傅里葉變換小史

1、寧夏大寧夏大學(xué)學(xué) 李春李春樹樹Mobile Phone obile Phone mail: Email: 2 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有一個(gè)很容易被外行誤解的詞匯：信號(hào)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有一個(gè)很容易被外行誤解的詞匯：信號(hào) (signal)(signal)。當(dāng)數(shù)學(xué)。當(dāng)數(shù)學(xué)家們說(shuō)起一個(gè)信號(hào)的時(shí)候，他們腦海中想到的并不是交通指示燈所發(fā)出家們說(shuō)起一個(gè)信號(hào)的時(shí)候，他們腦海中想到的并不是交通指示燈所發(fā)出的閃爍光芒或者手機(jī)屏幕頂部的天線圖案，而是一段可以具體數(shù)字化的信息的閃爍光芒或者手機(jī)屏幕頂部的天線圖案，而是一段可以具體數(shù)字化的信息，可以是聲音，可以是圖像，也可是遙感測(cè)量

2、數(shù)據(jù)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，它是一個(gè)函，可以是聲音，可以是圖像，也可是遙感測(cè)量數(shù)據(jù)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，它是一個(gè)函數(shù)，定義在通常的一維或者多維空間之上。譬如一段聲音就是一個(gè)定義在一數(shù)，定義在通常的一維或者多維空間之上。譬如一段聲音就是一個(gè)定義在一維空間上的函數(shù)，自變量是時(shí)間，因變量是聲音的強(qiáng)度，一幅圖像是定義在維空間上的函數(shù)，自變量是時(shí)間，因變量是聲音的強(qiáng)度，一幅圖像是定義在二維空間上的函數(shù)，自變量是橫軸和縱軸坐標(biāo)，因變量是圖像像素的色彩和二維空間上的函數(shù)，自變量是橫軸和縱軸坐標(biāo)，因變量是圖像像素的色彩和明暗，如此等等。明暗，如此等等。3 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于一個(gè)信號(hào)最基本的問題在于如何將它表示和描述出來(lái)。按照在數(shù)學(xué)上，

3、關(guān)于一個(gè)信號(hào)最基本的問題在于如何將它表示和描述出來(lái)。按照上面所說(shuō)的辦法，把一個(gè)信號(hào)理解成一個(gè)定義在時(shí)間或空間上的函數(shù)是一種自然上面所說(shuō)的辦法，把一個(gè)信號(hào)理解成一個(gè)定義在時(shí)間或空間上的函數(shù)是一種自然而然的表示方式，但是它對(duì)理解這一信號(hào)的內(nèi)容來(lái)說(shuō)常常不夠。例如一段聲音，而然的表示方式，但是它對(duì)理解這一信號(hào)的內(nèi)容來(lái)說(shuō)常常不夠。例如一段聲音，如果單純按照定義在時(shí)間上的函數(shù)來(lái)表示，它畫出來(lái)如果單純按照定義在時(shí)間上的函數(shù)來(lái)表示，它畫出來(lái)上圖左邊上圖左邊的樣子，這通常被的樣子，這通常被稱為波形圖。毫無(wú)疑問，它包含了關(guān)于這段聲音的全部信息。但是同樣毫無(wú)疑問稱為波形圖。毫無(wú)疑問，它包含了關(guān)于這段聲音的全部信息。

4、但是同樣毫無(wú)疑問的是，這些信息幾乎沒法從上面這個(gè)函數(shù)中直接看出來(lái)，事實(shí)上，它只不過的是，這些信息幾乎沒法從上面這個(gè)函數(shù)中直接看出來(lái)，事實(shí)上，它只不過是巴赫的小提琴無(wú)伴奏是巴赫的小提琴無(wú)伴奏 Partita No.3 Partita No.3 的序曲開頭幾個(gè)小節(jié)。下面是巴赫的手稿的序曲開頭幾個(gè)小節(jié)。下面是巴赫的手稿，從某種意義上說(shuō)來(lái)，它也構(gòu)成了對(duì)上面那段聲音的一個(gè)描述：，從某種意義上說(shuō)來(lái)，它也構(gòu)成了對(duì)上面那段聲音的一個(gè)描述：上圖右邊上圖右邊 4 這兩種描述之間的關(guān)系是怎樣的呢？第一種描述刻劃的是具體的信號(hào)數(shù)值這兩種描述之間的關(guān)系是怎樣的呢？第一種描述刻劃的是具體的信號(hào)數(shù)值，第二種描述刻劃的是聲音

5、的高低（即聲音震動(dòng)的頻率）。人們直到十九世紀(jì)才，第二種描述刻劃的是聲音的高低（即聲音震動(dòng)的頻率）。人們直到十九世紀(jì)才漸漸意識(shí)到，在這兩種描述之間，事實(shí)上存在著一種對(duì)偶的關(guān)系，而這一點(diǎn)并不漸漸意識(shí)到，在這兩種描述之間，事實(shí)上存在著一種對(duì)偶的關(guān)系，而這一點(diǎn)并不顯然。顯然。 5 1807 1807 年，法年，法國(guó)數(shù)學(xué)國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉家傅立葉 (J. Fourier) (J. Fourier) 在一篇向巴黎科在一篇向巴黎科學(xué)學(xué)院院遞遞交的革命交的革命性的性的論論文文 Mmoire sur la propagation de la chaleur dans les corps Mmoire sur la

6、propagation de la chaleur dans les corps solides solides （固體中的固體中的熱傳熱傳播播）中，提出了一）中，提出了一個(gè)嶄個(gè)嶄新的新的觀觀念：任何一念：任何一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)都都可以表可以表達(dá)為達(dá)為一系列不同一系列不同頻頻率的率的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振振動(dòng)動(dòng)（即（即簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單的三角函的三角函數(shù)數(shù)）的）的疊疊加。有趣的是加。有趣的是，這結(jié)論這結(jié)論是他是他研研究究熱傳導(dǎo)問題熱傳導(dǎo)問題的一的一個(gè)個(gè)副副產(chǎn)產(chǎn)品。品。這這篇篇論論文文經(jīng)經(jīng)拉格朗日拉格朗日 (J. (J. Lagrange)Lagrange)、拉普拉斯、拉普拉斯 (P-S. Laplace) (P-S.

7、Laplace) 和勒和勒讓讓德德 (A-M. Legendre) (A-M. Legendre) 等人等人審閱審閱后后被拒被拒絕絕了，原因是他的思想了，原因是他的思想過過于粗糙且于粗糙且極極不不嚴(yán)嚴(yán)密。密。1811 1811 年傅立葉年傅立葉遞遞交了修改后交了修改后的的論論文，文，這這一次一次論論文文獲獲得了科得了科學(xué)學(xué)院的院的獎(jiǎng)獎(jiǎng)金，但是仍然因金，但是仍然因?yàn)闉槿狈θ狈?yán)嚴(yán)密性而被拒密性而被拒絕絕刊刊載載在科在科學(xué)學(xué)院的院的報(bào)報(bào)告告中。傅立葉中。傅立葉對(duì)對(duì)此耿耿于此耿耿于懷懷，直到，直到 1824 1824 年他本人成年他本人成為為了科了科學(xué)學(xué)院的秘院的秘書書，才得以把他，才得以把他 18

8、11 1811 年的年的論論文原封不文原封不動(dòng)動(dòng)地地發(fā)發(fā)表在表在報(bào)報(bào)告告里。里。 6 用今天的語(yǔ)言來(lái)描述，傅立葉的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是在說(shuō)：任何一個(gè)信號(hào)都可以用今天的語(yǔ)言來(lái)描述，傅立葉的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是在說(shuō)：任何一個(gè)信號(hào)都可以用兩種方式來(lái)表達(dá)，一種就是通常意義上的表達(dá)，自變量是時(shí)間或者空間的坐標(biāo)用兩種方式來(lái)表達(dá)，一種就是通常意義上的表達(dá)，自變量是時(shí)間或者空間的坐標(biāo)，因變量是信號(hào)在該處的強(qiáng)度，另一種則是把一個(gè)信號(hào)展開成不同頻率的簡(jiǎn)，因變量是信號(hào)在該處的強(qiáng)度，另一種則是把一個(gè)信號(hào)展開成不同頻率的簡(jiǎn)單三角函數(shù)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）的疊加，于是這就相當(dāng)于把它看作是定義在所有頻率所單三角函數(shù)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）的疊加，于是這就相當(dāng)于

9、把它看作是定義在所有頻率所組成的空間（稱為頻域空間）上的另一個(gè)函數(shù)，自變量是不同的頻率，因變量是組成的空間（稱為頻域空間）上的另一個(gè)函數(shù)，自變量是不同的頻率，因變量是該頻率所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幅度。該頻率所對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幅度。 這兩個(gè)函數(shù)一個(gè)定義在時(shí)域（或空域）上，一個(gè)定義在頻域上，看起來(lái)的樣這兩個(gè)函數(shù)一個(gè)定義在時(shí)域（或空域）上，一個(gè)定義在頻域上，看起來(lái)的樣子通常截然不同，但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個(gè)信號(hào)子通常截然不同，但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個(gè)信號(hào)。它們就象是兩種不同的語(yǔ)言，乍一聽完全不相干，但是其實(shí)可以精確地互相翻。它們就象是兩種不同的語(yǔ)言，乍

10、一聽完全不相干，但是其實(shí)可以精確地互相翻譯。在數(shù)學(xué)上，這種翻譯的過程被稱為傅立葉變換。譯。在數(shù)學(xué)上，這種翻譯的過程被稱為傅立葉變換。7傅立葉變換是一個(gè)數(shù)學(xué)上極為精美的對(duì)象：傅立葉變換是一個(gè)數(shù)學(xué)上極為精美的對(duì)象：它是完全可逆的，任何能量有限的時(shí)域或空域信號(hào)都存在唯一的頻域表達(dá)，反它是完全可逆的，任何能量有限的時(shí)域或空域信號(hào)都存在唯一的頻域表達(dá)，反之亦然。之亦然。它完全不損傷信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：任何兩個(gè)信號(hào)之間有多少相關(guān)程度（即內(nèi)積）它完全不損傷信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：任何兩個(gè)信號(hào)之間有多少相關(guān)程度（即內(nèi)積），它們的頻域表達(dá)之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。，它們的頻域表達(dá)之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。它不改變信

11、號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性：一組信號(hào)收斂到一個(gè)特定的極限，它們的頻域表它不改變信號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性：一組信號(hào)收斂到一個(gè)特定的極限，它們的頻域表達(dá)也一定收斂到那個(gè)極限函數(shù)的頻域表達(dá)。達(dá)也一定收斂到那個(gè)極限函數(shù)的頻域表達(dá)。 傅立葉變換就象是把信號(hào)徹底打亂之后以最面目全非的方式復(fù)述出來(lái)，而一傅立葉變換就象是把信號(hào)徹底打亂之后以最面目全非的方式復(fù)述出來(lái)，而一切信息都還原封不動(dòng)的存在著。切信息都還原封不動(dòng)的存在著。8 在傅立葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最不尋常的是這樣一種特性：一在傅立葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最不尋常的是這樣一種特性：一個(gè)在時(shí)域或空域上看起來(lái)很復(fù)雜的信號(hào)（譬如一段聲音或者一幅圖像）通常個(gè)在時(shí)域或空域

12、上看起來(lái)很復(fù)雜的信號(hào)（譬如一段聲音或者一幅圖像）通常在頻域上的表達(dá)會(huì)很簡(jiǎn)單。這里簡(jiǎn)單的意思是說(shuō)作為頻域上的函數(shù)，它在頻域上的表達(dá)會(huì)很簡(jiǎn)單。這里簡(jiǎn)單的意思是說(shuō)作為頻域上的函數(shù)，它只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。例如下圖是一張只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。例如下圖是一張人臉和它對(duì)應(yīng)的傅立葉變換，可以看出，所有的頻域信號(hào)差不多都分布在中人臉和它對(duì)應(yīng)的傅立葉變換，可以看出，所有的頻域信號(hào)差不多都分布在中心周圍，而大部分周邊區(qū)域都是黑色的（即零）。心周圍，而大部分周邊區(qū)域都是黑色的（即零）。 9 這是一個(gè)意味深長(zhǎng)的事實(shí)，它說(shuō)明一個(gè)在空域中看起來(lái)占滿全空間的信這是

13、一個(gè)意味深長(zhǎng)的事實(shí)，它說(shuō)明一個(gè)在空域中看起來(lái)占滿全空間的信號(hào)，從頻域中看起來(lái)很可能只不過占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被號(hào)，從頻域中看起來(lái)很可能只不過占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被浪費(fèi)了的。這就導(dǎo)出了一個(gè)極為有用的結(jié)論：一個(gè)看起來(lái)信息量很大的信號(hào)浪費(fèi)了的。這就導(dǎo)出了一個(gè)極為有用的結(jié)論：一個(gè)看起來(lái)信息量很大的信號(hào)，其實(shí)可以只用少得多的數(shù)據(jù)來(lái)加以描述。只要對(duì)它先做傅里葉變換，然后，其實(shí)可以只用少得多的數(shù)據(jù)來(lái)加以描述。只要對(duì)它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以了，這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少。只記錄那些不接近零的頻域信息就可以了，這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少。 10 基本上，這

14、正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想。在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，基本上，這正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想。在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代，大量的多媒體信息需要在盡量節(jié)省帶寬和時(shí)間的前提下被傳輸，所以數(shù)據(jù)壓大量的多媒體信息需要在盡量節(jié)省帶寬和時(shí)間的前提下被傳輸，所以數(shù)據(jù)壓縮從來(lái)都是最核心的問題之一。而今天幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式，無(wú)論縮從來(lái)都是最核心的問題之一。而今天幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式，無(wú)論是聲音的是聲音的 mp3 mp3 格式還是圖像的格式還是圖像的 jpg jpg 格式，都是利用傅立葉變換才得以發(fā)明格式，都是利用傅立葉變換才得以發(fā)明的。從這個(gè)意義上說(shuō)來(lái)，幾乎全部現(xiàn)代信息社會(huì)都建立在傅立葉的理論的基的。從這

15、個(gè)意義上說(shuō)來(lái)，幾乎全部現(xiàn)代信息社會(huì)都建立在傅立葉的理論的基礎(chǔ)之上。礎(chǔ)之上。 這當(dāng)然是傅立葉本人也始料未及的。這當(dāng)然是傅立葉本人也始料未及的。11 傅立葉變換這種對(duì)偶關(guān)系的本質(zhì)，是把一塊信息用徹底打亂的方式重新傅立葉變換這種對(duì)偶關(guān)系的本質(zhì)，是把一塊信息用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣，一個(gè)信號(hào)可能在空域上顯得內(nèi)容豐富，敘述一遍。正如前面所提到的那樣，一個(gè)信號(hào)可能在空域上顯得內(nèi)容豐富，但是當(dāng)它在頻域上被重新表達(dá)出來(lái)的時(shí)候，往往就在大多數(shù)區(qū)域接近于零。但是當(dāng)它在頻域上被重新表達(dá)出來(lái)的時(shí)候，往往就在大多數(shù)區(qū)域接近于零。反過來(lái)這個(gè)關(guān)系也是對(duì)稱的：一個(gè)空域上大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號(hào)，在頻

16、反過來(lái)這個(gè)關(guān)系也是對(duì)稱的：一個(gè)空域上大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號(hào)，在頻域上通常都會(huì)占據(jù)絕大多數(shù)頻率。域上通常都會(huì)占據(jù)絕大多數(shù)頻率。 12 有沒有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡(jiǎn)單的例子就是噪有沒有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡(jiǎn)單的例子就是噪聲信號(hào)。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上聲信號(hào)。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上的分布都是廣泛的。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，這就說(shuō)明噪聲本身是不可壓縮的分布都是廣泛的。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，這就說(shuō)明噪聲本身是不可壓縮的。這并不違反直覺，因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)就是

17、通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來(lái)對(duì)的。這并不違反直覺，因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)就是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來(lái)對(duì)它進(jìn)行更簡(jiǎn)潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào)，自然也就它進(jìn)行更簡(jiǎn)潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào)，自然也就無(wú)從得以壓縮。無(wú)從得以壓縮。 另一方面，有沒有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很簡(jiǎn)單呢？換句話說(shuō)，存不另一方面，有沒有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很簡(jiǎn)單呢？換句話說(shuō)，存不存在一個(gè)函數(shù)，它在空間上只分布在很少的幾個(gè)區(qū)域內(nèi)，并且在頻域上也只占用了存在一個(gè)函數(shù)，它在空間上只分布在很少的幾個(gè)區(qū)域內(nèi)，并且在頻域上也只占用了很少的幾個(gè)頻率呢？（零函數(shù)當(dāng)然滿足這個(gè)條件，

18、所以下面討論的都是非零函數(shù)。很少的幾個(gè)頻率呢？（零函數(shù)當(dāng)然滿足這個(gè)條件，所以下面討論的都是非零函數(shù)。） 答案是不存在。這就是所謂的答案是不存在。這就是所謂的 uncertainty principleuncertainty principle（不確定性原理）。（不確定性原理）。13 有沒有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡(jiǎn)單的例子就是噪有沒有一種信號(hào)在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡(jiǎn)單的例子就是噪聲信號(hào)。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上聲信號(hào)。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上的分布都是廣泛的。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，這就說(shuō)明噪聲本身是不可壓縮的分布都是廣泛的。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，這就說(shuō)明噪聲本身是不可壓縮的。這并不違反直覺，因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)就是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來(lái)對(duì)的。這并不違反直覺，因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)就是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來(lái)對(duì)它進(jìn)行更簡(jiǎn)潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào)，自然也就它進(jìn)行更簡(jiǎn)潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào)，自然也就無(wú)從得以壓縮。無(wú)從得以壓縮。 另一方面，有沒有一種信號(hào)在空域和頻