解析幾何教學(xué)中應(yīng)滲透平面向量方法

1、解析幾何教學(xué)中應(yīng)滲透平面向量方法武山縣第三高級(jí)中學(xué) 王建華平面向量是高中數(shù)學(xué)教材改革新增加的內(nèi)容之一，它是既有大小，又有方向的一個(gè)幾何量.也就是說(shuō)，平面向量既能像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，也有直觀的幾何意義，是數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，可靈活實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.平面向量理論滲透在解析幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題，其方法是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理、求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，完全變成了代數(shù)問(wèn)題.一、確定直線的兩個(gè)重要向量1、直線的方向向量P1P2xOyx我們已經(jīng)知道，兩點(diǎn)確定一條直線，把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1，由P1（x1 ,

2、y1）、P2（x2 , y2）確定直線P1P2 的方向向量是P1P2 =（x2 - x1 , y2 - y1）.當(dāng)直線P1P2與x軸不垂直時(shí)有x2x1 , 這時(shí)直線的斜率為圖1 而向量 P1P2也是直線P1P2的方向向量，它的坐標(biāo)是（x2 - x1 , y2 - y1）.即(1,k) 就是直線P1P2的方向向量,其中k是直線P1P2的斜率. 2、直線的法向量和直線垂直的向量都稱為該直線的法向量.如圖2,設(shè)直線l有法向量n=(A,B),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(xo,yo),取直線l上任一點(diǎn)P(x,y),滿足nP0P,因?yàn)?P0P=（x xo , y yo）,根據(jù)向量垂直的充要條件得lxPnyA（x xo）

3、+B( y yo) = 0P0這個(gè)二元一次方程由直線l上O一點(diǎn)P0(xo,yo) 及直線的法向量n=(A,B)圖2確定,稱為直線的點(diǎn)法式方程.反過(guò)來(lái),如果直線l有一般方程Ax+By+C=0（A、B不同時(shí)為0）,（1）若A0時(shí)，該方程可化為A(x +)+B(y - 0) = 0這是過(guò)點(diǎn)(-,0),且法向量為n=(A,B) 的點(diǎn)法式直線方程；（2）若B0時(shí)，該方程可化為A(x -0)+B(y +) = 0這是過(guò)點(diǎn)(0,- ),且法向量為n=(A,B) 的點(diǎn)法式直線方程.因此,n=(A,B)就是直線Ax+By+C=0的法向量.設(shè)向量a=(-B,A),由a與n的數(shù)量積a·n = -B

4、5;A+A×B=0所以an,從而向量a=(-B,A)是直線Ax+By+C=0的方向向量. 由于直線的方向向量、法向量可以從直線的一般式直接寫出,應(yīng)用這兩個(gè)重要向量解決某些問(wèn)題比較便捷.二、平面向量與直線間的位置關(guān)系設(shè)直線l1與l2的方程分別是l1 :A1x+B1y+C1=0l2 :A2x+B2y+C2=0那么，n1=( A1, B1)和n2=( A2, B2)分別是直線l1與l2的法向量.A1=A2B1=B2(1)如果l1l2 ,那么n1n2, 而n1n2的充要條件是n1=n2得 ，消去得A1B2-A2B1=0由此可知, A1B2-A2B1=0是直線l1l2的充要條件.當(dāng)A2 B20

5、時(shí)可表示為 ，即對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.(2) 如果l1l2 ,那么n1n2, 反過(guò)來(lái)也正確.而n1n2的充要條件是n1·n2=0, 得A1 A2+B1 B2=0,所以直線l1l2的充要條件是A1 A2+B1 B2=0.例1（1998年上海高考卷16題） 設(shè)a、b、c分別是ABC中A、B、C的對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線sinA·x+ay+c=0與直線bx-sinB·y+sinC=0的位置關(guān)系是A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直解析：易知兩直線的法向量分別是n1=( sinA,a)和n2=( b,-sinB)由正弦定理知，即bsinA+a(-sinB)=0 n1·n2

6、=0 有n1n2，所以兩直線是垂直的，選C. (3)更一般地,由直線的法向量可求兩直線的夾角.設(shè)直線l1與l2的夾角為,其法向量的夾角為,則=或=-,所以cos=|cos|.由向量的夾角公式,及n1·n2 =A1 A2+B1 B2 、| n1|=、| n2|=得兩直線的夾角公式為例2(2000年全國(guó)高考文科8題)已知兩直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實(shí)數(shù),當(dāng)這兩條直線的夾角在(0,)內(nèi)變動(dòng)時(shí),a的取值范圍是A(0,1) B(,) C(,1)(1, ) D(1, )解析:兩直線的法向量分別為(1,-1)、（a,-1）,由夾角公式得=，夾角在(0,)變動(dòng)時(shí)，有,于是得<

7、;<1，解這個(gè)不等式得<a<1或1<a<，故選C.三、平面向量與解析幾何中角的問(wèn)題任意兩個(gè)不共線的非零向量a=(x1,y1)、b =(x2,y2)，由夾角公式知, cos的正負(fù)直接由分子x1 x2+y1 y2來(lái)確定，于是得到如下結(jié)論：（1） 若為銳角 x1 x2+y1 y2>0 ,即a·b>0（2） 若為直角 x1 x2+y1 y2=0 ,即a·b=0（3） 若為鈍角 x1 x2+y1 y2<0 ,即a·b<0因此，兩個(gè)向量夾角的范圍由它們的數(shù)量積的正負(fù)所確定. 例3（1994年全國(guó)高考8題）設(shè)F1和F2為雙曲

8、線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1P F2=90°，則F1P F2的面積是A 1 B C 2 D解析：易知F1（-,0）和F2（,0），設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（xo,yo）, F1 P=( xo+, yo), F2 P=( xo-, yo).由F1P F2=90°知F1P· F2 P=0于是得( xo+)( xo-)+=0 即 +-5=0 又點(diǎn)P（xo,yo）在雙曲線上， 有 聯(lián)立可得 ，SF1P F2=,故選A例4（2000年全國(guó)高考14題）橢圓的焦點(diǎn)為F1 、F2，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1P F2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.解析：易知a=3,b=2，故c=

9、.F1（-,0）,F2（,0）,設(shè)P(x,y)，則P F1=（-x ,y）, P F2=（-+x ,y）由F1P F2是鈍角得 P F1·P F2 <0<0 即x2+y2-5<0又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上, 得聯(lián)立得 - < x < 四、平面向量與解析幾何中共線問(wèn)題三點(diǎn)共線是解析幾何中常見(jiàn)問(wèn)題之一，用向量法解決共線問(wèn)題思路顯得直接了當(dāng).一般方法是根據(jù)向量共線的充要條件,只要在三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的向量間存在倍數(shù)關(guān)系就行了.就是說(shuō)三點(diǎn)A、B、C共線,僅要AB=AC或AB=BC （R） 成立. 用坐標(biāo)表示 , 如果A(x1, y1) , B(x2 , y2), C(

10、x3 , y3)三點(diǎn)共線 , 有(x2 -x1, y2 -y1) =(x3 -x1, y3 -y1)，消去得 (x2 -x1) (y3 -y1) -(x3 -x1) (y2 -y1)=0或( x3x1 ，y3 y1).COBAxy例5(2001年全國(guó)高考19題) 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸，求證：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. F解析：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），F(xiàn)（,0）由BCx軸得C（-, y2） FA=（x1-, y1），F(xiàn)B =（x2-,y2）圖3OA=（x1,y1）， OC =（-, y2）FA

11、與 FB共線 （x1-）y2 -（x2-）y1=0，而x1=， x2=代入上式得y1 y2= -p2又OA與OC是共線向量，即A、O、C三點(diǎn)共線直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.例6(2003年全國(guó)高考22題)已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖4），F(xiàn)GDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyxFGDBACEOyx問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；P若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：設(shè)A（-2，0），B（2，0），圖4

12、C（2，4a），D（-2，4a），P（x,y）.由點(diǎn)F在直線OP上得F（,4a），則CF=2a-.又由得到BE=2 a -，于是E（2 , 2a-），G（-2 , 2a+）因G、P、E三點(diǎn)共線得化簡(jiǎn)為2a2x2+y2-2ay=0即（1）當(dāng)a2 =時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn)；（2）當(dāng)a2 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)：當(dāng)a2 <時(shí)，即0<a<時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(-,a),(,a)的距離的和為定長(zhǎng)；當(dāng)a2 >時(shí)，即a >時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(0,a-),(0,a+)的距離的和為定長(zhǎng)2a. 五、平面向量與解析幾

13、何中軌跡問(wèn)題軌跡問(wèn)題是近年來(lái)高考題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，其本質(zhì)是求出點(diǎn)的方程，利用向量法求軌跡方程要比距離公式簡(jiǎn)潔得多.例7(2000年北京、安徽春季高考22題)設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OAOB,OMAB,點(diǎn)M為垂足,求點(diǎn)M的軌跡方程并說(shuō)明它是什么曲線?解析：設(shè)M（x,y），A（p, 2pt1），B（p, 2pt2）(其中t1,t2為正參數(shù))，xAMBOyx圖5則 OA =（p, 2pt1）, OB =（p, 2pt2）AB=( p- p,2pt2- 2pt1) ,OM =（x,y）. OAOB OA· OB=0 即p p +2pt1 2pt

14、2=0t1 t2= -4同理( p- p)x+(2pt2- 2pt1)y=0(t1 +t2)x+2y=0 又A、B、M三點(diǎn)共線聯(lián)立中消去t1,t2得x2+y2-4px=0因?yàn)锳、B是原點(diǎn)以外的點(diǎn)，所以x0.點(diǎn)M的軌跡是以(2p,0)為圓心以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).y例8（1995年全國(guó)高考26題）如圖6，橢圓，直線l：，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，點(diǎn)Q在OP上，RQQPOx且有|OP|·|OQ|=|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在直線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程.解析：設(shè)Q（x,y）， OP =OQ ，OR =OQ（,為正參數(shù)），圖6則P（x, y），R（x, y）.|OP|·|OQ|=|OR|2 即|OP|·