運用建構主義理論指導一堂課的教學設計

1、 運用建構主義理論指導一堂課的教學設計 陶維林 （南京師大附中 郵編210003） 1教學實錄課題：數(shù)列的極限。目的：建立數(shù)列極限的概念。過程：教師：前一段時間，我們學習了什么叫數(shù)列、數(shù)列通項的求法、仔細研究了兩個特殊的數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列。今天我們研究數(shù)列的另一個側面：隨n不斷增大時，是否“趨向于”某一個常數(shù)（雖然“趨向于”并沒有確切定義，但是同學們能感覺是什么意思由“粗”到“細”。板書：研究數(shù)列隨n增大時是否趨向于某一個常數(shù)）。請觀察下列數(shù)列，隨n變大時，是否趨向于某一個常數(shù)：（1）； （2）； （3）；（4） ； （5） ； （6）.大部分學生在觀察、思索，有的在草稿紙上寫、劃，有的在

2、議論。（幾分鐘以后）教師：“第一個數(shù)列趨向于一個常數(shù)嗎？” 幾乎全體學生：“趨向于1?！保ò鍟海?）“第二個呢？” “趨向于2?！保ò鍟海?）教師（小結）：數(shù)列（1）中，趨向于1；數(shù)列（2）中，趨向于2?！暗谌齻€呢？”“不趨向于任何常數(shù)。”教師：為什么（提問一個學生）？學生：它一會兒是3，一會兒是3，不趨向于一個固定的常數(shù)。教師：噢，“朝三暮四”，不，是“暮負三”。教師：第四個呢？全體學生都認為數(shù)列，“它趨向于?！?（教師提問一個學生）“不趨向于一個常數(shù)，趨向于，請問你心目中的是什么？”“一個很大很大的數(shù)。”“是一億嗎？”“比一億大?！薄笆畠|行嗎？”“比十億大。” 。（學生感到不對勁）“是

3、一個要多大就多大的數(shù)?！苯處煟耗艽_定這個數(shù)嗎？學生思考片刻，回答“不能。”教師：“不是一個確定的數(shù)，是用來描述變量狀態(tài)的?！钡谖鍌€呢？這時學生中出現(xiàn)了很大的分歧。大部分學生認為不趨于5，認為它就是5，談不上“趨向于”“不趨向于”5。事實上，學生沒有把數(shù)列看成函數(shù)。教師未置對否。課后許多老師也覺得“始料未及”。“最后一個數(shù)列呢？”“趨向于零?！薄霸鯓于呄蛴诹恪！薄跋笞枘嵴駝右粯?，擺幅越來越小?！薄澳芸可狭銌幔俊薄安荒?。”“這個運動會停止嗎？”“不會?！苯處熜〗Y各數(shù)列是否“趨向于”一個常數(shù)的情況（暫時保留學生中的錯誤認識）。教師：你們認為隨著n的不斷變化，數(shù)列趨向于1。你們的“趨向于”我還不明白是

4、怎么回事，我請一個同學來解釋一下什么叫“趨向于1”（提問一個學生）?！熬褪菬o限接近1?！薄笆裁唇袩o限接近？”“就是n越來越大，與1的差越來越小?！睂W生又補充說“就是距離越來越小?！薄熬嚯x比0.1要小，行不行？”“行，只要n比10大就行。”我們用電腦來驗證一下（Maple軟件）。這時教室的屏幕上出現(xiàn)數(shù)列的圖象，并同時給出y=0.9，y=1.1的圖象，故意給出的n的取值范圍是1，4。圖象并不在（0.9，1.1）間。教師：數(shù)列中的各項并不在（0.9，1.1）上，并不靠近1呀。（片刻）“老師，你給出的n太小了。”把n的范圍設定為（10，20）時，數(shù)列的各項都在區(qū)間（0.9，1.1）上了。教師：看樣子，

5、當n在（10，20）上時，數(shù)列的各項是在（0.9，1.1）上了，會不會n到了（100，120）間，數(shù)列有一項跑出（0.9，1.1）呢？把n的取值范圍設定為（100，120），同學們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的各項離開1更近了。教師：你們認為在區(qū)間（0.9，1.1）上，此數(shù)列有多少項。學生：有無限項。教師：有無限項？贊成的舉手（全體同學舉了手）。再給出0.01呢，多少項以后，這個數(shù)列的各項就能在區(qū)間（0.99，1.01）上，大多數(shù)同學說100項以后，但有一個同學不加思索就說10000。教師：對，是100項以后。剛才，我聽到一個同學說10000，你算了嗎？該學生：沒算。只要有就行。教師：你們認為他的說法對不對？學生

6、：？，對。教師：對給出的小正數(shù)0.01，只要能找到一項，使這一項以后的各項與1的差的絕對值小于0.01就可以了，不必計較大小。（然后，就給出的0.01，0.001，用電腦進行了演示）教師一邊與學生討論，一邊板書，至此，黑板形成的板書是：（1），。 nN： 10 100 1000 10000 ： 0.1 0.01 0.001 0.0001 教師：我們把第二行中的數(shù)記作，第一行中的數(shù)記作N。就是不論給定一個多小的正數(shù)（如0.1，0.01，0.001，0.0001，），都能找到一個自然數(shù)N（如10 ，100，1000，10000，），使以后各項與1的差的絕對值都小于，即恒成立。你們的“趨向于1”是這

7、個意思嗎？“是。”學生一致贊同。教師小結，提出數(shù)列極限的定義（板書）：對于無窮數(shù)列，如果存在一個常數(shù)A，無論預先指定的多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項，使得這一項后面的所有項與 A的差的絕對值都小于（即當nN時，恒成立），我們把常數(shù)叫做數(shù)列的極限，記作A。也可以寫成：當n時，A。（板書本節(jié)課課題）這就是數(shù)列極限的定義。根據(jù)這個定義，我們再來查一下其他幾個數(shù)列。通項公式為的數(shù)列為什么沒有極限呢？“就是不存在常數(shù)A?！保ㄒ粋€學生說）“那么，5是數(shù)列5的極限嗎？為什么？”停了片刻，原先認為5不是數(shù)列5的極限的同學對自己產(chǎn)生懷疑，改變主意，也認為5是數(shù)列5的極限。教師：對，數(shù)列5的極限就是5。這符合

8、數(shù)列極限的定義嗎？“符合數(shù)列極限的定義。”“無論給定多么小的正數(shù)，從第一項起，55=0就恒成立。同學們，常數(shù)列的極限就是這個常數(shù)本身贊不贊成？”“贊成！”（齊聲） 2教學設想數(shù)列的極限一直是教學的一個難點，因為它要求學生的認識發(fā)生從形式邏輯到辯證邏輯的轉變。往往是一段時間過后，甚至到了高中畢業(yè)，一些學生還弄不清“N”是怎么回事。本節(jié)課就是讓學生在自己對“趨向于”的粗糙認識上，經(jīng)過“協(xié)商”、“會話”，來完成數(shù)列極限的“意義建構”。教師在此過程中始終注意學生是學習的“主體”，尊重他（她）們，不把任何學生還不能接受的教師認識拋給學生，但又不忽視自己的“主導”地位，比如恰當?shù)摹霸O問”。積極引導使學生的

9、感性認識上升為理性認識。建構主義理論的核心即認為“知識不是被動接受的，而是認知主體積極建構的”。建構主義認為，雖然學生學習的數(shù)學都是前人已經(jīng)建造好了的，但對學生來說，仍是全新的、未知的，需要每個人再現(xiàn)類似的創(chuàng)造過程來形成，即用學生自己的活動對人類已有的數(shù)學知識構建起自己的正確理解，這應該是學生親身參與的充滿豐富、生動的概念或思維活動的組織過程（1）。建構主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會話”、“意義建構”作為學習的四個要素或四大屬性。“情景”即要求學習環(huán)境中的“情景”必須有利于學生對所學內(nèi)容的“意義建構”。因此這節(jié)課一開始就把學生引入數(shù)列是否“趨向于”一個常數(shù)的討論中，雖然他（她）們對“趨向于

10、”并沒有精確的認識，但是憑借他（她）們自身的感受，運用“觀察”、“分析”、“歸納”，也能得到一些數(shù)列的“極限”。正是由于認識的非理性化，不少同學認為數(shù)列5的極限并不是5，這是正常的，這也是認識尚未理性化的必然。在這樣的“情景”下，通過“會話”，教師與學生、學生與學生的會話來不斷完善學生自己的認識教師的恰當?shù)摹霸O問”，學生間的“爭論”，計算機的運用。當學生把幾個數(shù)列的“極限”找出來后（其實不全正確），教師反問學生，“你們所說的趨向于是什么含義？能否解釋給我聽?！卑褜W生的認識向理性化推進?！熬褪窃絹碓浇！薄笆裁唇性絹碓浇俊薄熬褪蔷嚯x越來越小?！苯處熢趯W生親身感受的認識基礎上不斷引導學生把這些粗

11、淺的認識精確化、理性化，從而由學生自然得出：不論給出多么小的正數(shù)（由0.1，0.01，0.001，抽象出來），都能找出自然數(shù)N（由10，100，1000，抽象出來），使以后的各項與常數(shù)A的差的絕對值都小于（由“距離越來越小”抽象出來）。這正是數(shù)列的極限的定義。由于是任意給出的小正數(shù)，這正說明“這個距離要多小有多小”。在以上的過程中，離不開學生與學生、教師與學生間的“協(xié)作”。其他同學可以從一個同學的發(fā)言受到啟發(fā)，可以從同學間的爭論來完善自己的認識，如一些同學為爭論“5”是不是數(shù)列5的極限的舉手“表態(tài)”。“協(xié)作”的過程往往也是學習者對學習資料的收集與整理，假設的提出與驗證的過程，一些同學不相信當n100時，1與1的差的絕對值小于0.01，為驗證0.01是否成立，打開電腦驗證n100時，都分布在區(qū)間（10.01，10.01）上。從實踐及理論上完成對數(shù)列極限的“意義建構”?！耙饬x建構”是學習的應用也是學習的目標，所要建構的是對事物的性質、規(guī)律、事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。正是由于強調了“情景”、“會話”、“協(xié)作”， “意義建構”就變得十分容易。當完成數(shù)列極限的意義建構以后，反過來再認識數(shù)列5得極限，就是理論指導下的實踐。學生之間的原有分歧消失，認識達到了新的統(tǒng)一。在這一節(jié)課上所出現(xiàn)的對于數(shù)列，當給出0.01后找N時，一位學生