探究高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意的負遷移問題

1、探究高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意的負遷移問題關(guān)鍵詞:多元函數(shù) 極限 負遷移 前言: 在知識技能的學(xué)習(xí)和掌握過程中,必然存在著先前經(jīng)驗對新的學(xué)習(xí)的影響,這在教育心理學(xué)上稱之為“學(xué)習(xí)遷移”。知識技能的類化過程只有在學(xué)習(xí)遷移中才能實現(xiàn)。學(xué)習(xí)遷移具有二重性:一方面學(xué)生在以往學(xué)習(xí)和掌握知識技能時所獲得的經(jīng)驗對新知識技能的學(xué)習(xí)起著積極的促進作用(稱為“正遷移”);另一方面這些先前經(jīng)驗對新的知識技能的學(xué)習(xí)也會起到消極干擾的作用,這稱之為“負遷移”。負遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中尤為突出,如果負遷移問題得不到高度的重視和有效的克服,將會導(dǎo)致一系列的知識性錯誤,嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識技能,阻礙學(xué)生能力的提高和心理的發(fā)展。對此我

2、們應(yīng)當(dāng)高度重視并采取一系列有效措施來服之。這里主要從高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分及乘法交換律的角度談?wù)勔颉柏撨w移”所導(dǎo)致的錯誤,并對如何克服負遷移進行了探索。 第一: 高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的幾個“負遷移”問題辨析 從一元函數(shù)到多元函數(shù),一些概念、理論和方法從基于一維空間中的點集推廣到了n維空間中的點集,問題的條件背景發(fā)生了深刻的變化,這使得函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分等概念的內(nèi)涵得到進一步擴充,變得更為豐富,更為深刻。這必然導(dǎo)致某些在一元函數(shù)中成立的性質(zhì)在多元函數(shù)中不再成立。多元函數(shù)的理論也更加抽象,因此學(xué)習(xí)它更要講究方法。 從數(shù)的運算到向量的運算以及從數(shù)的運算到矩陣運算,它們已不再

3、是單純意義下的數(shù)的運算,它們各自都具有了更為豐富、更為深刻的內(nèi)涵,因而對于數(shù)的運算成立的一些運算律,對向量運算及矩陣運算都不再成立。 但是在負遷移的作用下,學(xué)生仍會自覺不自覺地使用這些一元函數(shù)的性質(zhì)來解決多元函數(shù)的問題,使用數(shù)量運算中的交換律來對向量進行運算以及對矩陣進行運算,導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤。這從以下幾個問題中可見一斑。 問題一、將“一元函數(shù)在某一點的極限”遷移到“多元函數(shù)在某一點的極限”,導(dǎo)致錯誤。 問題二、將“一元函數(shù)在某個點具有導(dǎo)數(shù),它在該點處必定連續(xù)”遷移到“多元函數(shù)在某點偏導(dǎo)數(shù)存在時,它在該點也連續(xù)”的錯誤結(jié)論。 問題三、將“一元函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)存在,它在該點必可微”遷移到“多元函數(shù)

4、在某一點的偏導(dǎo)數(shù)存在時,它在該點也可微”的錯誤結(jié)論。 針對負遷移所帶來的危害,在教學(xué)中我們不但要重視它,更應(yīng)該想辦法克服它,把它解決在萌芽時期。教學(xué)時可以通過實例,把抽象問題具體化,通過分析比較,辨析,使學(xué)生深刻理解問題條件背景的不同將會導(dǎo)致結(jié)論的改變。例如: (1)針對問題一,可引入如下實例: 辨析: 錯誤的原因是將對上研究的一元函數(shù)當(dāng)點沿數(shù)軸(一條有向直線)趨近于點時,對應(yīng)的函數(shù)的值趨近于,遷移到了在上研究的二元函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)點p(x,y)趨近于點p0(x0,y0)時,函數(shù)f(x,y)的值趨近于f(x0,y0);但是它忽視了此時點p(x,y)是平面上的點,它是以任何方式趨近于p(x

5、0,y0)的,這里的任何方式不僅僅限于它沿平行于坐標(biāo)軸的直線趨近于p(x0,y0),它可以沿任何方向、任何曲線趨近于p(x0,y0)。可見此時點p(x,y)趨近于p(x0,y0)的方式遠比點p(x)趨于點p0(x0)的情形復(fù)雜得多。故不能以特殊方式所得出的結(jié)論,作為一般性的結(jié)論,否則將會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。 正確解答為: 顯然這是隨常數(shù)k的變化而變化著的。因此,在點(0.0)處,已知函數(shù)的極限不存在。1 (2)針對問題二,可引入如下實例 而由問題一的例中已知函數(shù)的極限不存在。這證明了盡管該函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)存在但是在該點處卻不連續(xù)。 辨析: 導(dǎo)致這一結(jié)果的原因是偏導(dǎo)數(shù)的存在只能保證點(x,y)沿著

6、平行于坐標(biāo)軸的方向趨近于(0,0)時,函數(shù)值f(x,y)趨近于f(0,0),但不能保證點(x,y)按任何方式趨近于(0,0)時,函數(shù)f(x,y)值都趨于f(0,0)。 可見,多元函數(shù)f(p)在點p0處偏導(dǎo)數(shù)存在不能確保它在p0點連續(xù)。 一般地,對于多元函數(shù)而言,即使在某一點的各偏導(dǎo)數(shù)存在,也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。這是因為各偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點p沿平行于坐標(biāo)軸的方向趨近于p0時,函數(shù)f(p)趨近于f(p0),但不能確保點p按任何方式趨近于p0時,函數(shù)值f(p)趨近于f(p0)。 (3)針對問題三,可以二元函數(shù)為例: 二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)都存在時,雖然能形式,但卻不能保

7、證它與之差是較p高階的無窮小(其中),因此它不一定是函數(shù)的全微分。例如: 然而 當(dāng)點沿著直線趨近于(0,0)時,有 這表明當(dāng)不是較p高階的無窮小。 因此函數(shù)z=f(x,y)在點(0,0)的全微分不存在。上述表明,函數(shù)z=f(x,y)在點(0,0)雖然偏導(dǎo)數(shù)存在但卻不可微。 可見:多元函數(shù)f(p)在點p0的偏導(dǎo)數(shù)存在不能確保多元函數(shù)f(p)在點p0可微。各偏導(dǎo)數(shù)的存在只是全微分的必要條件而不是充分條件。其實負遷移問題涉及到了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方方面面。例如在高等數(shù)學(xué)中研究的正弦函數(shù)sin x和余弦函數(shù)soc x它們都是有界函數(shù),其中。然而將數(shù)集從實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集后,在復(fù)變函數(shù)中函數(shù)就不再是有界函數(shù)了。

8、事實上, ,當(dāng)。若不注意負遷移問題,就會導(dǎo)致認為此時仍有界的錯誤結(jié)論。 第二:在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中克服學(xué)習(xí)“負遷移”的一些方法 學(xué)習(xí)的負遷移問題無處不在干擾和阻礙我們對新的知識技能的學(xué)習(xí)和掌握。因此教師在教學(xué)中對此應(yīng)引起高度的重視。為了克服負遷移的作用,在教學(xué)中我們應(yīng)該注意如下幾個方面: 1.教學(xué)中多應(yīng)用比較的方法加深對一些基本概念的理解 教育心理學(xué)研究表明:對比可以抗干擾。因此加強對易混知識的比較,找準(zhǔn)問題的分化點和切入點,有利于排除干擾。每當(dāng)教授新知識時,尤其是在容易產(chǎn)生負遷移的地方,諸如問題條件背景的改變、概念內(nèi)涵的變化、各概念間的相互關(guān)系,新知識的引入等方面,都要認真地加以分析,比較它們與

9、過去概念、過去知識的相同,相近,相異以及聯(lián)系和區(qū)別,消除學(xué)生認知的矛盾。充分借助相似對比,新舊對比,系統(tǒng)對比,結(jié)果對比,正誤對比等比較辨析的方法,以加深對一些基本概念的理解,把負遷移分化瓦解在萌芽狀態(tài)。 2. 教學(xué)中注意啟發(fā)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容和已有經(jīng)驗進行概括總結(jié)。 因為概括總結(jié)是學(xué)習(xí)遷移產(chǎn)生的最重要條件。凡是已有經(jīng)驗的概括水平越高,正遷移的可能性就越大,效果也就也好。教學(xué)中可以通過大量實例,列舉各種變式,把抽象問題具體化,使學(xué)生深刻理解問題條件背景的不同將會導(dǎo)致結(jié)論的改變,正確把握其內(nèi)涵和外延。引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出概括化的原理,培養(yǎng)和提高其概括總結(jié)能力。充分利用原理、原則的遷移,學(xué)會把原理、原則以

10、及所獲得的經(jīng)驗應(yīng)用于實際的各種不同的情景中去,以解決所面對的各種新問題。 3.幫助學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。 學(xué)習(xí)的遷移貫穿于對知識的領(lǐng)會、鞏固和應(yīng)用的全程。為了取得積極的遷移效應(yīng),應(yīng)在學(xué)習(xí)的全過程中增強認知結(jié)構(gòu)中原有觀念的可利用性、清晰性、穩(wěn)定性和可辨別性。在領(lǐng)會知識階段,以理解作為學(xué)習(xí)的首要策略。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識的相同點、和不同點進行分析和概括、以獲得知識的意義為理解的指標(biāo),以增強知識的可辨別性。在鞏固階段,以牢固掌握知識為目標(biāo),為增強知識的清晰性和穩(wěn)定性,可采用過渡學(xué)習(xí)和掌握學(xué)習(xí)的策略,在對題目同一性的反復(fù)練習(xí)的同時增加變式。在應(yīng)用階段可通過問題的解決增加知識的可利用性,嘗試用聚合思維和發(fā)散思維的方式訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性、變通性和深刻性,以促進學(xué)習(xí)的正遷移。 4. 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極態(tài)度 學(xué)生對學(xué)習(xí)的態(tài)度直接關(guān)系到學(xué)習(xí)的成敗。同時利用直觀教具或生動的教學(xué)語言,借助多媒體等教學(xué)手段,循循善誘,幫助學(xué)生克服畏難心理,培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣,以積極的心態(tài)和飽滿的激情去學(xué)習(xí),去拼搏。教師還必須結(jié)合具體學(xué)科領(lǐng)域的特點和具體的教學(xué)對象的特點,靈活地創(chuàng)設(shè)和利用教育契機去促正遷移的發(fā)生。 綜上所述,只要我們把握了遷移的規(guī)律,掌握一些行之有效的方法,通過不斷的總結(jié),概括和提煉,使習(xí)得的經(jīng)驗得以概括化、系統(tǒng)化、形成一種穩(wěn)定的整合的心理結(jié)構(gòu),就能更好地調(diào)節(jié)學(xué)生的行為。這樣,學(xué)習(xí)的負遷移作用