中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的影響因素及其培養(yǎng)策略

1、中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的影響因素及其培養(yǎng)策略但琦 朱德全 宋寶和 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是新一輪基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念之一。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)中指出：“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。”一 數(shù)學(xué)建模的過程和能力界說(一)數(shù)學(xué)建模的過程 數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的原理、方法、語言解決實(shí)際問題的過程。數(shù)學(xué)建模的過程主要包括4個(gè)環(huán)節(jié)：1)問題分析：了解問題的實(shí)際背景材料

2、，分析并找出問題的本質(zhì)。2)假設(shè)化簡：確定影響研究對(duì)象的主要因素，忽略次要因素，以便簡化問題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和抓住問題的本質(zhì)。3)建模求解：根據(jù)分析建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)方法或計(jì)算機(jī)程序(軟件包)對(duì)模型進(jìn)行求解。4)驗(yàn)證修改：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠穹蠈?shí)際，并對(duì)它做出解釋，最后將它應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)、生活中，產(chǎn)生社會(huì)效益或經(jīng)濟(jì)效益。其活動(dòng)過程可用圖1來表示：數(shù)學(xué)抽象現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)模型有無解翻譯、檢驗(yàn)現(xiàn)實(shí)問題解解數(shù)學(xué)模型圖1數(shù)學(xué)建模過程 需要注意的是：數(shù)學(xué)建模的問題往往不是一個(gè)單純的數(shù)學(xué)問題，它涉及到其他學(xué)科知識(shí)以及生活知識(shí)。數(shù)學(xué)建模的過程是一個(gè)多學(xué)科的合作過程，它促使學(xué)生把從各門課程中學(xué)到的知識(shí)加以融會(huì)貫通

3、；促使學(xué)生根據(jù)需要查閱資料、獲取知識(shí)；促使學(xué)生圍繞問題收集信息，深化對(duì)問題的了解，并在此基礎(chǔ)上解決問題。數(shù)學(xué)建模還可以培養(yǎng)學(xué)生推演、探索、猜想、計(jì)算以及使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等的能力。(二)數(shù)學(xué)建模能力的界說 吳長江指出：數(shù)學(xué)建模能力系指對(duì)問題做相應(yīng)的數(shù)學(xué)化，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并將該模型求解回譯到原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終將問題解決或做出解釋的能力。閱數(shù)學(xué)建模的能力包括：閱讀理解能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)化能力、計(jì)算能力和自我監(jiān)控能力。數(shù)學(xué)教學(xué)要通過學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所需要的較廣泛的能力、較強(qiáng)的數(shù)學(xué)觀念或數(shù)學(xué)意識(shí)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)建立解決日常生活、實(shí)際

4、情境和非數(shù)學(xué)學(xué)科中間題的數(shù)學(xué)模型(即問題數(shù)學(xué)化)，具備使用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)加工和處理數(shù)學(xué)信息的能力，學(xué)會(huì)設(shè)問、提問、探索、合作、交流等科學(xué)的研究方法。Iq二 影響中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的主要因素(一)動(dòng)機(jī)、態(tài)度：建模的動(dòng)力 動(dòng)機(jī)是喚醒和推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的原動(dòng)力。數(shù)學(xué)建模的問題不同于一般的數(shù)學(xué)問題，它是現(xiàn)實(shí)的、情境的、開放性的問題。在數(shù)學(xué)建模過程中，從提出問題到提出假設(shè)、分析問題、建立模型、解模型以及解釋結(jié)果，每一個(gè)環(huán)節(jié)都不是一帆風(fēng)順的，必然會(huì)遇到挫折和失敗。學(xué)生如果沒有良好的動(dòng)機(jī)和態(tài)度，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)建模太難而自己做不好的想法，就沒有信心去解決實(shí)際問題。反之，如果學(xué)生在挫折和失敗面前表現(xiàn)出很強(qiáng)的自

5、信心和毅力，沉著冷靜、理性思考、積極合作討論、反復(fù)查閱資料，最后總能將問題解決。因此，積極的動(dòng)機(jī)和態(tài)度，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)建模具有明顯的推動(dòng)作用。要使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建摸具有積極的動(dòng)機(jī)和態(tài)度，就要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣和好奇心。興趣可以激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛力，使學(xué)生保持持久的克服困難的信心。(二)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：建模的前提 數(shù)學(xué)建模作為一種認(rèn)知活動(dòng)或思維活動(dòng)，與知識(shí)存在著密切的關(guān)系：一方面，知識(shí)影響數(shù)學(xué)建模；另一方面，數(shù)學(xué)建模是獲取知識(shí)的重要途徑。但后者往往被忽視。凹 豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。離開了基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)建模就會(huì)成為一句空話。數(shù)學(xué)建模的問題是實(shí)際問題，而實(shí)際問題涉及的知識(shí)面較廣，因而數(shù)學(xué)建模需要跨

6、學(xué)科的知識(shí)。已儲(chǔ)存的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)可以幫助人們選擇有關(guān)的信息，引導(dǎo)人們提取相關(guān)的知識(shí)和方法，形成解決問題的策略。研究表明：個(gè)體的創(chuàng)造力與其具有的相關(guān)知識(shí)的數(shù)量、性質(zhì)及組織結(jié)構(gòu)存在極大的正相關(guān)。巾 但是，強(qiáng)調(diào)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的重要性并不意味著有了知識(shí)經(jīng)驗(yàn)就一定有數(shù)學(xué)建模能力。知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)建模的必要條件而非充分條件。知識(shí)經(jīng)驗(yàn)一方面是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)，另一方面又可能束縛我們的建模思路，因?yàn)槿藗兛傁矚g用自己熟悉的方法去處理新問題，而較少考慮新問題與過去經(jīng)驗(yàn)的不同之處。研究表明：數(shù)學(xué)建模能力強(qiáng)的學(xué)生并不全是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)成績最好的學(xué)生。 具有一定數(shù)量的正確知識(shí)是形成良好表征的前提，良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)則是良好表征形成

7、的保證。已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)也是影響數(shù)學(xué)建模能力的一個(gè)重要因素。良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有助于數(shù)學(xué)建模。反過來，數(shù)學(xué)建模也可以培養(yǎng)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。僅僅有知識(shí)是不夠的。我們常常遇到這樣一種情況：學(xué)生雖然具備了數(shù)學(xué)建模所需要的所有知識(shí)，但仍然是苦苦思索而不能建立數(shù)學(xué)模型，一經(jīng)指點(diǎn)便豁然開朗。其主要原因之一就是：學(xué)生頭腦中的知識(shí)組織結(jié)構(gòu)性差，運(yùn)用時(shí)不能恰當(dāng)表征。問題表征是對(duì)問題的理解過程，導(dǎo)致問題表征錯(cuò)誤或不完整的因素是題意不完全理解、理解錯(cuò)誤、解題思路被已有的知識(shí)干擾、沒有良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)等。 舉一個(gè)例子：兩個(gè)火車站相距160km。某個(gè)星期六下午2：00，有兩列火車分別從兩個(gè)火車站出發(fā)相向而行。當(dāng)火車駛出

8、車站時(shí)，有一只鳥從第一列火車出發(fā)飛向第二列火車，到達(dá)第二列火車后，5Zq回第一列，如此反復(fù)，直到兩車相遇。如果兩列火車的速度都為40kmh，小鳥的飛行速度為50kmh，那么，在兩車相遇之時(shí)，小鳥飛行了多少km? 如果把這個(gè)問題表征為一個(gè)距離問題，即依次求出小鳥在兩列火車之間來回飛行的距離，再求出這些距離的總和，就顯得麻煩。但是，如果把這個(gè)問題表征為時(shí)間問題，即不理會(huì)每次小鳥來回飛行的距離，只關(guān)注小鳥在空中飛行了多長時(shí)間，那么，由小鳥的飛行速度就很容易確定小鳥的飛行距離，即50x160(40+40)=lOOkm。q 雖然涉及行程問題的知識(shí)學(xué)生都已學(xué)過，但由于這個(gè)問題需要將行程問題轉(zhuǎn)化為時(shí)間問題，

9、學(xué)生如果不能將這些知識(shí)的結(jié)構(gòu)組織好，缺乏良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就不能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用表征。(三)認(rèn)知過程：建模的關(guān)鍵 數(shù)學(xué)建模的能力來自于基本的認(rèn)知過程，每個(gè)人都具有數(shù)學(xué)建模的潛能。日常生活中，人們在使用語言和形式概念的過程中就表現(xiàn)出一定的建模能力。例如：人們每天到農(nóng)貿(mào)市場或超市購買各種各樣的物品，物品的種類、數(shù)量和價(jià)格都不一樣，但最終每個(gè)人都能買到自己所需要的物品。 數(shù)學(xué)建模能力具體體現(xiàn)在問題解決的載體上。海斯(Hayes)在1989年提出問題解決是“辨明問題、表征問題、計(jì)劃解答過程、執(zhí)行計(jì)劃、評(píng)價(jià)計(jì)劃、評(píng)價(jià)解題過程”的系列過程。對(duì)問題做怎樣的表征，這種表征是否得當(dāng)，對(duì)問題解決有很大的直接影響作用。51

10、7042不同的認(rèn)知過程有不同的表征形式，也導(dǎo)致不同的效果，一個(gè)人的建模能力就體現(xiàn)在問題表征上。 舉一個(gè)人、狗、雞、米渡河問題的例子：人帶著狗、雞、米過河。船除了需要人劃之外，至多能載狗、雞、米三者之一。當(dāng)人不在場時(shí)，狗要吃雞，雞要吃米。試設(shè)計(jì)一個(gè)安全過河的方案，并使渡河次數(shù)盡量少。 由于每個(gè)人的知識(shí)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同，其認(rèn)知過程和選擇的認(rèn)知策略也就不同。這個(gè)問題可以用四維向量表征，利用向量的轉(zhuǎn)移來得到結(jié)果；也可以用立方體圖表征，觀察立方體頂點(diǎn)到頂點(diǎn)哪些路徑是合理的；還可以用集合的狀態(tài)轉(zhuǎn)移來表征；最簡單的、不需要很深的數(shù)學(xué)知識(shí)的方法就是直接邏輯推理方法，利用該方法，小學(xué)生也可以推出結(jié)果。(四)元認(rèn)知

11、：建模的監(jiān)控元認(rèn)知是認(rèn)知主體對(duì)自身心理狀態(tài)、能力、任務(wù)目標(biāo)、認(rèn)知策略等的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)自身各種認(rèn)知活動(dòng)的計(jì)劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)。數(shù)學(xué)建模過程是一種認(rèn)知過程，元認(rèn)知是它的基礎(chǔ)并對(duì)它起影響作用。 海斯(Hayes)在1989年提出了問題解決的系列過程，這個(gè)過程本身就包含了元認(rèn)知活動(dòng)。15171在數(shù)學(xué)建模過程中，元認(rèn)知過程與認(rèn)知過程并存。元認(rèn)知在確定目標(biāo)、選擇認(rèn)知策略、監(jiān)控和評(píng)價(jià)過程以及對(duì)認(rèn)知策略進(jìn)行必要的修正等方面發(fā)揮著“監(jiān)督”作用，對(duì)問題解決的質(zhì)量起著決定性的影響。 在數(shù)學(xué)建模過程中，分析模型、選擇模型和建立模型并不是一蹴而就的，實(shí)際問題的模型與理論模型之間總存在一定的差距。要縮短這種差距，使理論模型能

12、夠完全反映實(shí)際問題，就需要通過元認(rèn)知不斷地修正理論模型，使之不斷地接近實(shí)際問題的結(jié)果。 再舉一例：小明的家離學(xué)校1000米，小華的家離學(xué)校800米。請問：小明的家距小華的家有多遠(yuǎn)? 對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生一般會(huì)回答200米或1800米。問題就這么簡單嗎?如果利用元認(rèn)知再仔細(xì)審題，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行反思和監(jiān)控，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)：200米或1800米是小明、小華的家與學(xué)校的地理位置處在一條直線上的結(jié)果。如果小明、小華的家與學(xué)校的位置不在一條直線上，兩家的距離又是多少?這時(shí)就可以把小明、小華的家與學(xué)校看成是二維的平面關(guān)系，用余弦定理可得小明與小華家的距離。 類似地，我們還可以思考：這個(gè)問題可不可以推廣到三維空間上?

13、結(jié)果又如何呢?三 培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略(一)拓展“最近發(fā)展區(qū)” 高中生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和態(tài)度對(duì)于學(xué)習(xí)效果有顯著的影響。動(dòng)機(jī)是影響學(xué)習(xí)策略的重要因素，學(xué)習(xí)策略的選擇又直接影響到學(xué)習(xí)效果。 研究表明：知識(shí)處于“最近發(fā)展區(qū)”時(shí)，最能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。太難的問題會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，太簡單的問題會(huì)使學(xué)生失去興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師若能挖掘出具有典型意義且能激發(fā)學(xué)生興趣和好奇心的問題，并通過創(chuàng)設(shè)問題情景充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，就能激發(fā)學(xué)生的求知欲。幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的成敗，使之建立起積極的期望和自信心，也可以端正學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和態(tài)度。數(shù)學(xué)建模不像解常規(guī)的數(shù)學(xué)題，它是開放性的，具有一定

14、的難度。如果學(xué)生一遇到困難就放棄，不敢挑戰(zhàn)，沒有克服困難的自信心和毅力，就很難提高數(shù)學(xué)建模能力。 由于學(xué)生之間的差異較大，要調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、好奇心和積極性，教師就應(yīng)根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、性格等來設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模的問題和教學(xué)活動(dòng)的形式，及時(shí)了解學(xué)生反饋的情況，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣，使之主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，最終讓不同水平的學(xué)生都獲得成功的體驗(yàn)。(二)強(qiáng)化“問題意識(shí)” 解決任何問題都需要具備相應(yīng)領(lǐng)域的知識(shí)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)建模來說是必不可少的。數(shù)學(xué)建模需要綜合性的、跨學(xué)科的知識(shí)。要使學(xué)生能有效地利用已獲得的知識(shí)來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，創(chuàng)設(shè)民主和諧的氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提

15、出問題，敢于質(zhì)疑、猜想、發(fā)表自己的獨(dú)立見解；幫助學(xué)生理清、掌握知識(shí)以及知識(shí)間的縱橫聯(lián)系、層次結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)概括和組織知識(shí)，使新舊知識(shí)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化；關(guān)注具體實(shí)際問題與抽象模式之間的靈活轉(zhuǎn)換，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模的有效思維策略，形成一種在復(fù)雜的聯(lián)系中思考問題的良好習(xí)慣。 數(shù)學(xué)建模的過程是一個(gè)綜合運(yùn)用知識(shí)的過程，它不是簡單的外部知識(shí)與內(nèi)部知識(shí)的疊加過程，而是一個(gè)通過反復(fù)交流、相互作用而使知識(shí)重新組合的過程。數(shù)學(xué)建模的過程同時(shí)也是一個(gè)互動(dòng)合作的過程，它真正體現(xiàn)了“做中學(xué)”。在這樣的活動(dòng)中，學(xué)生不再是被動(dòng)接受知識(shí)的載體，而是整個(gè)活動(dòng)的主要參與者、活動(dòng)的主體。數(shù)學(xué)建模的問題是沒有現(xiàn)成答案、沒有固定求解模式

16、的實(shí)際問題，它給學(xué)生提供了充分發(fā)揮自己創(chuàng)造力的空間，使學(xué)生在對(duì)問題進(jìn)行抽象建模、求解驗(yàn)證的過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的全過程，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)思維、擴(kuò)大知識(shí)面。(三)建構(gòu)“思維模式” 我們既要把數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深層次的基礎(chǔ)知識(shí)，又要理解為數(shù)學(xué)建模的思維策略。在數(shù)學(xué)建模的過程中，策略性知識(shí)與事實(shí)性知識(shí)結(jié)合得非常緊密，相互滲透、相互融合，數(shù)學(xué)化能力要在高層次的策略性知識(shí)與低層次的描述性知識(shí)以及程序性知識(shí)之間不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)建模教學(xué)的載體是數(shù)學(xué)知識(shí)，但數(shù)學(xué)建模的教學(xué)更應(yīng)該注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用以及策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)。認(rèn)知心理學(xué)的研究已經(jīng)表明：一個(gè)人不能“數(shù)學(xué)地”思考和解決問題的

17、主要原因是缺乏必要的數(shù)學(xué)知識(shí)。I晌數(shù)學(xué)知識(shí)既包括描述性知識(shí)、程序性知識(shí)，也包括過程性知識(shí)。p， 學(xué)生在將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化時(shí)，需要從多角度思考問題，需要具有開闊的視野和靈活的思維，這就涉及到策略性知識(shí)。專家與新手在策略性知識(shí)的選用上有著明顯的差別。訓(xùn)練學(xué)生策略性知識(shí)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)化能力的基礎(chǔ)。 學(xué)生數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知策略主要有：1)形象表征和整體把握實(shí)際問題。通過閱讀范例以及分析、思考和研究范例，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的感知意識(shí)；借助數(shù)據(jù)、圖形、表格的表征，使學(xué)生學(xué)會(huì)從局部到整體地把握實(shí)際問題。2)多向思維相結(jié)合。數(shù)學(xué)建模的問題都有假設(shè)條件及要達(dá)到的目標(biāo)。建模就是要將條件與目標(biāo)聯(lián)系起來，這種聯(lián)系是多向的，要

18、完成它，不僅需要順向思維，也需要逆向思維，更需要多向思維的結(jié)合。3)克服思維定勢的消極影響，實(shí)現(xiàn)多角度思維相結(jié)合。在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)“山窮水盡疑無路”的情況，這時(shí)，改變思維的角度和換一種思考方式就會(huì)“柳暗花明又一村”。4)利用信息技術(shù)豐富思維。通過上網(wǎng)查閱資料、閱讀參考文獻(xiàn)以及計(jì)算器、計(jì)算機(jī)模擬仿真等打開數(shù)學(xué)建模的思路。5)合作討論。小組合作交流討論，各抒己見，激發(fā)思維，提出不同的觀點(diǎn)。6)總結(jié)建模思路。數(shù)學(xué)建模需要不斷的總結(jié)和反思。唯其如此，學(xué)生的建模能力才能得到提高。(四)調(diào)用“監(jiān)控系統(tǒng)” AH舍費(fèi)爾得(AHSchhoenfeld) 明確指出了“調(diào)節(jié)”在解題中的作用。他認(rèn)為：調(diào)節(jié)能使解題者減少盲目性，促使解題者對(duì)