十字相乘法(多項(xiàng)式因式分解--教案)

1、十字相乘法 教案教學(xué)目標(biāo)：1.知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生掌握通過代換方法，進(jìn)行可以轉(zhuǎn)化為x2(ab)xab型的多項(xiàng)式因式分解，領(lǐng)會(huì)整體代換、字母表示式和化歸等數(shù)學(xué)方法。理解運(yùn)用十字相乘法分解因式的關(guān)鍵。2.能力目標(biāo)：通過問題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力；訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性、層次性，逐步提高學(xué)生運(yùn)用變量代換思想和化歸思想解決問題的能力。3.情感目標(biāo)：通過問題解決，培養(yǎng)合作意識(shí)，激發(fā)成功體驗(yàn)，鼓勵(lì)創(chuàng)新思維。教學(xué)設(shè)計(jì)思想：本課是簡(jiǎn)單介紹十字相乘法后的第二節(jié)課，結(jié)合學(xué)生基礎(chǔ)較好的特點(diǎn)，我改變教參中的處理方式，嘗試以二期課改的理念為指導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)行探索性地學(xué)習(xí)，更好地實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí)。在設(shè)計(jì)

2、上，希望使學(xué)生體會(huì)字母表示式的想法和數(shù)學(xué)題的演變，學(xué)會(huì)透過現(xiàn)象看本質(zhì)，靈活運(yùn)用十字相乘法分解因式，進(jìn)一步理解運(yùn)用十字相乘法分解因式的關(guān)鍵。感悟，從整體上觀察、思考和處理問題是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是解決數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)常用技能和技巧?；瘹w思想是數(shù)學(xué)中解決問題的主要思想方法。教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)引入1回憶課本上十字相乘法分解因式的一般步驟例：把多項(xiàng)式x23x + 2分解因式。 x x 解：x23x + 2 (x) (x)像這種借助于畫十字交叉線分解因式的方法叫做十字相乘法。提問：是不是所有的二次三項(xiàng)式都能用十字相乘法分解因式？答：不是，（反例：x2 +x2）。提問：形如x2pxq的二次三

3、項(xiàng)式滿足什么條件時(shí)可以用十字相乘法分解因式？請(qǐng)同學(xué)總結(jié)：（板書）x2pxq當(dāng)qab，p ab時(shí)， x2pxq = (xa) (xb) （*）再提問：在將首項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，你認(rèn)為要注意什么？答：試分解后要及時(shí)檢驗(yàn)，縱向相乘得首項(xiàng)，末項(xiàng)；交叉相乘得中間項(xiàng)。應(yīng)該注意的是一次項(xiàng)的系數(shù)和末項(xiàng)的系數(shù)都是包含了符號(hào)的。如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。（根據(jù)情況，可選擇數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述）2計(jì)算：（口答） ； (x1) 2 (x1) (x1)

4、(x1) 2； 體會(huì)公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示代數(shù)式。二、 引導(dǎo)問題設(shè)計(jì)，把可以轉(zhuǎn)化為x2(ab)xab型的多項(xiàng)式分解因式，滲透分類討論、整體代換和化歸思想方法。1.復(fù)習(xí)中已經(jīng)知道，公式里的字母不僅可以表示數(shù)，也可以表示式，我們把這個(gè)想法用到十字相乘法的因式分解中去，想一想，怎樣分解下面的因式：例. y63y3+2； (a+b) 23(a+b)+2；中設(shè)“y3 ”為 “x”, 中設(shè)“(a+b)”為 “x”;這兩道題可化歸為例進(jìn)行分解。請(qǐng)同學(xué)體會(huì)，引入輔助元“x”，培養(yǎng)整體代換和化歸思想方法?？梢詭椭覀兝檬窒喑朔ǎ`活進(jìn)行較復(fù)雜多項(xiàng)式的分解因式）引導(dǎo)同學(xué)對(duì)問題中 (a+b) 2 3

5、 (a+b)+2；進(jìn)行變式設(shè)計(jì)（分解因式：(a+b -3) (a+b)+2；）理解：（*）式中“x”只能是單獨(dú)的字母嗎？答：?jiǎn)雾?xiàng)式，多項(xiàng)式，整式(單項(xiàng)，多項(xiàng)式的統(tǒng)稱)，代數(shù)式（如不是整式，雖不是因式分解，但仍可以進(jìn)行代數(shù)式的恒等變形）試一試，仿例題，將“x”可能的情況分類，然后設(shè)計(jì)題目，訓(xùn)練整體代換和化歸思想方法的運(yùn)用。*表?yè)P(yáng)有創(chuàng)意的設(shè)計(jì)，請(qǐng)同學(xué)解題，分析，進(jìn)一步理解運(yùn)用十字相乘法分解因式的注意點(diǎn)。2.提問：（*）式中“末項(xiàng)”只能是常數(shù)嗎？答：?jiǎn)雾?xiàng)式，多項(xiàng)式，例2把下列兩式分解因式。 x26xy8y2；(a+1) 2 3 (a+1)b + 2b2；分析：把x26xy8y2看成是x的二次三項(xiàng)式，

6、這里常數(shù)項(xiàng)是8y2，一次項(xiàng)系數(shù)是6y，把8y2分解成2y與4y的積，2y4y6y，正好等于一次項(xiàng)系數(shù)。解： x26xy8y2(x2y)(x4y)解：(a+1) 2 3 (a+1)b + 2b2；=(a-b+1) (a-2b+1)例3：把(x2-3x2) (x2-3x-4)72分解因式；解法1：設(shè)“(x2-3x2)”為 “y”,解法2：設(shè)“(x2-3x-4)”為 “y”,解法3：“(x2-3x)”為 “y”。略變式：(x-1 )(x+1) (x2) (x4)-72；(x2-5x4) (x2-x-2)723.課堂練習(xí)：練習(xí)題(題目分組，小組互批)(分析時(shí)，引導(dǎo)同學(xué)總結(jié)多項(xiàng)式分解因式的注意點(diǎn)，如有公

7、因式先提公因式，一般二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，化負(fù)為正；一定要分解到每個(gè)因式都不能再分解為止，等等）4.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一道形式如例1的因式分解題。進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，體會(huì)字母可以代替任意的數(shù)和式。(使學(xué)生掌握通過代換方法，把可以轉(zhuǎn)化為x2(ab)xab型的多項(xiàng)式分解因式。)（同學(xué)合作，交流）。5.課堂小結(jié)：（1.知識(shí)；2.數(shù)學(xué)思想方法；3.其他）略6.作業(yè)：（1.P 294：1;P 310:24，25。2. 5中的作業(yè))（7.問：“首項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式ax2bxc能利用十字相乘法進(jìn)行因式分解嗎？分析依據(jù)：因式分解是與整式乘法相反方向的恒等變形請(qǐng)同學(xué)們思考，探求形如ax2bxc的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的一般

8、步驟，并設(shè)計(jì)一組可以轉(zhuǎn)化為ax2bxc型的多項(xiàng)式的分解因式題目（給出解答），鞏固分類討論、整體代換和化歸思想方法。（回家作業(yè)）8因式分解有廣泛的應(yīng)用，請(qǐng)嘗試改變題型設(shè)計(jì)，1.求值題例：已知x22x=3，求代數(shù)式x26x的值；已知（x2y2 ）（x2y2 -1）-6=0，求代數(shù)式x2y2的值；已知3x2xy-2y2=0，求代數(shù)式x2- y2 +x-y2的值；2.其他引導(dǎo)同學(xué)問題設(shè)計(jì)。（回家作業(yè)） ）由整式乘法得到 (a2xc1)(a2xc2)a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2反過來就得到a1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)a分解成a1、a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1、c2，并且把a(bǔ)1、a2、c1、c2排成如下：這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1、c1位于圖的上一列，a2、c2位于下一列。必須注意，分解因數(shù)及十字相乘法都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解