二次函數(shù)中的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線問題

1、二次函數(shù)中的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線問題【例題講解】（2011年·黃岡市）如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0，1）的直線y=kxb與拋物線交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點(diǎn)（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分別過(guò)M、N作直線l：y=1的垂線，垂足分別是M1、N1，判斷M1FN1的形狀，并證明你的結(jié)論對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切如果有，請(qǐng)法度出這條直線m的解析式；如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由解：b=1顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得x1·x2=4.M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由題知M1的橫坐標(biāo)為x1，

2、N1的橫坐標(biāo)為x2，設(shè)M1N1交y軸于F1，則F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90°，易證RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90°，所以M1FN1是直角三角形存在，該直線為y=1理由如下：直線y=1即為直線M1N1如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為,計(jì)算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位線PQ，由中位線性質(zhì)知PQ=（MM1NN1）=MN，即圓心到直線y=

3、1的距離等于圓的半徑，所以y=1總與該圓相切通過(guò)此題，可以得到如下一些性質(zhì)：性質(zhì)1：x1x2=-4; x1+x2=4k; y1y2=1; y1+y2=4k2+2性質(zhì)2：M1FFN1性質(zhì)3：NF=NN1，MF=MM1，MN=MM1+NN1.性質(zhì)4：MQ，NQ分別為M1MN，N1NM的平分線.性質(zhì)5：FQMN.性質(zhì)6：在直角梯形MM1N1N中，以M1N1為直徑的圓與MN相切，切點(diǎn)為F.性質(zhì)7：性質(zhì)8：MQM1F,NQN1F,且MQ與M1F和NQ與N1F的交點(diǎn)在x軸上.性質(zhì)9：點(diǎn)M，O，N1共線；N，O，M1共線.【練習(xí)鞏固】1.(2014年湖北咸寧) 如圖1，P（m，n）是拋物線上任意一點(diǎn)， l是

4、過(guò)點(diǎn)（0，）且與x軸平行的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線PHl，垂足為H【探究】（1）填空：當(dāng)m0時(shí)，OP ，PH ；當(dāng)m4時(shí)，OP ，PH ；【證明】（2）對(duì)任意m，n，猜想OP 與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想【應(yīng)用】（3）如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線上滑動(dòng)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值OxyHP（m，n）l2(第23題圖1)OxyBAl2(第23題圖2)2. （2013南寧）如圖，拋物線y=ax2+c（a0）經(jīng)過(guò)C（2，0），D（0，1）兩點(diǎn)，并與直線y=kx交于A、B兩點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)E（0，2）且平行于x軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N（1）求此拋物

5、線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：當(dāng)k=0時(shí)，直線y=kx與x軸重合，求出此時(shí)的值；試說(shuō)明無(wú)論k取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)3.（2015·四川資陽(yáng)）已知直線y=kx+b（k0）過(guò)點(diǎn)F（0，1），與拋物線y=x2相交于B、C兩點(diǎn).（1）如圖13-1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時(shí)，求直線BC的解析式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)D，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖13-2，設(shè)(m<0)，過(guò)點(diǎn)的直線lx軸，BRl于R，CSl于S，

6、連接FR、FS試判斷RFS的形狀，并說(shuō)明理由4.（2015年福建泉州）拋物線y=x2上任意一點(diǎn)到點(diǎn)（0，1）的距離與到直線y=1的距離相等，你可以利用這一性質(zhì)解決問題問題解決如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與y軸交于C點(diǎn)，與函數(shù)y=x2的圖象交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作直線y=1的垂線，交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并說(shuō)明ECF=90°；（2）在PEF中，M為EF中點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；已知PE=PF=3，以EF為一條對(duì)角線作平行四邊形CEDF，若1PD2，試求CP的取值范圍5.拋物線y=x2+x+m的頂點(diǎn)在直線y=x+3上，過(guò)點(diǎn)F（-2,2）的直線交該拋物線于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），MAx軸于點(diǎn)A，NBx軸于點(diǎn)B.（1）先通過(guò)配方