòu)造法就是在解決某個問題時，先構(gòu)造一種數(shù)學(xué)對象，這種構(gòu)造物有時看來與題意無關(guān)，但實際上恰與問題有內(nèi)在的聯(lián)系，而且在某種條件下正是題目所求，或者使我們可以用另一種方法求解問題，這時構(gòu)造物就成了一種橋梁。（2）.矩陣的應(yīng)用要在問題中用上矩陣也必須構(gòu)造出與問題有某種關(guān)系的矩陣，然后才能使用矩陣的性質(zhì)和定理。例. 已知 （1）。能不能用一個顯式表達(dá)呢？解：首先把（1）式用矩陣來表示 （2）設(shè),則（2）式為，且于是， ，問題轉(zhuǎn)為求。先求的特征值與特征向量，并將對角化得。其中，于是所以所以。

7、在此例中引入矩陣作為工具使用了矩陣的性質(zhì)，得以求出通項。而用初等數(shù)學(xué)的方法解的話，則要經(jīng)過復(fù)雜的迭代才能解出此題，不如用矩陣的知識解題一目了然。（3）.微積分的應(yīng)用例 證明：當(dāng)時證明：設(shè)，它在區(qū)間滿足拉格朗日中值定理的條件，有，由于，故即。若用初等數(shù)學(xué)的知識解題便會發(fā)現(xiàn)此題幾乎無從下手，將不等號兩邊相減或相除來證都是比較困難的，因為有個對數(shù)函數(shù)在，而只要用拉格朗日中值定理，則此題便迎刃而解。例設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件：（i）;(ii對任意的都有.（1） 證明：對任意的，都有；（2） 證明：對任意的，都有；（3） 在區(qū)間上是否存在滿足題設(shè)條件奇函數(shù)，使得當(dāng)時，當(dāng)時，.若存在，請舉一例；

8、若不存在，請說明理由。這是03年北京高考理科數(shù)學(xué)最后一道大題（第20題），是有關(guān)抽象函數(shù)不等式的證明題，認(rèn)真分析研究該題中的（2），發(fā)現(xiàn)這是一道具有高等數(shù)學(xué)知識背景的試題，可以將這個問題推廣：推廣1. 函數(shù)定義在上。，且對任意的，都有，則必有.證明：（i）當(dāng)時，由知，結(jié)論成立。（ii）當(dāng)時，不妨設(shè)，則，從而有 .綜合可知，總有。由試題中函數(shù)滿足的條件（ii）可聯(lián)想到高等數(shù)學(xué)中的R.Lipschitz條件：對于上定義的函數(shù)和正數(shù)，若存在正常數(shù)使不等式對都成立，則稱函數(shù)在上滿足階的R.Lipschitz條件。顯然試題中的函數(shù)滿足階的R.Lipschitz條件。下面進(jìn)一步將其推廣到滿足階的R.Lip

9、schitz條件。推廣2. 函數(shù)定義在上，且滿足階的R.Lipschitz條件，即存在正常數(shù)，使得對于任意的，都有，則必有. 證明：(i當(dāng)時，若，則不等式顯然成立。下設(shè)。由于得，。于是(ii當(dāng)時，不妨設(shè)，則由知函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，于是， 顯然當(dāng)時，不等式也成立。于是 .綜上可知，總有若把試題中的不等號“”改為嚴(yán)格不等式“”，其推廣也成立。（4）.概率論的應(yīng)用例.若試證：。證明：令是兩個相互獨(dú)立的事件，且使由由概率的性質(zhì)知，,從而。5.總結(jié)由以上五個例子可以看出，如果用初等數(shù)學(xué)的知識解題的話，不免會繁瑣無比，但只要巧妙得把高等數(shù)學(xué)中的思想和方法應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中就會產(chǎn)生奇妙的結(jié)果，一些題目的本來

10、繁雜的思考計算步驟就可以省略掉，變得既簡單又明了。比如例，原本要經(jīng)過復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算才有可能證得的結(jié)果，但只要運(yùn)用歐氏空間這一個高等數(shù)學(xué)的知識點(diǎn)，這一道證明題就變得簡單多了。同樣，其他幾道例子都從不同的角度將高等數(shù)學(xué)應(yīng)用到了初等數(shù)學(xué)上，而且都在一定程度上減輕了題目的難度。本文最遺憾的一點(diǎn)就是，作為中學(xué)教師很少能將高等數(shù)學(xué)應(yīng)用到中學(xué)數(shù)學(xué)中去，最重要的原因便是大多數(shù)學(xué)生的接受能力有限，但若從另外一個角度去看，便會有趣地發(fā)現(xiàn)目前大學(xué)生抱怨學(xué)數(shù)學(xué)無用的話立不住腳了，因為我們可以用它來解決初等數(shù)學(xué)的題目，而且是用更簡單的方法去解。另外更重要的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)是一門學(xué)問，一門有著龐大的體系而各體系之間又有著千絲

11、萬縷地聯(lián)系的學(xué)問。從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，再從高等數(shù)學(xué)回歸到初等數(shù)學(xué)，這樣便形成了一個“圓”。這樣的一個“圓”讓學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)的奇妙性，也增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，只要指引得當(dāng)，也會減少大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的抵觸情緒，所以筆者認(rèn)為本課題的研究是很有意義的。參考文獻(xiàn)1黃艷敏.中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的和諧接軌J.中學(xué)教研，2006，11：2931 2金茂明.高等數(shù)學(xué)在解中學(xué)數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用J.涪陵師專學(xué)報，1999,15(3:61643趙金蘭.用高等數(shù)學(xué)方法解決初等數(shù)學(xué)中的某些問題J.雁北師范學(xué)院學(xué)報，2003，19（5）：72734李興無.一道高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)高考壓軸題J.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004，34355謝芳.高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系J.昭通師專學(xué)報，1997,19(2:41446