國內(nèi)刪失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究狀況綜述

1、第23卷第10期Vol.23 No.10統(tǒng)計(jì)與信息論壇Statistics &Information Forum2008年10月Oct.,2008收稿日期:2008-09-12基金項(xiàng)目:上海市教委自然科學(xué)基金5未知需求分布函數(shù)條件下多階段庫存控制策略研究6(06F Z011作者簡介:柯 蓉(1975-,女,廣東南澳人,副教授,博士,研究方向:統(tǒng)計(jì)應(yīng)用。=觀點(diǎn)綜述>國內(nèi)刪失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究狀況綜述柯 蓉(上海海事大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,上海200135摘要:研究了國內(nèi)在線性回歸模型、非線性回歸模型、半?yún)?shù)回歸、非參數(shù)回歸、單指標(biāo)回歸、生存分析、時(shí)間序列分析、密度估計(jì)等領(lǐng)域刪失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究狀況

2、。關(guān)鍵詞:回歸;生存分析;時(shí)間序列分析;密度估計(jì);刪失數(shù)據(jù)中圖分類號(hào):F221 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1007-3116(200810-0077-03由于失訪、改變防治方案、研究時(shí)間結(jié)束時(shí)事件尚未發(fā)生等情況,所采集的數(shù)據(jù)中許多應(yīng)該采集而未能采集,應(yīng)提交而未在一些時(shí)點(diǎn)上提交造成數(shù)據(jù)不完全,這類數(shù)據(jù)稱為統(tǒng)計(jì)學(xué)上的刪失數(shù)據(jù),也稱為截尾數(shù)據(jù)、終檢數(shù)據(jù)(Censored Data。國內(nèi)一些學(xué)者關(guān)于刪失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的研究主要集中在生存分析、線性回歸、半?yún)?shù)回歸參數(shù)估計(jì)等領(lǐng)域。但關(guān)于cox 回歸、單指標(biāo)回歸參數(shù)估計(jì)的研究涉及較少。至于在信息隨機(jī)缺失機(jī)制下的研究也主要涉及線性回歸及半?yún)?shù)回歸參數(shù)估計(jì),其他

3、領(lǐng)域涉及較少。一、線性回歸模型領(lǐng)域線性回歸模型應(yīng)用歷史悠久,但是在處理刪失數(shù)據(jù)上的應(yīng)用只是近三十來年的事,國內(nèi)學(xué)者關(guān)于這方面的研究也是最近幾年開始的。秦更生等1證明了具有刪失數(shù)據(jù)下k 近鄰回歸函數(shù)估計(jì)量的強(qiáng)相合性。薛宏旗等2在響應(yīng)變量的觀測值為I 型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的情形下,討論部分線性模型Sieve 極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì),在一定條件下證明了該估計(jì)具有強(qiáng)相合性,參數(shù)分量的估計(jì)具有漸近正態(tài)性,并且是漸近有效的,非參數(shù)分量估計(jì)達(dá)到了最優(yōu)弱收斂速度。陳敏等3研究隨機(jī)刪失部分線性回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)問題,提出了一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否滿足一個(gè)部分線性回歸模型,它是基于殘差的cusum 過程的平方形式,

4、另外研究了零假設(shè)下和局部對(duì)立假設(shè)下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布,數(shù)值模擬表明該檢驗(yàn)方法有好的檢驗(yàn)功效。何書元等4將完全數(shù)據(jù)下(Y,Z的聯(lián)合分布F(y,z的估計(jì)問題和線性回歸模型Y=bT Z+E 的參數(shù)估計(jì)問題推廣到右刪失數(shù)據(jù)模型,對(duì)于回歸系數(shù)b 和誤差方差的加權(quán)最小二乘估計(jì),在最一般的條件下證明了中心極限定理,給出了漸近方差的簡單表達(dá)公式。王啟華等5-6發(fā)展了隨機(jī)刪失下線性回歸和部分線性回歸的經(jīng)驗(yàn)似然推斷方法。二、非線性回歸模型周秀輕等7研究了隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)非線性回歸模型的最小一乘(LAD估計(jì)問題,證明了LAD 估計(jì)量的漸近性質(zhì),包括相合性、依概率有界性和漸近正態(tài)性等。三、半?yún)?shù)回歸領(lǐng)域關(guān)于隨機(jī)右刪失下

5、半?yún)?shù)回歸模型的大樣本性國內(nèi)已有一些研究,秦更生8研究了當(dāng)B 為一維待估參數(shù)和刪失分布G 未知時(shí),基于核光滑和綜合數(shù)據(jù)法,導(dǎo)出了B 和g 的估計(jì)量,證明了估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性,并獲得了g 估計(jì)量的非參數(shù)收斂速度o(n -1/3。秦更生8利用最近鄰法和綜合數(shù)據(jù)法,考慮B 為一維未知參數(shù)時(shí),導(dǎo)出了B 和g 的估計(jì)量,證明了B 估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性,獲得了g 估計(jì)量的非參數(shù)收斂速度為o(n -1/3。王啟華9利用權(quán)函數(shù)法,考慮X i I R 1,t i I R 1是已知的設(shè)計(jì)點(diǎn)列B I R 1時(shí),主截?cái)喾植糋 的77已知和未知兩種情形,得到B和g的估計(jì)量,并證明其具有強(qiáng)相合性與p2階相結(jié)合性。邱瑾10研究了

6、B I R p,p1時(shí),基于模型的可加性,先將模型變換成標(biāo)準(zhǔn)線性模型,利用鄭祖康(1987的K類方法,構(gòu)造了B的二階段估計(jì)和g的估計(jì),并證明了強(qiáng)相合性。萬樹平等11綜合最近鄰法和最小二乘法,就G已知和未知的情形,在p1時(shí),利用文獻(xiàn)5的K類方法,構(gòu)造出B、g和R2在右刪失下的估計(jì)量,證明了R2估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性。潘雄12利用小波光滑方法并綜合最小二乘法,就刪失分布已知和未知的情形分別定義了半?yún)?shù)回歸B、g(T的的小波估計(jì)B、g(T,在一定條件下,證明了B的漸近正態(tài)性,同時(shí)得到了g(T的最優(yōu)收斂速度。四、非參數(shù)回歸領(lǐng)域許冰等13研究了刪失數(shù)據(jù)非參數(shù)回歸函數(shù)最近鄰估計(jì)強(qiáng)收斂速度,并得到主階n的指數(shù)為1

7、/(2 +d的最優(yōu)速度。五、單指標(biāo)回歸領(lǐng)域單指標(biāo)回歸模型作為一種廣義的回歸模型,是八十年代中后期發(fā)展起來的一種重要的統(tǒng)計(jì)模型。該模型在經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué),生物統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域中,具有廣泛的應(yīng)用背景。國外自20世紀(jì)80年代末以來,一些統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)從不同角度根據(jù)不同假設(shè)條件,對(duì)該模型作了一定的研究,并提出了一系列方法.而在國內(nèi),有關(guān)該模型的相關(guān)文獻(xiàn)還很少。關(guān)于該模型刪失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析的文獻(xiàn)更少。六、生存分析領(lǐng)域鄭祖康14證明了在具有刪失數(shù)據(jù)的生存分析中整體估計(jì)量在D空間的強(qiáng)收斂性以及弱收斂性。孫六全等15-16研究了左截?cái)嘤覄h失條件下在包含最后統(tǒng)計(jì)量生存函數(shù)上升集A-P誤差的精確上界。劉建忠17證明了分組刪失條件

8、下生存函數(shù)的T urnbull估計(jì)具有強(qiáng)極限,并給出了極限值所滿足的方程。王啟華等18-19在隨機(jī)刪失下發(fā)展了生存分析一類泛函、處理差異的統(tǒng)計(jì)推斷。吳耀國等20針對(duì)生存分析中的觀測數(shù)據(jù)具有樣本小、數(shù)據(jù)隨機(jī)刪失的特點(diǎn),基于EM算法給出隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)下Weibull分布的參數(shù)估計(jì)方法,證明了估計(jì)量滿足一個(gè)非線性方程組,并用實(shí)例表明了此方法的有效性。趙曉兵21通過對(duì)刪失數(shù)據(jù)做變換,在此基礎(chǔ)上給出了生存數(shù)據(jù)經(jīng)過未知的單調(diào)變換后協(xié)變量系數(shù)的最小二乘估計(jì),并討論它的大樣本性質(zhì)。Cox回歸是一種多變量的生存分析方法。這是20世紀(jì)6070年代發(fā)展起來的、應(yīng)用于生存資料分析的比例分險(xiǎn)模型(the proporti

9、onal hazard mod2 el。1972年,英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家D.R.Cox的研究工作使得比例分險(xiǎn)模型的理論和實(shí)用性更大地推進(jìn)了一步。國內(nèi)關(guān)于Cox回歸刪失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理剛剛起步,陳清平等22在左截?cái)嘤覄h失條件下,通過核平滑法得到Cox回歸及密度函數(shù)的相應(yīng)估計(jì)量。七、時(shí)間序列分析領(lǐng)域何書元等23研究了當(dāng)平穩(wěn)時(shí)間序列被另外的平穩(wěn)序列刪失后的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的估計(jì)問題。進(jìn)一步研究了自回歸模型參數(shù)估計(jì)問題,通過模擬證明了和進(jìn)一步預(yù)測問題給出的估計(jì)量是強(qiáng)相合。八、密度估計(jì)領(lǐng)域王啟華等24研究觀察數(shù)據(jù)被隨機(jī)右刪失時(shí)參數(shù)分布族的局部漸近正態(tài)與漸近極小極大有效性,建立局部漸近正態(tài)成立的充分條件,給出漸近極

10、小極大風(fēng)險(xiǎn)的下界以及達(dá)到該下界的充分必要條件,并證明隨機(jī)刪失下參數(shù)極大似然估計(jì)的漸近極小極大有效。孫六全等25在隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)下研究了概率密度函數(shù)的核估計(jì),并獲得了核估計(jì)的一個(gè)Berry -Essen界。薛留根26在隨機(jī)右刪失數(shù)據(jù)下構(gòu)造了概率密度函數(shù)的核估計(jì)和隨機(jī)加權(quán)估計(jì),得到了核估計(jì)的誤差分布的正態(tài)逼近速度和隨機(jī)加權(quán)逼近速度,改進(jìn)了孫六全等25的結(jié)論。周勇27提出了隨機(jī)左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)下的一種光滑分位估計(jì),并推導(dǎo)出此光滑估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性,同時(shí)獲得了該估計(jì)的強(qiáng)弱Bahadur表示定理。周勇等28針對(duì)重對(duì)數(shù)在左截?cái)嘤覄h失數(shù)據(jù)下,基于乘積限估計(jì)給出了分位密度估計(jì),獲得了分位密度估計(jì)及其導(dǎo)數(shù)的

11、重對(duì)數(shù)律。周曉東、湯銀才、費(fèi)鶴良29主要討論了當(dāng)壽命分布是威布爾分布時(shí)刪失數(shù)據(jù)的貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析方法,在考慮尺度參數(shù)先驗(yàn)取為逆伽瑪分布而形狀參數(shù)先驗(yàn)分別取為離散分布和均勻分布條件下給出了多種刪失數(shù)據(jù)場合參數(shù)的貝葉斯估計(jì)。參考文獻(xiàn):1秦更生,成平.基于刪失數(shù)據(jù)的一般回歸模型的參數(shù)估計(jì)J.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),1995(4:329-338.2薛宏旗,宋立新,李國英.Ñ型區(qū)間刪失情形下部分線性模型Sieve極大似然估計(jì)漸近性質(zhì)J.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),200178統(tǒng)計(jì)與信息論壇柯蓉:國內(nèi)刪失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)研究狀況綜述(1:139-151.3陳敏,朱力行,Yune K C.具有隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)的部分線性模型的擬合優(yōu)度

12、檢驗(yàn)的漸近性質(zhì)J.中國科學(xué)A輯,2002(11:961-974.4何書元,黃香.右刪失數(shù)據(jù)下線性回歸模型的中心極限定理J.中國科學(xué)A輯,2003(2.5王啟華,隨機(jī)刪失模型中的漸近理論J.北京:高等教育出版社,2002.6Wang Q H.Li Gang,Wang Q H.Empirical likeliho od regression analysis for right censored dataJ.Statist ica Sinica,2003,13(1:51-68.7周秀輕,王金德.隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)非線性回歸模型的最小一乘估計(jì)J.中國科學(xué)A輯,2005(4:387-403.8秦更生.隨機(jī)刪

13、失下指標(biāo)系數(shù)的半?yún)?shù)估計(jì)J.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1995(1:10-15.9Wang Q H.Consistent estimators in random censorship semipar ametric regression modelsJ.Science in China,1996(3:163-171.10邱瑾.刪失場合半?yún)?shù)回歸模型的二階段估計(jì)J.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯,1998(3:281-288.11萬樹平,劉亞芳,涂國平.隨機(jī)刪失場合半?yún)?shù)回歸模型的誤差方差估計(jì)J.南昌水專學(xué)報(bào),2002(1:6-11.12潘雄,付宗堂.隨機(jī)刪失半?yún)?shù)回歸模型小波估計(jì)的漸近性質(zhì)J.應(yīng)用數(shù)學(xué)

14、學(xué)報(bào),2006(1:69-80.13許冰,沈最意.刪失數(shù)據(jù)非參數(shù)回歸函數(shù)最近鄰估計(jì)強(qiáng)收斂速度J.寧波大學(xué)學(xué)報(bào):理工版,2000(4:16-21.14鄭祖康,馬蓉,張秀鳳.隨機(jī)截?cái)嗄Ｐ拖律婧瘮?shù)的一個(gè)估計(jì)J.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯,1999(3:285-292.15Sun Liuquan,Wu Guofu,Wei Xianhua.Local asymptotic proper ties of nonparametr ic hazard function estimation for truncatedand censored dataJ.Sy s.Sci and Complexity(Englis

15、h Series,2001,14(4:413-424.16Sun Liuquan.T he rate of unifor m convergence of the sur vival function estimator for truncated and censor ed dataJ.J.Sys.Sci and Complexity(English Ser ies,2001,14(1:93-105.17劉建忠.分組刪失數(shù)據(jù)下生存函數(shù)Turnbull估計(jì)的強(qiáng)收斂性J.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2002(3:288-294.18Wang Q H,Jing B Y.A mart ingale-base

16、d bootstrap inference for a class of funct ional of survival disitribution with censor eddataJ.Commun.Statist.2000(2:401-415.19Wang Q H,Jing B Y.Empirical likelihood for a class of functionals of survival distributions with censored dataJ.Ann.In2st.Math.Statist,2001,53(3:517-527.20吳耀國,周杰,王柱,曾艷.隨機(jī)刪失數(shù)

17、據(jù)下基于EM算法的Weibull分布參數(shù)估計(jì)J.四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005(5:910-913.21趙曉兵.基于生存數(shù)據(jù)的半?yún)?shù)變換的刪失回歸估計(jì)(英文J.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2006(2:159-172.22Chen Qingping,Dai Yonglong.Kernel estimation of higher der ivatives of density and hazard rate function for truncated andcensored dependent dataJ.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào):英文版,2003(4:477-486.23何書元,李睿,沈俊山.右刪失數(shù)據(jù)下的時(shí)間

18、序列數(shù)據(jù)分析J.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2007(1:20-26.24王啟華,荊炳義.隨機(jī)刪失下極大似然估計(jì)的局部漸近正態(tài)及漸近minimax有效J.中國科學(xué),1999(12:1071-1078.25Sun Liuquan Zhu Lixing.A Berry-Esseen type bound for kernel density estimators under random censorship(ChineseJ.Acta Math.Sinica,1999(4:627-636.26薛留根.刪失數(shù)據(jù)下密度核估計(jì)的誤差分布的強(qiáng)逼近J.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003(4:79-84.27Zhou Y.Estimation of quantiles of distr ibution functions in the case of right censored and left truncated data.(ChineseJ.Acta Math.Appl.Sinica,1997,20(3: