運(yùn)用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)一堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 運(yùn)用建構(gòu)主義理論指導(dǎo)一堂課的教學(xué)設(shè)計(jì) 陶維林 （南京師大附中 郵編210003） 1教學(xué)實(shí)錄課題：數(shù)列的極限。目的：建立數(shù)列極限的概念。過程：教師：前一段時(shí)間，我們學(xué)習(xí)了什么叫數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)的求法、仔細(xì)研究了兩個(gè)特殊的數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列。今天我們研究數(shù)列的另一個(gè)側(cè)面：隨n不斷增大時(shí)，是否“趨向于”某一個(gè)常數(shù)（雖然“趨向于”并沒有確切定義，但是同學(xué)們能感覺是什么意思由“粗”到“細(xì)”。板書：研究數(shù)列隨n增大時(shí)是否趨向于某一個(gè)常數(shù)）。請觀察下列數(shù)列，隨n變大時(shí)，是否趨向于某一個(gè)常數(shù)：（1）； （2）； （3）；（4） ； （5） ； （6）.大部分學(xué)生在觀察、思索，有的在草稿紙上寫、劃，有的在

2、議論。（幾分鐘以后）教師：“第一個(gè)數(shù)列趨向于一個(gè)常數(shù)嗎？” 幾乎全體學(xué)生：“趨向于1?！保ò鍟海?）“第二個(gè)呢？” “趨向于2?！保ò鍟海?）教師（小結(jié)）：數(shù)列（1）中，趨向于1；數(shù)列（2）中，趨向于2。“第三個(gè)呢？”“不趨向于任何常數(shù)?！苯處煟簽槭裁矗ㄌ釂栆粋€(gè)學(xué)生）？學(xué)生：它一會(huì)兒是3，一會(huì)兒是3，不趨向于一個(gè)固定的常數(shù)。教師：噢，“朝三暮四”，不，是“暮負(fù)三”。教師：第四個(gè)呢？全體學(xué)生都認(rèn)為數(shù)列，“它趨向于?！?（教師提問一個(gè)學(xué)生）“不趨向于一個(gè)常數(shù)，趨向于，請問你心目中的是什么？”“一個(gè)很大很大的數(shù)?！薄笆且粌|嗎？”“比一億大?！薄笆畠|行嗎？”“比十億大?！?。（學(xué)生感到不對勁）“是

3、一個(gè)要多大就多大的數(shù)?！苯處煟耗艽_定這個(gè)數(shù)嗎？學(xué)生思考片刻，回答“不能?！苯處煟骸安皇且粋€(gè)確定的數(shù)，是用來描述變量狀態(tài)的。”第五個(gè)呢？這時(shí)學(xué)生中出現(xiàn)了很大的分歧。大部分學(xué)生認(rèn)為不趨于5，認(rèn)為它就是5，談不上“趨向于”“不趨向于”5。事實(shí)上，學(xué)生沒有把數(shù)列看成函數(shù)。教師未置對否。課后許多老師也覺得“始料未及”?！白詈笠粋€(gè)數(shù)列呢？”“趨向于零?！薄霸鯓于呄蛴诹恪！薄跋笞枘嵴駝?dòng)一樣，擺幅越來越小?！薄澳芸可狭銌?？”“不能?！薄斑@個(gè)運(yùn)動(dòng)會(huì)停止嗎？”“不會(huì)?！苯處熜〗Y(jié)各數(shù)列是否“趨向于”一個(gè)常數(shù)的情況（暫時(shí)保留學(xué)生中的錯(cuò)誤認(rèn)識）。教師：你們認(rèn)為隨著n的不斷變化，數(shù)列趨向于1。你們的“趨向于”我還不明白是

4、怎么回事，我請一個(gè)同學(xué)來解釋一下什么叫“趨向于1”（提問一個(gè)學(xué)生）?！熬褪菬o限接近1?！薄笆裁唇袩o限接近？”“就是n越來越大，與1的差越來越小?！睂W(xué)生又補(bǔ)充說“就是距離越來越小?！薄熬嚯x比0.1要小，行不行？”“行，只要n比10大就行?！蔽覀冇秒娔X來驗(yàn)證一下（Maple軟件）。這時(shí)教室的屏幕上出現(xiàn)數(shù)列的圖象，并同時(shí)給出y=0.9，y=1.1的圖象，故意給出的n的取值范圍是1，4。圖象并不在（0.9，1.1）間。教師：數(shù)列中的各項(xiàng)并不在（0.9，1.1）上，并不靠近1呀。（片刻）“老師，你給出的n太小了?！卑裯的范圍設(shè)定為（10，20）時(shí)，數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間（0.9，1.1）上了。教師：看樣子，

5、當(dāng)n在（10，20）上時(shí)，數(shù)列的各項(xiàng)是在（0.9，1.1）上了，會(huì)不會(huì)n到了（100，120）間，數(shù)列有一項(xiàng)跑出（0.9，1.1）呢？把n的取值范圍設(shè)定為（100，120），同學(xué)們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的各項(xiàng)離開1更近了。教師：你們認(rèn)為在區(qū)間（0.9，1.1）上，此數(shù)列有多少項(xiàng)。學(xué)生：有無限項(xiàng)。教師：有無限項(xiàng)？贊成的舉手（全體同學(xué)舉了手）。再給出0.01呢，多少項(xiàng)以后，這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)就能在區(qū)間（0.99，1.01）上，大多數(shù)同學(xué)說100項(xiàng)以后，但有一個(gè)同學(xué)不加思索就說10000。教師：對，是100項(xiàng)以后。剛才，我聽到一個(gè)同學(xué)說10000，你算了嗎？該學(xué)生：沒算。只要有就行。教師：你們認(rèn)為他的說法對不對？學(xué)生

6、：？，對。教師：對給出的小正數(shù)0.01，只要能找到一項(xiàng)，使這一項(xiàng)以后的各項(xiàng)與1的差的絕對值小于0.01就可以了，不必計(jì)較大小。（然后，就給出的0.01，0.001，用電腦進(jìn)行了演示）教師一邊與學(xué)生討論，一邊板書，至此，黑板形成的板書是：（1），。 nN： 10 100 1000 10000 ： 0.1 0.01 0.001 0.0001 教師：我們把第二行中的數(shù)記作，第一行中的數(shù)記作N。就是不論給定一個(gè)多小的正數(shù)（如0.1，0.01，0.001，0.0001，），都能找到一個(gè)自然數(shù)N（如10 ，100，1000，10000，），使以后各項(xiàng)與1的差的絕對值都小于，即恒成立。你們的“趨向于1”是這

7、個(gè)意思嗎？“是?！睂W(xué)生一致贊同。教師小結(jié)，提出數(shù)列極限的定義（板書）：對于無窮數(shù)列，如果存在一個(gè)常數(shù)A，無論預(yù)先指定的多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng)，使得這一項(xiàng)后面的所有項(xiàng)與 A的差的絕對值都小于（即當(dāng)nN時(shí)，恒成立），我們把常數(shù)叫做數(shù)列的極限，記作A。也可以寫成：當(dāng)n時(shí)，A。（板書本節(jié)課課題）這就是數(shù)列極限的定義。根據(jù)這個(gè)定義，我們再來查一下其他幾個(gè)數(shù)列。通項(xiàng)公式為的數(shù)列為什么沒有極限呢？“就是不存在常數(shù)A?！保ㄒ粋€(gè)學(xué)生說）“那么，5是數(shù)列5的極限嗎？為什么？”停了片刻，原先認(rèn)為5不是數(shù)列5的極限的同學(xué)對自己產(chǎn)生懷疑，改變主意，也認(rèn)為5是數(shù)列5的極限。教師：對，數(shù)列5的極限就是5。這符合

8、數(shù)列極限的定義嗎？“符合數(shù)列極限的定義?！薄盁o論給定多么小的正數(shù)，從第一項(xiàng)起，55=0就恒成立。同學(xué)們，常數(shù)列的極限就是這個(gè)常數(shù)本身贊不贊成？”“贊成！”（齊聲） 2教學(xué)設(shè)想數(shù)列的極限一直是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)樗髮W(xué)生的認(rèn)識發(fā)生從形式邏輯到辯證邏輯的轉(zhuǎn)變。往往是一段時(shí)間過后，甚至到了高中畢業(yè)，一些學(xué)生還弄不清“N”是怎么回事。本節(jié)課就是讓學(xué)生在自己對“趨向于”的粗糙認(rèn)識上，經(jīng)過“協(xié)商”、“會(huì)話”，來完成數(shù)列極限的“意義建構(gòu)”。教師在此過程中始終注意學(xué)生是學(xué)習(xí)的“主體”，尊重他（她）們，不把任何學(xué)生還不能接受的教師認(rèn)識拋給學(xué)生，但又不忽視自己的“主導(dǎo)”地位，比如恰當(dāng)?shù)摹霸O(shè)問”。積極引導(dǎo)使學(xué)生的

9、感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識。建構(gòu)主義理論的核心即認(rèn)為“知識不是被動(dòng)接受的，而是認(rèn)知主體積極建構(gòu)的”。建構(gòu)主義認(rèn)為，雖然學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)都是前人已經(jīng)建造好了的，但對學(xué)生來說，仍是全新的、未知的，需要每個(gè)人再現(xiàn)類似的創(chuàng)造過程來形成，即用學(xué)生自己的活動(dòng)對人類已有的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建起自己的正確理解，這應(yīng)該是學(xué)生親身參與的充滿豐富、生動(dòng)的概念或思維活動(dòng)的組織過程（1）。建構(gòu)主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會(huì)話”、“意義建構(gòu)”作為學(xué)習(xí)的四個(gè)要素或四大屬性?！扒榫啊奔匆髮W(xué)習(xí)環(huán)境中的“情景”必須有利于學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的“意義建構(gòu)”。因此這節(jié)課一開始就把學(xué)生引入數(shù)列是否“趨向于”一個(gè)常數(shù)的討論中，雖然他（她）們對“趨向于

10、”并沒有精確的認(rèn)識，但是憑借他（她）們自身的感受，運(yùn)用“觀察”、“分析”、“歸納”，也能得到一些數(shù)列的“極限”。正是由于認(rèn)識的非理性化，不少同學(xué)認(rèn)為數(shù)列5的極限并不是5，這是正常的，這也是認(rèn)識尚未理性化的必然。在這樣的“情景”下，通過“會(huì)話”，教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的會(huì)話來不斷完善學(xué)生自己的認(rèn)識教師的恰當(dāng)?shù)摹霸O(shè)問”，學(xué)生間的“爭論”，計(jì)算機(jī)的運(yùn)用。當(dāng)學(xué)生把幾個(gè)數(shù)列的“極限”找出來后（其實(shí)不全正確），教師反問學(xué)生，“你們所說的趨向于是什么含義？能否解釋給我聽?！卑褜W(xué)生的認(rèn)識向理性化推進(jìn)?！熬褪窃絹碓浇??！薄笆裁唇性絹碓浇?？”“就是距離越來越小?！苯處熢趯W(xué)生親身感受的認(rèn)識基礎(chǔ)上不斷引導(dǎo)學(xué)生把這些粗

11、淺的認(rèn)識精確化、理性化，從而由學(xué)生自然得出：不論給出多么小的正數(shù)（由0.1，0.01，0.001，抽象出來），都能找出自然數(shù)N（由10，100，1000，抽象出來），使以后的各項(xiàng)與常數(shù)A的差的絕對值都小于（由“距離越來越小”抽象出來）。這正是數(shù)列的極限的定義。由于是任意給出的小正數(shù)，這正說明“這個(gè)距離要多小有多小”。在以上的過程中，離不開學(xué)生與學(xué)生、教師與學(xué)生間的“協(xié)作”。其他同學(xué)可以從一個(gè)同學(xué)的發(fā)言受到啟發(fā)，可以從同學(xué)間的爭論來完善自己的認(rèn)識，如一些同學(xué)為爭論“5”是不是數(shù)列5的極限的舉手“表態(tài)”?！皡f(xié)作”的過程往往也是學(xué)習(xí)者對學(xué)習(xí)資料的收集與整理，假設(shè)的提出與驗(yàn)證的過程，一些同學(xué)不相信當(dāng)n100時(shí)，1與1的差的絕對值小于0.01，為驗(yàn)證0.01是否成立，打開電腦驗(yàn)證n100時(shí)，都分布在區(qū)間（10.01，10.01）上。從實(shí)踐及理論上完成對數(shù)列極限的“意義建構(gòu)”?！耙饬x建構(gòu)”是學(xué)習(xí)的應(yīng)用也是學(xué)習(xí)的目標(biāo)，所要建構(gòu)的是對事物的性質(zhì)、規(guī)律、事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。正是由于強(qiáng)調(diào)了“情景”、“會(huì)話”、“協(xié)作”， “意義建構(gòu)”就變得十分容易。當(dāng)完成數(shù)列極限的意義建構(gòu)以后，反過來再認(rèn)識數(shù)列5得極限，就是理論指導(dǎo)下的實(shí)踐。學(xué)生之間的原有分歧消失，認(rèn)識達(dá)到了新的統(tǒng)一。在這一節(jié)課上所出現(xiàn)的對于數(shù)列，當(dāng)給出0.01后找N時(shí)，一位學(xué)生