青島市26中八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案

1、青島市26中八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1.對(duì)x、y定義一種新運(yùn)算T x, y mx ny x 2y (其中m> n均為非零常數(shù)).例如：T 1,1 3m 3n.(1)已知 T 1, 10,T 0,28 .求m> n的值;若關(guān)于P的不等式組T 2p,2 pT 4p,3 2p4恰好有3個(gè)整數(shù)解，求a的取值范圍;a(2)當(dāng) x2 y2時(shí)，T x,yT y,x對(duì)任意有理數(shù)x, y都成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出m> n滿(mǎn)足的關(guān)系式.學(xué)習(xí)參考：a b cab ac,即單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每項(xiàng)，再把所得的結(jié)果相加；a b m n am an bm bn,即多項(xiàng)式乘

2、以多項(xiàng)式就是用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的結(jié)果相加.m 1解析：(1)； 42Wa< 54; (2) m=2nn 1(1)構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題；根據(jù)不等式即可解決問(wèn)題；(2)利用恒等式的性質(zhì)，根據(jù)關(guān)系式即可解決問(wèn)題.【詳解】解：(1)由題意得m n 08n 8解得由題意得2p 2 p 2p 4 2p 44 p 3 2 p 4p 6 4p a解不等式得p>-1.a 18解不等式得p<12a 181 一1 v pw122 恰好有3個(gè)整數(shù)解,.-.2<1812<3. -42<a< 54;(2)由題意：(mx+ny) ( x+2y)

3、 = (my+nx) ( y+2x), mx2+ (2m+n) xy+2ny2=2nx2+ (2m+n) xy+my2, 對(duì)任意有理數(shù) x, y都成立，m=2n .【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、二元一次方程組、恒等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的 思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.2222.完全平萬(wàn)公式：a b a 2ab b適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題.A51例如：若a+b=3,ab=1,求a2 b2的值.解：因?yàn)?a+b-3,ab-1所以 a b 2 9,2ab 2所以 a2 b2 2ab 9,2ab 2得 a2 b2 7.根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：(1)若 x y

4、8,x2 y2 40 ,求 xy 的值；29(2)若 4 x x 5,則 4 xx2 ；2若 4 x 5 x 8則(4 x)25 x ；(3)如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，以 AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè) AB 6, 兩正方形的面積和 S S2 18,求圖中陰影部分面積.解析：(1) 12； (2)6； 17； (3) 92【解析】【分析】(1)根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問(wèn)題；(2)兩邊平方，再將(4 x)x 5代入計(jì)算；兩邊平方，再將 4 x 5 x 8代入計(jì)算；(3)由題意可得：AC BC 6, AC2 bc2 18,兩邊平方從而得到ACBC 9,即可算出結(jié)果.【詳解】解：(1)

5、 丁 x y 8；，、2(x y) 8 ；22x 2xy y 64;22又 T x y 40 ;_-，22、2xy 64 (x y ),2xy 64 40 24 ,. xy 12 .(2) :(4 x) x 4, 22(4 x) x 4 222(4 x) x2 (4 x)2 2(4 x)x x2 16；又 t (4 x)x 5 , 22(4 x) x 16 2(4 x)x 16 2 5 6.由(4 x) (5 x) 1 ,22_22(4 x) (5 x)(4 x) 2(4 x)(5 x) (5 x) ( 1)；又丁(4 x)(5 x) 8, 22(4 x)2 (5 x)2 1 2(4 x)(5

6、 x) 12 8 17.(3)由題意可得，AC BC 6 , AC2 BC2 18;2222V(AC BC) 6 , AC2 2AC*BC BC2 36;22_2ACBC 36 (AC BC) 36 18 18,ACBC 9.圖中陰影部分面積為直角三角形面積，- BC CF ,1 9S acf AC*CF . 22【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，(1)可直接應(yīng)用公式變形解決問(wèn)題.(2)小題都需要根據(jù)題意得出兩個(gè)因式和或者差的結(jié)果，合并同類(lèi)項(xiàng)得(4 x) x 4,(4 x) (5 x)1是解決本題的關(guān)鍵，再根據(jù)完全平方公式變形應(yīng)用得出答案.(3)根據(jù)幾何圖形可知選段AB B

7、C 6 ,再根據(jù)兩個(gè)正方形面積和為18,利用完全平方公式變形應(yīng)用得到AC-BC 9,再根據(jù)直角三角形面積公式得出答案.3. (1)發(fā)現(xiàn)：如圖1, ABC的內(nèi)角 ABC的平分線(xiàn)和外角ACD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O。當(dāng) A 50時(shí)，則 BOC當(dāng) A 時(shí)，求 BOC的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示)(2)應(yīng)用：如圖2,直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PQ垂直相交于點(diǎn) O,點(diǎn)A在射線(xiàn)OP上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合)，點(diǎn)B在射線(xiàn)OB上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合)，延長(zhǎng)BA至G ,已知BAO、 OAG的角平分線(xiàn)與 BOQ的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)相交于 E、F ,在 AEF 中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的 3倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出ABO的度數(shù).解析：(1) 2

8、5°；(2) 60 或45 .【解析】【分析】(1)利用外角和性質(zhì)/ AC況/ ABC+ / A, / OC4 / BOC+ / OBQ 再利用角平分線(xiàn) 的定義進(jìn)行等量代換即可；與同理可得；(2)根據(jù)題意分情況進(jìn)行討論，用到(1)的結(jié)論計(jì)算即可【詳解】(1)/ AC4 / ABC+ / A, / OCD= / BOC+ / OBC- . OB、OC 分別平分/ ABC / ACD,，/ACD = 2/OCD, Z ABC= 2/OBC, .2/ OCD= 2/ OBC+ / A, / A= 2 / BOC, . / A= 50°,，-1 ，。.Z BOC= Z A=25 ,

9、2故填：25°AABCACDABC,廣BO平分ABC,CO平分ACDOBC1ABC, 2OCD1 ACD2BOCOBCOCDACD1 ABC2ACD ABCA（2）BAO, OAG的角平分線(xiàn)與 BOQ的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)相交于E,F ,EAF EAO FAO1BAO GAO 902符合題意的情況有兩種:30 ,根據(jù)（1）可知:ABO 2 E 60E 22.5根據(jù)（1）可知:ABO 2 E 45【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角和的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想是關(guān)鍵.4.(閱讀材料)(1)在ABC中，若C 90 ,由三角形內(nèi)角和為180。得A B 180 C 18090(2)在

10、ABC中，若 A BC 180 (A B) 180909090 ,由主角形內(nèi)角和為90.180° 得(解決問(wèn)題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).已知AB /x 軸，交 y軸于點(diǎn)E,連接CE, CF是/ ECO的角平分線(xiàn)，交 AB于點(diǎn)F,交y軸于點(diǎn)D.過(guò)E點(diǎn)作EM 平分/ CEB,交CF于點(diǎn)M .(1)試判斷EM與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖，過(guò) E點(diǎn)作PE± CE,交CF于點(diǎn)P.求證：/ EPCW EDR(3)在(2)的基礎(chǔ)上，作 EN平分/ AEP,交OC于點(diǎn)N,如圖.請(qǐng)問(wèn)隨著 C點(diǎn)的運(yùn) 動(dòng)，/ NEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值

11、：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 圖 圖解析：(1) EMLCF,理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)不變，且/ NEM=45 ,理由 見(jiàn)解析.(1) EMLCF,分別利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求證即可；(2)根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理證得/DCO+-Z CDO=9 0, / ECP+/ EPC=90 ,再 利用等角的余角相等和對(duì)頂角相等即可證得結(jié)論；(3)不變，且/ NEM=45 ,先利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到/AEC=Z ECO=2Z EC尺進(jìn)而有/ AEP=Z CEP吆AEC=90+2 / ECR再由角平分線(xiàn)的定義/ NEP=Z AEN=45 +/ ECF再根據(jù)同角

12、的余角相等得到/ ECP2MEP,然后等量代換證得/ NEM=45 ,是定值. 【詳解】解：(1)EM，CF,理由如下：. CF平分/ ECO, EM 平分/ FEC1 1 / ECF與 FCO=ECO / FEM=Z CEM= CEF2 21 .AB/ x 軸-1-1_1-1ECFCEMECOCEF-(ECOCEF)180902222 ./ ECO+Z CEF=180，/EMC=180- (/CEM+/ ECF) =180 -90 =90° EMXCF(2)由題得，/ EOC=90 / DCO+Z CDO=180 - / EOC=180-90 =90° .PE±

13、 CE . / CEP=90 / ECP+Z EPC=180-Z CEP=180-90 °=90° / DCO=/ ECP/ CDO=Z EPC又. / CDO=Z EDP/ EPC=/ EDP圖不變，且/ NEM=45 ,理由如下： .AB/ x 軸 / AEC玄 ECO=2Z ECP/ AEP=Z CEP+Z AEC=90+2/ ECP, EN 平分/ AEP1 一 1 八一 ./ NEP=/AEN= AEP =-(902 ECP ) =45+/ECP22 / CEP=90 / ECP+Z EPC=90又. / EMC=90 / MEP+/ EPC=90ECP=/ ME

14、P . / NEP=Z NEM+Z MEP=Z NEM+Z ECP又. / NEP=45 +/ ECP . / NEM=45 .圖【點(diǎn)睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、三角形的內(nèi)角和定理、同(等)角的余角相等、對(duì)頂角相等、垂線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，結(jié)合圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，確定解題思路，進(jìn)而探究、推理、論證.5.某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)主角形內(nèi)角或外角平分線(xiàn)的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探究.(1)如圖1,在 3BC中，/ABC與/ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn) P, /A=64°,則/ BPC,(2)如圖2, AABC的內(nèi)角/ACB的平分線(xiàn)與 祥B

15、C的外角/ ABD的平分線(xiàn)交于點(diǎn) E.其中 Z A= a,求/ BEC.(用 a 表不' / BE。；(3)如圖3, /CBM、/BCN為9BC的外角，/ CBM、/BCN的平分線(xiàn)交于點(diǎn) Q,請(qǐng)你 寫(xiě)出/BQC與/A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(4)如圖4, AABC外角/CBM、/ BCN的平分線(xiàn)交于點(diǎn) Q, / A=64° , / CBQ, / BCQ的 平分線(xiàn)交于點(diǎn)P,則/BPC=。，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E, /ECQ的平分線(xiàn)與BP的延長(zhǎng)線(xiàn)相 交于點(diǎn)R,則/ R=° .性II圖2圖3國(guó)41 c 1 .解析：(1) 122; (2) BEC ； ( 3) BQC- 900-

16、A； (4) 119, 29 ;2 2【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線(xiàn)的定義;(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用A與1表示出 2,再利用 E與1表示出 2 ,于是得到結(jié)論；(3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線(xiàn)的定義表示出EBC與 ECB ,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解;(4)根據(jù)(1) , (3)的結(jié)論可以得出 /BPC的度數(shù)；根據(jù)(2)的結(jié)論可以得到 /R的 度數(shù).【詳解】 解：(1) ; BP、CP分別平分 ABC和 ACB ,-11PBC ABC , PCB ACB , 22BPC 180( PBC P

17、CB)1 1180( ABC ACB),2 21 一 一180-( ABC ACB),21180-(180A),2190°320 122”, 故答案為：122;(2)如圖2示,CE和BE分別是 ACB和 ABD18090- A ,的角平分線(xiàn),1 C11 - ACB ,2 - ABD ,又丁 ABD是 ABC的一外角,ABD A ACB ,1 _12 ( A ABC) A 122'2是BEC的一外角，C1BEC 21 A2 1_(3)QBC -( A ACB)2QCB2( AABC),BQC 180QBC QCBABC),1180( A21ACB) ( A211180- A -

18、( A ABC ACB)22'1結(jié)論 BQC 90 A 2,11(4)由(3)可知，ZBQC _90 ZA90 父64"58 ,22再根據(jù)(1),可得 NBPC =180' (ZPBC /PCB)11 .-180QBC/QCB22,、.、 1 .-180 -90 - ZQ2. 1.、-180 -90582119” 1 1由(2)可得：/RQ 58 - 29 ;2 2故答案為：119, 29.圖4【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.6.（概念認(rèn)識(shí)）如圖，在/ABC中，若/ABD= ZDBE / E

19、BG貝U BD, BE叫做/ ABC的 主分線(xiàn)其中，BD是鄰AB三分線(xiàn)”，BE是鄰BC三分線(xiàn)（問(wèn)題解決）(1)如圖，在 "BC中，/A= 70°, ZB=45°,若/ B的三分線(xiàn) BD交AC于點(diǎn)D,則/ BDC= ;°(2)如圖 ，在4ABC中，BP、CP分別是/ABC鄰AB三分線(xiàn)和/ ACB鄰AC三分線(xiàn)，且 BP± CP,求/ A的度數(shù)；(延伸推廣)(3)在AABC中，/ACD是AABC的外角，/ B的三分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與 / ACD的三分線(xiàn)所在 的直線(xiàn)交于點(diǎn)P.若/A=m° , /B= n°,直接寫(xiě)出/ BPC的度數(shù).(用

20、含 m、n的代數(shù)式 表示)解析：(1) 85 或 100; (2) 45° (3) 3m 或 1m 或 2m+1n或m1n或1n 33333331m 3 【解析】 【分析】(1)根據(jù)題意可得B的三分線(xiàn)BD有兩種情況，畫(huà)圖根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得/ BDC的度數(shù)；(2)根據(jù)BP、CP分別是 ABC鄰AB三分線(xiàn)和 ACB鄰AC三分線(xiàn)，且BP CP可 得/ABC - /ACB = 135°,進(jìn)而可求 A的度數(shù)；(3)根據(jù)zB的三分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與ACD的三分線(xiàn)所在的直線(xiàn)交于點(diǎn) P .分四種情況畫(huà)圖：情況一：如圖，當(dāng) BP和CP分別是 鄰AB三分線(xiàn)”、鄰AC三分線(xiàn)”時(shí)；情況 二：如

21、圖，當(dāng) BP和CP分別是 鄰BC三分線(xiàn)”、鄰CD三分線(xiàn)”時(shí)；情況三：如圖， 當(dāng)BP和CP分別是 鄰BC三分線(xiàn)”、鄰AC三分線(xiàn)”時(shí)；情況四：如圖，當(dāng) BP和CP 分別是 鄰AB三分線(xiàn)”、鄰CD三分線(xiàn)”時(shí)，再根據(jù) Am, Bn,即可求出BPC的度數(shù).【詳解】當(dāng) BD 是鄰 AB 三分線(xiàn)"時(shí)，/BD'C=70。I 15° = 85° ;當(dāng) BD 是鄰 BC 三分線(xiàn)"時(shí)，/BD"C =700 - 30，=100°故答案為：85或100;(2) - BP I CP ,BPC 90/PBC+/PCB = 90。，又v BP、CP分別是 A

22、BC鄰AB三分線(xiàn)和 ACB鄰AC三分線(xiàn),一 22.-./PBC =-/ABC , PCB ACB, 332 - 2_-'ABC+ ACB 903 3'./ABC - "ACB 135",在 ABC 中， A ABC ACB 180.,4=180,(ZABC 乙ACB) = 45=.鄰AC三分線(xiàn)”時(shí),(3)分4種情況進(jìn)行畫(huà)圖計(jì)算：情況一：如圖，當(dāng) BP和CP分別是 鄰AB三分線(xiàn)”、鄰CD三分線(xiàn)”時(shí),情況二：如圖，當(dāng) BP和CP分別是 鄰BC三分線(xiàn)”、1 ,1- ZBPC 二 一/A二一 m 33 '鄰AC三分線(xiàn)”時(shí),情況三：如圖，當(dāng) BP和CP分別是

23、鄰BC三分線(xiàn)”、一. 2 . , 1 ,2,1-PC =-zA+- ABC = -m+-n- 3333'情況四：如圖，當(dāng) BP和CP分別是 鄰AB三分線(xiàn)”、鄰CD三分線(xiàn)”時(shí),當(dāng)m n時(shí),當(dāng)m n時(shí),BPC1八11A ABC m3331 八P ABC31-m.3本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角性質(zhì).注意要分情況討論.7.已知 ABC, P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)(A、B、C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線(xiàn)上).連接PR PC,設(shè)/ PBA= s °, / PC- t °, / BPC= x , / BAC= y °.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn) P在&a

24、mp;ABC內(nèi)時(shí)，若 y=70, s= 10, t=20,則 x=；探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論.(2)當(dāng)點(diǎn)P在a ABC外時(shí)，直接寫(xiě)出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的 圖形.解析：(1)100; x=y+s+t; (2)見(jiàn)詳解.【解析】【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；結(jié)論：x=y+s+t.利用三角形內(nèi)角和定理即可證明;(2)分6種情形分別求解即可解決問(wèn)題.【詳解】解：(1).一/ BAC=70 ,ABC+/ ACB=110 ,. / PBA=10 , / PCA=20 / PBC+Z PCB=80 , ./ BPC=100, .x=

25、100,故答案為：100.結(jié)論：x=y+s+t.理由：/ A+Z ABC+Z ACB=Z A+Z PBA+Z PCA+Z PBC+Z PCB=180,/ PBC+Z PCB+Z BPC=180,/ A+Z PBA+Z PCA=/ BPC, . .x=y+s+t.(2) s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：圉2P圖斗本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討 論的思想思考問(wèn)題.8.如圖(1) , AB = 4Cm, ACXAB, BDXAB, AC=BD=3Cm.點(diǎn) P在線(xiàn)段 AB上以1cm/s的速度由點(diǎn) A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線(xiàn)段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)

26、動(dòng).它們運(yùn)動(dòng) 的時(shí)間為t (s) .(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t = 1時(shí)，4ACP與4BPQ是否全等， 請(qǐng)說(shuō)明理由， 并判斷此時(shí)線(xiàn)段 PC和線(xiàn)段PQ的位置關(guān)系；(2)如圖(2),將圖(1)中的 “ AC± AB, BD± AB'為改 " / CAB= / DBA= 60° ；其他 條件不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為Xcm/s,是否存在實(shí)數(shù) X,使得4ACP與4BPQ全等？若 存在，求出相應(yīng)的 X、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.Dt 1解析：(1)全等，垂直，理由詳見(jiàn)解析；( 2)存在，或 3x 1 x 2【解析】【分析】(1)在

27、t=1的條件下，找出條件判定 ACP和4BPQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直 角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)，可證/CPQ= 90。，即可判斷線(xiàn)段 PC和線(xiàn)段PQ的位置關(guān)系；(2)本題主要在動(dòng)點(diǎn)的條件下，分情況討論，利用三角形全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)進(jìn)行解 答即可.【詳解】(1)當(dāng) t=1 時(shí)，AP= BQ=1, BP= AC=3, 又/ A=/B= 90° , 在 ACP和ABPQ中，AP BQ A B AC BP.-.ACF BPQ(SAS)./ ACP=Z BPQ , / APC+/ BPQ=Z APC+/ ACP = 90*./ CPQ= 90° ,即線(xiàn)段PC與線(xiàn)段P

28、Q垂直；(2)若 ACP ABPQ, 貝U AC= BP AP= BQ3t解得4 txtt 1 x 1 ;若 AC® BQP,貝U AC= BQ AP= BP,3 xtt 4 tt 2解得： 3 x -2t 1t 2綜上所述，存在或3使得 ACP與 BPQ全等.x 1x -2【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，是解決本題的關(guān)鍵.9.請(qǐng)按照研究問(wèn)題的步驟依次完成任務(wù).（問(wèn)題背景）（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為 “浮形”，請(qǐng)說(shuō)理證明/ A+/B=/ C+/ D.圖5（簡(jiǎn)單應(yīng)用）（2）如圖 2, AP、CP分別平分/ BADk / BCD,若/ A

29、BC=20 , / ADC=26 ,求/ P 的度數(shù)（可直接使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）（問(wèn)題探究）（3）如圖3,直線(xiàn)AP平分/ BAD的外角/ FAD, CP平分/ BCD的外角/ BCE若Z ABC=36 , / ADC=16 ,猜想/ P 的度數(shù)為（拓展延伸）（4）在圖 4 中，若設(shè)/ C=x, / B=y, / CAP=1 /CAB, / CDP=- / CDB,試問(wèn)/ P與33/C、/B之間的數(shù)量關(guān)系為 （用x、y表示/ P）；（5）在圖5中，AP平分/ BAD, CP平分/ BCD的外角/ BCE猜想/ P與/ B、D的關(guān) 系，直接寫(xiě)出結(jié)論.解析：(1)見(jiàn)解析；(2) / P=23o；

30、 (3) /P=26o； (4) / Pxy ； (5)/P=180B D2【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；(2)如圖2,根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到/1 = 7 2, /3=/4,列方程組即可得到結(jié)論；(3)由AP平分/ BAD的外角/ FAD, CP平分/ BCD的外角/ BC匕 推出/ 1 = 72,/3=/4,推出/ PAD=180-/2, /PCD=180-/3,由/ P+ (180 -/1) =/D+ (180 -/3) , / P+/1 = /B+/4,推出 2/P=/B+/D,即可解決問(wèn)題；(4)根據(jù)題意得出/ B+Z CAB=/C+/BDC,再結(jié)合/ CAP=1

31、 / CAB, / CDP=1 / CDB,得33到 y+ (/ CAB-1 / CAB) =/ P+ (/ BDC-1 / CDB),從而可得/ P=y+Z CAB- / CAB-333/ CDB+1 / CDB= 2x-y ； 33(5)根據(jù)題意得出/ B+Z BAD=/D+/ BCD, / DAP+Z P=Z PCD+Z D,再Z合 AP 平分/BAD, CP 平分/ BCD 的外角/ BCE,得到Z BAD+Z P=Z BCD+ (18022/ BCD) +/ D,所以/ P=90° + / BCD-1 / BAD +/ D=180-222解：（1）證明：在 AOB 中，/

32、A+ZB+Z AOB=180,在 COD 中，/ C+Z D+Z COD=180 , . / AOB=Z COD,.A+Z B=Z C+Z D;(2)解：如圖 2, ,AP、CP分別平分/ BAD, / BCD,1 = /2, / 3=/4,由（1）的結(jié)論得: +，得 2/P+/2+/3=/1 + /4+/B+/D, ./ P=1 (/ B+/D) =23。;2（3）解：如圖3,AP平分/ BAD的外角/ FAD, CP平分/ BCD的外角/ BCE；1 = /2, / 3=Z4, ./ PAD=180-/2, / PCD=180-/3, /P+ (180 -/1) =/D+ (180 -/3

33、),ZP+Z 1 = / B+Z 4, .2/ P=Z B+Z D,/1 , / 、1./P=2 (/B+/D) = x (36 +16°) =26。；故答案為：26°(4)由題意可得：/ B+Z CAB=Z C+Z BDC,即 y+/CAB=x+/BDC,即/ CAB-/BDC=x-y,ZB+Z BAP=Z P+Z PDB,即 y+Z BAP=Z P+Z PDB,即 y+ (/ CAB-/ CA» =/ P+ (/ BDC-Z CD» ,即 y+ (/ CAB-1 / CAB) =/ P+ (/ BDC-1 / CDB),33/ P=y+Z CAB-1

34、 / CAB-/ CDB+1 / CDB2=y+ 3(/ CAB-/ CDB)2=y+ -3(x-y)故答案為：/P=2 x313y；(5)由題意可得：/B+Z BAD=Z D+ / BCD,/DAP+/ P=Z PCD+Z D, ./ B-ZD=ZBCD-Z BAD,AP平分/ BAD, CP平分/ BCD的外角/ BCE/ BAP=Z DAP, / PCE之 PCB, . 1 / BAD+Z P= (/ BCD+1 / BCE：) + / D .1/BAD+/ P=Z BCD+1 (180-/BCD) +/D, 22/ P=90 + 1 / BCD-1 / BAD +/ D 22=90 +

35、 (/BCD-/ BAD) +/D 2=90 + (/ B-/ D) +/D 2180 B D=,2故答案為:P=r【點(diǎn)睛】 本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué) 會(huì)用方程組的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.10.在 ABC中，已知/ A= a.(1)如圖1, / ABC /ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn) D.當(dāng)仁70。時(shí)，/ BDC度數(shù)=度(直接寫(xiě)出結(jié)果)；/ BDC的度數(shù)為 (用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖2,若/ ABC的平分線(xiàn)與/ ACE角平分線(xiàn)交于點(diǎn)F,求/ BFC的度數(shù)(用含 a的 代數(shù)式表示).(3)在(2)的條件下，將 FBC以直線(xiàn)BC為對(duì)稱(chēng)

36、軸翻折得到 GBQ / GBC的角平分線(xiàn) 與/ GCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn) M (如圖3),求/ BMC的度數(shù)(用含 a的代數(shù)式表示).。 -1 1解析：(1) (1) 125； 90 - , (2) BFC - ； (3)-1BMC 90 一4【解析】【分析】(1)由三角形內(nèi)角和定理易得/ ABC+Z ACB=110,然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，結(jié)合三 角形內(nèi)角和定理可求/ BDC; 由三角形內(nèi)角和定理易得/ ABC+Z ACB=180-ZA,采用 的推導(dǎo)方法即可求解；(2)由三角形外角性質(zhì)得BFC FCE FBC ,然后結(jié)合角平分線(xiàn)的定義求解；(3)由折疊的對(duì)稱(chēng)性得BGC BFC，結(jié)合(1)的結(jié)論

37、可得答案.【詳解】._ 11解：(1) DBC / ABC / DCB= / ACB,22/ BDC= 180 - / DBC- / DCB。1/= 180 ( / ABC+/ACB)2。1= 180 - (180 - 70 )2= 125°11 : DBC / ABC, / DCB= Z ACB, 2'2/ BDC= 180 - / DBC- / DCB。1 ，、= 180 ( / ABG+/ACB)2。1。,= 180 - (180 - / A)2= 90+12= 90+12故答案分別為125。，90。+1”.2(2) .BF和CF分另1J平分/ABC和/ACE_ 1_1

38、_FBC ABC , FCE ACE ,22 BFC FCE FBC = 1( ACE ABC)21即 BFC 一2 ,1(3)由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：BGC BFC 一,2, L-1由(1)可得 BMC 90 BGC2-1BMC 904 °【點(diǎn)睛】 本題考查三角形中與角平分線(xiàn)有關(guān)的角度計(jì)算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.如圖，若要判定紙帶兩條邊線(xiàn) a, b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來(lái)進(jìn)行探究.(1)如圖1,展開(kāi)后，測(cè)得 12,則可判定a/b ,請(qǐng)寫(xiě)出判定的依據(jù) ；(2)如圖2,若要使a/b,則 1與 2應(yīng)該滿(mǎn)足白關(guān)系是 ;(3)如圖

39、3,紙帶兩條邊線(xiàn) a, b互相平行，折疊后的邊線(xiàn)b與a交于點(diǎn)C,若將紙帶沿AB (A, B1分別在邊線(xiàn)a, b上)再次折疊，折疊后的邊線(xiàn)b與a交于點(diǎn)C1，AB/ AB , BB1 3, AC 7,求出 AC 的長(zhǎng).解析：(1)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；(2) / 1+2/2=180。； ( 3) 4或10【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理，即可得到答案；(2)由折疊的性質(zhì)得：/3=7 4,若a/ b,則/ 3=/2,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；(3)分兩種情況：當(dāng) B1在B的左側(cè)時(shí)，如圖2,當(dāng)B1在B的右側(cè)時(shí)，如圖 3,分別求 出AC的長(zhǎng)，即可得到答案.【詳解】(1) 12 ,

40、.a/b (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行)，故答案是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行；(2)如圖1,由折疊的性質(zhì)得：/3=74,若 all b,則/ 3=/2,4=7 2, / 2+7 4+71=180° ,.1+2/2=180° , 要使a/b,則 1與2應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系是：/ 1+2/2=180。.故答案是：/ 1+2/2=180° ;(3)當(dāng)B1在B的左側(cè)時(shí)，如圖2, AB/ A1B1 , a/ b,.AA1=BB1=3, ' A|C =AC- AA=7-3=4;當(dāng)B1在B的右側(cè)時(shí)，如圖3,- AB/ A1B1 , a/ b, AAi=BBi=3,AC =AC+AA

41、=7+3=10.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平 行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等”是解題的關(guān)鍵.12.(1)填空把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖所示的方式折疊，EM , FM為折痕，折疊后的 C點(diǎn)落在B1M或B1M的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么EMF的度數(shù)是；把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖所示的方式折疊，B點(diǎn)與M點(diǎn)重合，EM , FM為折痕，折疊后的C點(diǎn)落在AM或AM的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么EMF的度數(shù)是 .(2)解答：把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖所示的方式折疊,EMFM為折痕，折疊后的C點(diǎn)落在BM或BM的延長(zhǎng)線(xiàn)上左側(cè)，且 EMF 80 ,求把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖所示的方式折疊，B點(diǎn)

42、與M點(diǎn)重合,C1MB1的度數(shù)；EM , FM為折痕，折疊后的C點(diǎn)落在am或am的延長(zhǎng)線(xiàn)右側(cè)，且EMF 60,求 GMA的度(3)探究：把一張四邊形的紙片按如圖所示的方式折疊,EB , FB為折痕，設(shè)ABCEBFA1BC1之間的數(shù)量關(guān)系.解析：90，45 ; 20 , 30 ;【解析】【分析】1(1)如圖知 EMC1 2BMC1 ,C1MF1EMF 12BMC1C1MC可求出解由圖知EBAABC1,C1BF1 八八1GBC 得 EBF 22ABC1C1BC 可求出解.(2)由圖折疊知CMFFMC1, BMEEMB1，可推出(BMC EMF)EMFC1MB1 ,即可求出解.由圖中折疊知CMFC1M

43、F, ABEABE,可推出2 90 60A1MC190,即可求出解.(3)如圖-1、-2中分別由折疊可知，a【詳解】解：(1)如圖中,EMC11八1 BMC12C1MFC1MC ,EMFEMC1-1C1MF 1BMC1C1MC故答案為90如圖中, EBA11 ABC1, 2C1BFC1BCEBFEBCiCiBFABC1CiBC90 45故答案為45 .(2)如圖中由折疊可知,CMFFMCi, BMEEMBi,* C1MFEMB1EMFC1MB1,CMF BME EMFC1MB1,(BMCEMF)EMFC1MB1,180 80C1MB1 20 ；如圖中根據(jù)折疊可知，CMFC1MF, ABEA1B

44、E,丫2 CMF 2 ABEA1MC1 90 ,2( CMF ABE)AMCi 90 ,2 90 EMFA1MC1 90 ,2 90 60A1MC1 90 ,AMC1 30 ；(3)如圖-i中，由折疊可知，aa 2 如圖-2中，由折疊可知，a,【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換中折疊屬全等變換，圖形的角度及邊長(zhǎng)不變及一些角度的計(jì)算問(wèn) 題，突出考查學(xué)生的觀(guān)察能力、思維能力以及動(dòng)手操作能力，本題是代數(shù)、幾何知識(shí)的綜 合運(yùn)用典型題目.13.問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖 1, AABC是等邊三角形，點(diǎn) D 是BC的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足/ ADE= 60°, DE交等邊三角形外角平分線(xiàn)于

45、點(diǎn) E.試探究AD與DE 的數(shù)量關(guān)系.操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過(guò)點(diǎn) D作DF/ AC交AB于F,通過(guò)構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理論 證就可以解決問(wèn)題，請(qǐng)您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明.類(lèi)比探究：（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)（除B C外），其他條件不變，試猜 想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足 CD= BC,在圖3中補(bǔ)全圖形，直 接判斷 那DE的形狀（不要求證明）.圖3解析：（1）AD=DE,見(jiàn)解析；（2）AD= DE,見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析，AADE是等邊三角形，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)平行線(xiàn)

46、的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明ADF© EDC即可得解；（2）根據(jù)題意，通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明AFD© DCE即可得解；（3）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理進(jìn)行證明即可【詳解】（1）如下圖，數(shù)量關(guān)系：AD=DE證明： ABC是等邊三角形 .AB=BC,B= BAC= BCA= 601. DF/ ACBFD= BAC , / BDF= / BCAB= BFD= BDF =60BDF是等邊三角形，AFD=120.DF= BD 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).BD=CD .DF=CD CE是等邊 ABC的外角平分線(xiàn)DCE = 120 = AFD ABC是等邊三角形，點(diǎn)

47、 D是BC的中點(diǎn) .-.ADXBCADC = 90BDF= ADE =60ADF= EDC =30在ADF與 EDC中AFD= ECDDF = CDADF = EDC . ADF© EDC(ASA).AD= DE;(2)結(jié)論：AD=DE證明：如下圖，過(guò)點(diǎn) D作DF/AC,交AB于F§ b ABC是等邊三角形.-.AB=BCB= BAC= BCA= 60. DF/ ACBFD= BAC, BDF = BCAB= BFD= BDF =60BDF是等邊三角形，AFD =120.BF= BD .AF= DCCE是等邊 ABC的外角平分線(xiàn)DCE = 120 = AFD / ADC是

48、ABD的外角ADC= B+ FAD =60+ FADADC= ADE+ CDE=60 + CDEFAD= / CDE在AFD與DCE中AFD= DCEAF = CDFAD= EDC . AFD© DCE (ASA).AD= DE;(3)如下圖，ADE是等邊三角形.證明： BC CD . AC CD. CE平分 ACD CE垂直平分AD .AE=DE ADE 60ADE是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，垂 直平分線(xiàn)的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵.AB14.在 RtABC 中，ACB 90 ,

49、A 30 , BD 是小 ABC 的角平分線(xiàn)，DE于點(diǎn)E .(1)如圖1,連接EC ,求證：EBC是等邊三角形;(2)如圖2,點(diǎn)M是線(xiàn)段CD上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) C,D重合)，以BM為一邊，在BM下方作 BMG 60 , MG交DE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G .求證：AD DG MD ;(3)如圖3,點(diǎn)N是線(xiàn)段AD上的點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作 BNG 60 ,NG交DE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G .直接寫(xiě)出ND , DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系.解析：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)結(jié)論：AD DG ND ,證明見(jiàn)解 析.【解析】【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出ABC 60 ,再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得C

50、D ED ,然后根據(jù)三角形的判定定理與性質(zhì)可得BC BE ,最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；(2)如圖(見(jiàn)解析)，延長(zhǎng) ED使得DF MD，連接MF ,先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定得出MDF是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出F MDB,MF MD, FMG DMB ,然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量 代換即可得證；(3)如圖(見(jiàn)解析)，參照題(2),先證 HDN是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的 性質(zhì)、角的和差得出 H NDG, NH ND, HNB DNG ,然后根據(jù)三角形全等 的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證.【詳解】(1) v ACB 90 , A 30AB

51、C 90 A 60/ BD是 ABC的角平分線(xiàn)， DE ABCD ED在BCD和BED中,CD EDBD BDBCD BED(HL)BC BEEBC是等邊三角形；(2)如圖，延長(zhǎng) ED使得DF MD ,連接MFACB 90 , A 30 , BD 是 ABC 的角平分線(xiàn)，DE ABADE BDE 60 , AD BDMDFADE 60 , MDB 180 ADEBDE 60MDF是等邊三角形MF DM , F DMF 60BMG 60DMFDMGBMG DMG ,即 FMGDMBF MDB 60在 FMG 和 DMB 中，MF MDFMG DMBFMG DMB (ASA)GF BD ,即 DF DG BDAD DF DG MD DG即 AD DG MD ；(3)結(jié)論：AD DG ND,證明過(guò)程如下: 如圖，延長(zhǎng)BD使得DH ND ,連接NH由(2)可知，ADE 60 , HDN 180 ADE BDE 60 , AD BDHDN是等邊三角形NH ND, H HND 60BNG 60HND在HNB和BND BNGHDNG 中，NHBND ,即 HNBNDG 60NDDNGHNB DNGHNB DNG (ASA)HB DG ,即 DH BD DGND AD DG即 AD DG ND .G本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判