自動控制原理第三章時域分析

1、第三章第三章 時域分析時域分析缺點：人工求解困難，不利于分析系統(tǒng)結構和參數變化對系統(tǒng)響應的影響。用計算機求解（matlab軟件包）就很簡單。時域分析：指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能。優(yōu)點：直觀、準確，它可以給出系統(tǒng)精確的時間響應曲線和性能指標，具有明確物理意義（時間、空間）。3.2 3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應3.1 3.1 時域分析中的典型信號時域分析中的典型信號3.3 3.3 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應3.4 3.4 穩(wěn)定性與勞斯判據穩(wěn)定性與勞斯判據3.5 3.5 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程輸入

2、信號r(t)輸出信號c(t) 控制系統(tǒng)的輸入信號（如擾動）常常具有隨機性而無法預先確定，為了分析和設計控制系統(tǒng)，必須對各種控制系統(tǒng)性能進行評判，需要選擇若干典型輸入信號。通過對這些系統(tǒng)施加各種典型（試驗、測試）信號典型（試驗、測試）信號，比較它們的響應，能否滿足工程實際要求。時域分析中的典型信號時域分析中的典型信號 控制量是隨時間變化的函數，像雷達天線、火炮、溫控裝置等，則選擇斜坡函數；控制系統(tǒng)為沖擊輸入量，像導彈發(fā)射、衛(wèi)星發(fā)射等，則選擇脈沖函數；如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間變化的往返運動量，如機器振動，則以選擇正（余）弦函數；如果控制系統(tǒng)的輸入量是突然變化的量，像突然合電、斷電等，則選擇階躍

3、信號。瞬態(tài)響應：系統(tǒng)在某一典型信號輸入作用下，其系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的變化過程。瞬態(tài)響應也稱動態(tài)響應或過渡過程或暫態(tài)響應。穩(wěn)態(tài)響應：系統(tǒng)在某一典型信號輸入的作用下，當時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)響應有時也稱為靜態(tài)響應。分析瞬態(tài)響應，選擇典型輸入信號，有如下優(yōu)點典型信號選取條件 (1) 信號（實驗室、現(xiàn)場）容易產生(2) 盡可能接近實際工作時的外加信號(3) 反映系統(tǒng)最不利的工作(環(huán)境)條件工程上典型測試信號（輸入函數）時域函數：時域函數：r(t) 單位脈沖 (t) 復域：復域：F F（s s） 1圖形圖形 r(t)o0ttS1)( 1 t1ot單位階躍t21Sot單位速度221t

4、31Sot單位加速度tsin22sot單位正弦3.2 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應 分析系統(tǒng)特性究竟采用何種典型輸入信號，取決于實際系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。 當系統(tǒng)的輸入具有突變性質時，可選擇階躍函數為典型輸入信號；當系統(tǒng)的輸入是隨時間增長變化時，可選擇斜坡函數為典型輸入信號。提示：上述幾種典型響應有如下關系：單位脈沖函數響應單位階躍函數響應單位斜坡函數響應單位拋物線函數響應積分積分積分微分微分微分1) 1) 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 控制系統(tǒng)的時間響應，可以分為動態(tài)（瞬態(tài)）過程動態(tài)（瞬態(tài)）過程和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程。線性系統(tǒng)的時域性能指標線性系統(tǒng)的時域性能指標動態(tài)過程動態(tài)過程

5、：系統(tǒng)在典型信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應過 程。實際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，在達到穩(wěn)態(tài)以前，表現(xiàn)為衰減(等幅 振蕩、發(fā)散屬于不穩(wěn)定)過程。穩(wěn)態(tài)過程：穩(wěn)態(tài)過程：系統(tǒng)在典型信號作用下，時間t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。研 究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，以確定輸出信號對輸入信號跟蹤的能力。提供 穩(wěn)態(tài)誤差信息，用穩(wěn)態(tài)性能（穩(wěn)態(tài)誤差）描述。0ty瞬態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程1) 1) 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程2) 2) 動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，只有動態(tài)過程收斂，研究動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能才有意義。n穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標，是系統(tǒng)控

6、制精度或抗干擾能力的一種度量。 通常在典型輸入信號（階躍函數、速度函數、加速度函數）作用下進行計算。時間趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。)(lim teetssR(S)C(S)(SG)(SE)(SHB(S)n動態(tài)性能動態(tài)性能 通常在階躍函數作用下，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般認為階躍函數輸入能夠反映系統(tǒng)最嚴峻的工作狀態(tài)。動態(tài)性能指標（振蕩型）動態(tài)性能指標（振蕩型）0tMp超調量允許誤差10.90.50.1trtpts單位階躍響應曲線tdh(t)0.02或0.05)(h)(h)(h)(h延遲時間延遲時間 ： 響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間。上升時間上升時間 ： 響

7、應曲線從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升到90%，所需的時間。dtdt:rt 峰值時間峰值時間 : :響應曲線達到超調量的第一個峰值所需要的時間。響應曲線達到超調量的第一個峰值所需要的時間。 pt3.1 時域分析中的典型信號1. 1. 脈沖信號脈沖信號hththttr0,10, 0)(1)(0,0, 0)(dttrtttr1)(sR2.2.階躍信號階躍信號000t)t (aut)t ( rssR1)(21)(ssR000)(tatttr3.3.斜坡（速度）信號斜坡（速度）信號4. 4. 加速度信號加速度信號00210)(2ttattr31)(ssR5. 5. 諧波信號諧波信號12)2)(1(25 . 1)

8、()2)(1(24)()()2)(1(25 . 1)()()()2)(1(24)()()(1211112211SSSSLtcSSSSLsCLtcSSSsRsCsGSSSsRsCsG)(SG)(SR)(SCj 0-1-2-11-0.5-1.33極點和零點分布圖tteetc21321)(tteetc225 . 05 . 01)(tc(t)01.0)()()(limsNsMpsckpskk傳遞函數的零點影響到各模態(tài)在運動中所占的傳遞函數的零點影響到各模態(tài)在運動中所占的“比重比重”從工程的角度看，決不能認為系統(tǒng)的動態(tài)性質唯一從工程的角度看，決不能認為系統(tǒng)的動態(tài)性質唯一地或者主要地由傳遞函數的極點決定，

9、必須注意到地或者主要地由傳遞函數的極點決定，必須注意到零點的作用。零點的作用。14njjmiinmpszsKpspspsazszsb11*21010)()()()()()( 傳遞函數傳遞函數G(s)的的零點零點 和和極點極點izip)()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 表示零點用表示極點用 2.2.2 傳遞函數傳遞函數G(s)的零點和極點對輸出的影響的零點和極點對輸出的影響運動模態(tài)）決定系統(tǒng)響應的類型（它們是）傳遞函數的極點特征方程的根等于（就式特征方程,0)(1110jnnnnPasasasasN 狀它們決定系統(tǒng)響應的形傳遞函數

10、的零點,jZ2.2.3 2.2.3 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數 1 1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特特 點：點：輸出量按一定比例復現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。輸出量按一定比例復現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。運動方程運動方程: : c(t)=Kr(t) K放大系數，通常都是有量綱的。放大系數，通常都是有量綱的。傳遞函數：傳遞函數：KR(s)C(s)G(s) 比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數。為放大系數。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。例例1： 輸入：(t)角度 E恒定電壓

11、輸出：u(t)電壓運動方程運動方程： u(t)=K(t) 傳遞函數傳遞函數： K比例系數，量綱為伏/弧度。K(s)U(s)G(s) 例例 2：輸入：輸入：n1(t)轉速轉速 Z1主動輪的齒數主動輪的齒數 輸出：輸出：n2(t)轉速轉速 Z2從動輪的齒數從動輪的齒數運動方程運動方程：傳遞函數傳遞函數：(t)nzz(t)n1212Kzz(s)N(s)NG(s)2112其它一些比例環(huán)節(jié)2 2、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 特特 點：點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。 運動方程：運動方程：傳遞函數：傳遞函數： dtdr(t)KC(t) KSR(s)C(s)G(

12、s)微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數和一對共軛微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數和一對共軛零點（若零點（若 ）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。10例例1 1 RC電路電路 設：輸入ur(t) 輸出uc(t) 消去i(t)，得到：運動方程：運動方程： 傳遞函數：傳遞函數： （Tc=RC） 當Tc1時，又可表示成：i(t)Ri(t)dtc1(t)ur(t)u(t)dtuRC1(t)uccr1sTsT(s)U(s)UG(s)ccrcsT(s)U(

13、s)UG(s)crcRtutic)()(特特 點：點：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運動方程：運動方程：傳遞函數：傳遞函數：)Kr(tdtdc(t)sKG(s)0S平面j0)( 1)(ttxkty )(tytRe 有一個0值極點。在圖中極點用“ ”表示，零點用“ ”表示。K表示比例系數，T稱為時間常數。 例例1 1：積分電路輸入為r(t)，輸出為c(t) 運動方程：運動方程： 傳遞函數：傳遞函數： （T=R1C） r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)11cRr(t)(t)i(t)i 4 4、慣性環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)( (又叫惰性環(huán)節(jié)又叫惰

14、性環(huán)節(jié)) ) 特點特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸 入來說，輸出不能立即復現(xiàn)，存在時間上的延遲。運動方程：運動方程：傳遞函數：傳遞函數： Kr(t)c(t)dtdc(t)T1Ts1G(s)iCRuiuoRC充電電路時間常數TRC，當T小時，充電快輸入為單位階躍函數時,時域響應曲線和零極點分布圖如下：通過原點的 斜率為1/T，且只有一個極點（-1/T）。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面T1求單位階躍輸入的輸出響應：,1)(,11)()(ssXTssXsY)11() 1()(1TsskTssksY)1 ()()(1TteksYLtyiiQQhh000Q

15、Q例：例： 單容水槽（水位控制系統(tǒng)的被控對象）單容水槽（水位控制系統(tǒng)的被控對象）水位高度調節(jié)閥開度水流出量水流入量huQQi0力，即液阻為流出端負載閥門的阻或流出量與液面高度：流入量與流出量之差：開度與流量流量系數液阻槽截面積槽水量RRhQAQQuKQKRAVdthddtdViuiu00:1)()()(,TSKSUSHSGRKKRATuKhTudthd水槽的傳遞函數：式中：整理后得： 5 5、振蕩環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié) 特點：特點：包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩個 儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質。運動方程：運動方程：傳遞函數：傳遞函數： 式中：阻尼比， T振蕩環(huán)節(jié)的時間常

16、數。Kr(t)c(t)dtdc(t)T2dtc(t)dT222)(sR)(sC12122TssTV)(sR)(sC12122TssTV上述傳遞函數有兩種情況：上述傳遞函數有兩種情況：當 時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：)1(,) 1)(1()(22, 121TTsTsTksG)1(122, 1Tp1傳遞函數有兩個實數極點：若 ，傳遞函數有一對共軛復數。還可以寫成：2222)(nnnsssG10設輸入為：ssX1)()2()()()(222nnnssssXsGsY則 0),11sin(11)(2122ttgtetynty(t)t101mIeR0n21nj21nj單位階躍響應曲線極點分布圖分析分析

17、：y(t)的上升過程是振幅按指數曲線衰減的的正弦的上升過程是振幅按指數曲線衰減的的正弦運動。與運動。與 有關。有關。 反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數，反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數， 稱為無阻尼振蕩圓頻率。當稱為無阻尼振蕩圓頻率。當 時，曲線單調升，無時，曲線單調升，無振蕩。當振蕩。當 時，曲線衰減振蕩。時，曲線衰減振蕩。 越小，振蕩越越小，振蕩越厲害。厲害。n110例例1：RLC電路電路i(t)dtC1c(t)i(t)dtC1ri(t)dtdi(t)Lr(t)解：解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數：傳遞函數：r(t)c(t)dtdc(t)RCdtc(t)dLC221RCsLC

18、s1G(s)2例例2 2：機械裝置：機械裝置 輸入-力 ： f(t)， 輸出-位移： x(t) 。微分方程式中：K彈簧彈性系數； M物體的質量， B粘性摩擦系數。 傳遞函數：傳遞函數： )()()()(22tKxdttdxBdttxdMtf1sKBsKMK1F(s)X(s)G(s)2 6、一階微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié) 特特 點：點：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身 有關，而且與輸入量的變化率有關運動方程運動方程：傳遞函數：傳遞函數： G( s ) = Ts + 1r(t)dtdr(t)Tc(t)RC電路電路ii1i2CR1R2uiuo) 1() 1(11)()(000100001TsKsCRRRs

19、CRsCRRsUsUio 一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數。的并聯(lián)，其傳遞函數和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數。7 7、二階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié) 特點：特點：輸出與輸入及輸入一階、二階導數都有關運動方程：運動方程： 傳遞函數：傳遞函數： 可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數是振蕩環(huán)節(jié)的倒數。 r(t)dtdr(t)T2dtr(t)dTc(t)2221Ts2sTR(s)C(s)G(s)22 特點：c(t)完全復現(xiàn)r(t)，但滯后一個固定時間8、延遲環(huán)節(jié)（時滯、滯后）、延遲環(huán)節(jié)（時滯、滯后） se)(sR)

20、(sC)()(trtcsesG)(0t1r(t)0t1c(t)在實際中，大量系統(tǒng)都存在滯后，當滯后不嚴重時，常忽在實際中，大量系統(tǒng)都存在滯后，當滯后不嚴重時，常忽略。略。延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數，所以有延遲的系統(tǒng)延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：sseess11.111或ses12/12/12/2/sseeesssiiQQhh000QQ有純延遲的單容水槽有純延遲的單容水槽seTSKSUSHSGtuKhdthdT1)()()(傳遞函數：）（微分方程：9、其他環(huán)節(jié)：、其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如還有

21、一些環(huán)節(jié)如 等，它們的極點在等，它們的極點在s s平面平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。穩(wěn)定環(huán)節(jié)。121,1122sTsTTs 右圖所示為電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)(v)為輸入量，電動機轉速m(t)(rad/s)為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra()、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(NM)是折合到電動機軸上的總負載轉距。激磁磁通為常值。實例：電樞控制直流伺服電動機實例：電樞控制直流伺服電動機 電電樞樞控控制制直直流流電電動動機機原原理理圖圖SM負負載載-LaR aEaW

22、 mJm , fmU ai fi a解：解： 電樞控制直流電動機的工作實質是將輸入的電樞控制直流電動機的工作實質是將輸入的 電能轉換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產生電磁轉距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。 電樞回路電壓平衡方程 電磁轉距方程 電動機軸上的轉距平衡方程 aaaaaaEtiRdttdiLtU)()()(Ea 是電樞反電勢，它是當電樞旋轉時產生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Cem(t) Ce反電勢系數(v/rad/s)電樞回路電壓平衡方程：電樞回路電壓平衡方程：)()(tiCtMammmC)(tMm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm-電動機轉距系數 （Nm/A）是電動機轉距系數-是由電樞電流產生的電磁轉距（Nm）電動機軸上的轉距平衡方程： fm-電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數（Nm/rad/s）Jm轉動慣量（電動機和負載折合到電動機軸上 的） kgm電磁轉距方程： )()()()()()()()(2tMRdttdMLtUCtCCfRdtt