高等數(shù)學(xué)的矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用一【摘要】隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，可以說和我們的生活息息相關(guān)。而高等數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)，也同樣有著廣泛的應(yīng)用。本篇論文中，我們就對(duì)線性代數(shù)中的矩陣在生產(chǎn)成本、人口流動(dòng)、加密解密、計(jì)算機(jī)圖形變換等方面的應(yīng)用進(jìn)行研究?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 矩陣 實(shí)際 應(yīng)用二應(yīng)用舉例1.生產(chǎn)成本計(jì)算：在社會(huì)生產(chǎn)管理中經(jīng)常要對(duì)生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的很多數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、處理、分析，以此來對(duì)生產(chǎn)過程進(jìn)行了解和監(jiān)控，進(jìn)而對(duì)生產(chǎn)進(jìn)行管理和調(diào)控，保證正常平穩(wěn)的生產(chǎn)以達(dá)到最好的經(jīng)濟(jì)收益。但是得到的原始數(shù)據(jù)往往紛繁復(fù)雜，這就需要用一些方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，生成直接明了的結(jié)果。在計(jì)算中引入矩陣可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行

2、大量的處理，這種方法比較簡(jiǎn)單快捷。例1.某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品A、B、C。每種產(chǎn)品的原料費(fèi)、支付員工工資、管理費(fèi)和其他費(fèi)用等見表1，每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量見表2。財(cái)務(wù)人員需要用表格形勢(shì)直觀地向部門經(jīng)理展示以下數(shù)據(jù)：每一季度中每一類成本的數(shù)量、每一季度三類成本的總數(shù)量、四個(gè)季度每類成本的總數(shù)量。表1.生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本（元）表2.每種產(chǎn)品各季度產(chǎn)量（件）解 我們用矩陣的方法考慮這個(gè)問題。兩張表格的數(shù)據(jù)都可以表示成一個(gè)矩陣。如下所示：2000300025002000 N= 2800480037003000M= 3040202500350040002000 101510102015通過矩陣的乘法運(yùn)算得

3、到113500178500159000110000MN= 2220003520003030002200008700011000012050085000MN的第一行元素表示了四個(gè)季度中每個(gè)季度的原料總成本； MN的第二行元素表示了四個(gè)季度中每個(gè)季度的支付工資總成本； MN的第三行元素表示了四個(gè)季度中每個(gè)季度的管理及其他總成本。 MN的第一列表示了春季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本； MN的第二列表示了夏季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本； MN的第三列表示了秋季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本；MN的第四列表示了冬季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本。對(duì)總成本進(jìn)行匯總，每一類成本的年度總成本由矩陣的每一行元素相加得到，每一季度的總成本可由每一

4、列相加得到。如下表：表3. 總成本匯總表這樣，我們就利用矩陣的乘法把多個(gè)數(shù)據(jù)表匯總成一個(gè)數(shù)據(jù)表。從而比較直觀地反映了該工廠生產(chǎn)的成本。2.人口流動(dòng)問題例2.假設(shè)某個(gè)中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有40萬(wàn)人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：（1） 在這40萬(wàn)就業(yè)人員中，目前約有25萬(wàn)人從事農(nóng)業(yè)，10萬(wàn)人從事工業(yè)，5萬(wàn)人經(jīng)商；（2） 在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有10%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商；（3） 在務(wù)工人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，20%改為經(jīng)商；（4） 在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，20%改為務(wù)工?，F(xiàn)欲預(yù)測(cè)一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多年之后，從事各業(yè)

5、人員總數(shù)之發(fā)展趨勢(shì)。解 若用三維向量(xi,yi,zi)T表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n時(shí)(xn,yn,zn)T的發(fā)展趨勢(shì)。依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為即：X1=0.8x0+0.1y0+0.1z0Y1=0.1x0+0.7y0+0.2z0Z=0.1x+0.2y+0.7z0001X10.80.10.1x0 Y1= 0.10.70.2 y0= Z 0.10.20.7 z10x0 A y0 z0以(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T代入上式，即得:X121

6、.5 Y1= 10.5 Z 81即一年業(yè)人員的人數(shù)分別為21.5萬(wàn)10.5萬(wàn)、8萬(wàn)人。以及X2 Y2= Z2x1x019.05 2A y1=A y0= 11.1 z z 9.8510即兩年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為19.05萬(wàn)、11.1萬(wàn)、9.85萬(wàn)人。進(jìn)而推得：Xnxn-1nx0 決定。An 即n年之后從事各業(yè)人員的人數(shù)完全由 Yn=A yn-1=A y0 Z z z在這個(gè)問題的求解過程中，我們應(yīng)用到矩陣的乘法、轉(zhuǎn)置等，將nn-10一個(gè)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，進(jìn)而解決了實(shí)際生活中的人口流動(dòng)問題。這個(gè)問題看似復(fù)雜，但通過對(duì)矩陣的正確應(yīng)用，我們成功的將其解決。不得不說，矩陣是我們解決實(shí)際問題的重要工具。

7、3. 應(yīng)用矩陣編制Hill密碼密碼學(xué)在經(jīng)濟(jì)和軍事方面都起著極其重要的作用。在密碼學(xué)中將信息代碼稱為密碼，沒有轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息稱為明文，把密碼表示的信息稱為密文。從明文轉(zhuǎn)換為密文的過程叫加密，反之則為解密。現(xiàn)在密碼學(xué)涉及很多高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。1929年，希爾（Hill）通過矩陣?yán)碚搶?duì)傳輸信息進(jìn)行加密處理，提出了在密碼學(xué)史上有重要地位的希爾加密算法。下面我們介紹一下這種算法的基本思想。假設(shè)我們要發(fā)出“attack”這個(gè)消息。首先把每個(gè)字母a，b，c，dx，y，z映射到數(shù)1，2，3，424，25，26。例如1表示a，3表示c，20表示t，11表示k，另外用0表示空格，用27表示句號(hào)等。于是可以用以

8、下數(shù)集來表示消息“attack”：1,20,20,1,3,1111 M= 203 2011把這個(gè)消息按列寫成矩陣的形式：第一步：“加密”工作?，F(xiàn)在任選一個(gè)三階的可逆矩陣，例如:123 A= 112 012于是可以把將要發(fā)出的消息或者矩陣經(jīng)過乘以A變成“密碼”（B）后發(fā)出。1231110140 AM= 112 203= 6126=B 012 2011 6025第二步：“解密”。解密是加密的逆過程，這里要用到矩陣A的逆矩 陣A-1 這個(gè)可逆矩陣稱為解密的鑰匙，或稱為“密匙” 。當(dāng)然矩陣A 是通信雙方都知道的。即用從密碼中解出明碼：1-10 -1A= 2-2-1 -1111-110140110 -1

9、AB= 2-2-1 6126= 203=M -11 6025 20111通過反查字母與數(shù)字的映射，即可得到消息“attack”。在實(shí)際應(yīng)用中，可以選擇不同的可逆矩陣，不同的映射關(guān)系，也可以把字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字進(jìn)行不同的排列得到不同的矩陣，這樣就有多種加密和解密的方式，從而保證了傳遞信息的秘密性。上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將高等代數(shù)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面。可見矩陣的作用是何其強(qiáng)大。4. 計(jì)算機(jī)圖形變換本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)這門基礎(chǔ)專業(yè)課程，其中接觸到很多與矩陣變換有關(guān)的知識(shí)，這激發(fā)了我們的學(xué)習(xí)興趣。下面將簡(jiǎn)單列舉矩陣在這門課中的重要作用。在計(jì)算

10、機(jī)中點(diǎn)的坐標(biāo)用齊次向量坐標(biāo)來表示，即用n+1維向量來表示n維向量。如點(diǎn)A（x,y,z）用齊次向量坐標(biāo)表示為A(x,y,z,1)。例3：在二維直角坐標(biāo)系中有三角形ABC，坐標(biāo)分別為（2，3），（3，1），（1，1），現(xiàn)將其向x軸正方向平移2個(gè)單位，向y軸正方向平移2個(gè)單位，求平移后各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)及相應(yīng)的變換矩陣?解：先寫出ABC三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)，A（2，3,1）,B(3,1,1),C(1,1,1)平移的矩陣變換式為xy1=x1 y1 0 Tx01Ty00=x+Tx1y+Ty1100 此處Tx=2 Ty=2,則變換矩陣為 010 221 經(jīng)上述變換后，A點(diǎn)齊次坐標(biāo)為（4，5，1）B點(diǎn)齊次坐

11、標(biāo)為(5,3,1) C點(diǎn)齊次坐標(biāo)為（3，3，1）。可以看出圖形的一種變換對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣運(yùn)算，也就是說二維圖形變換可以表示為圖形點(diǎn)集的齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。我們可以定義以下二維變換矩陣：a T2D= clbdmpqs這樣，二維空間中的某點(diǎn)的二維變換可以表示成點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)T2D相乘的形式，即 矩陣與三維齊次坐標(biāo)變換矩陣x'y'z'1=xyz1T2D=xyaz1 clbdmpqsT2D在變換中的具體作用，進(jìn)一步可以將 T2D分成4個(gè)子矩陣。 根據(jù)abT1= 矩陣 cd的作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行比例、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和錯(cuò)切變換。矩陣 T2=lm的作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換。pT3= 矩陣 q的作用是進(jìn)行透視投影變換。T4=s的作用是產(chǎn)生整體比例變換。 矩陣三結(jié)束語(yǔ)通過這次論文的舉例，加深了我對(duì)于矩陣的認(rèn)識(shí)，深刻理解了矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用。矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用還有很多，在此就不一