正弦定理證明

1、CD由此，得矗二為同理可得純二島a _ b sin A sin ZABC同理可得c _ b sin C sin ZABC故有a _ b _ csin A sin EABC sin C由(2)可知，在：ABC中,a _ bsin A sin Bsin C成立.一、正弦定理的幾種證明方法1利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義, 有CD=asinB,CD =bsinA。故有Si-siF -siFc.從而這個結(jié)論在銳角三角形中成立.(2)當(dāng)厶ABC是鈍角三角形時，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義， 有CD=

2、：asin . CBDasin . ABC CD =bsinA 。由此,從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即a b c sin A sin B - sin C2利用三角形面積證明正弦定理已知 ABC,設(shè) BC = a, CA = b,AB = c,作 AD 丄 BC,垂足為 D 貝U Rt ADB中,sin B 一 AD ： AD=AB sinB=csinB,AAB/：11 1 1二 S abc二a *AD =-acsi nB| 同理,可證 SABC_absi nC=bcsi n A|丿2 2 2 2 / S“bc= absinC =丄bcsinA =acsinBl .

3、MbdM二b昂hA二dCsinK C2 2 2/ : bD在等式兩端同除以a” r/曰 sinC sin A sin B口“ abcABC,可得=| 即=.c a bsin A sin B sin C3向量法證明正弦定理(" ABC為銳角三角形，過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC ,則j與AB的夾角為I190°-A,j與CB的夾角為90°-C由向量的加法原則可得AC C AB*為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到j(luò)(AC CBH j AB由分配律可得AC jCB = j AB) j| AC Cos90°|j

4、 |CBCos(90 -C)=|j | AB Cos(90 -A) asi nC=cinA.a csin A sinC另外，過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j，則j與AC的夾角為90°+C,j與AB的夾角為90°+B,可得csin Cbsin B(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提，防止誤解為j與AC的夾角為90°-C,j與AB的夾角為90°-B)a b csin A sin B sin C ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)A>90°,過點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j，則j與AB的夾角為A-90 °與CB的夾角為90°-

5、C|由 AC CB 二 AB，得 j -AC即 a Cos(90°-C)=c Cos(A-9叫+jCB=jAB：. A asi nC=cinA.a _ csin A sin C另外過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j，則j與AC的夾角為90O+C,j與AB夾角為90°-b.同理,可得b sin Bc sin Ca b c simAsin B sin C連結(jié)BO并延長交圓于B；設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所 對的圓周角相等可以得到/ BAB =90° , / C =Z B', si nC=si nB'=si nC=si nB"

6、;=R| = 2R| 2R sinC同理，可得 a = 2R, b 2R) a b c 2R|si nAsi nBsi nA si nB si nC這就是說，對于任意的三角形，我們得到等式a b csin A sinBsinCC法一(平面幾何)：在 ABC中，已知AC=b,BC=：a,及.C，求c。過 A 作 AD _ BC于 D,是 AD = AC si nC 二 BC si nC ,CD = AC cos = b cosc,在 Rt. ABD 中，AB?二 AD2 BD2 二(bsin c)2 (a - bcosc)2 二 a2 b2 - 2abcosc ,法二(平面向量)-* T T T

7、 T T T2 T T T2 T2 T T2 2 2c a b - 2ab coscAB AB 二(AC BC) (AC BC)二 AC 2AC BC BC AC 2| AC | | BC |cos(180 -B) BC 二 b2 -2abcosB a2，即:法三(解析幾何)：把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC 的 AC=b，CB=a，AB=c，貝V A, B, C 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(b，0)，B(acosC， asinC) , C(0 , 0).2 2 2|AB| =(acosC b) +(asi nC 0)2 2 2=a cos2C 2abcosC+b +a sin2C

8、即 c2=a2+b2 2abcosC .=a2+b2 2abcosC ,法五(用相交弦定理證明余弦定理)：如圖，在三角形 ABC 中，/ A=a , AB=a , BC=b , AC=c?，F(xiàn) 在以B為圓心，以長邊 AB為半徑做圓，這里要用長邊的道理 在于，這樣能保證 C點(diǎn)在圓內(nèi)。BC的延長線交圓B于點(diǎn)D和E這樣以來，DC=a-b, CE=a+b AC=co 因?yàn)?AG=2acosa，所以 CG=2acosa -c。根據(jù)相交弦定理有：DCX CE=A( CG 帶入以后就是(a-b)(a+b)=c(2acos a -c)化簡以后就得b2=a2+c2+2accos a。也就是我們的余弦定理。如圖，在

9、 ABC中，AB= 4 cm, AC= 3 cm,角平分線 AD = 2 cm,求此三角形面積分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式Sa abc = 丁 AB AC si nA,需求出1A1sin A, 而 ABC 面積可以轉(zhuǎn)化為Sa adc + Sa adb，而 Sa adc = 2 AC ADsin , Sa adb =三AAB AD sin，A因此通過Saabc= Saadc + Saadb建立關(guān)于含有sinA, sin的方程，而sinA =A A2sing cosqsin2A +2Acos 2 = 1,故sinA可求，從而三角形面積可求解：在 ABC中，Sa abc= Sa

10、adb + Sa adc ,1 AB ACsi nA= 1 AC AD2 2sinA + 1 AB ADsi nA1 12 4 3sinA =A3 2s inqA/ 6si nA = 7sin212sin cosAA=7s ingsinAnV 2 sinA21 cos2A1 2-.j1'957T， si nA = 2sinA cosA7 .9572 ， G1Sa abc = 2 4 3sinA =哺（cm2）在厶ABC中，AB= 5, AC = 3, D為BC中點(diǎn)，且AD = 4,求BC邊長.解：設(shè)BC邊為x,則由D為BC中點(diǎn)，可得BD =AD2+ BD2 AB242+( x ) 2

11、522AD BD=x2 X4 X22 2 2AD + DC AC42+( - ) 2 32 2丿2AD DCx2總£在厶 ADB 中，cosADB =在厶 ADC 中，cosADC =ODC=x又/ ADB + Z ADC = 180 cosADB = cos (180° Z ADC)=cosADC.+( x ) 2 5242 +( 2)2 32解得，x= 2 所以，BC邊長為2.2在 ABC中，已知角 B= 45 ° D是BC邊上一點(diǎn)，AD = 5, 解：在 ADC中，AC2+ DC2AD2cosC =求AB.2AC DC72+ 32 522 X7 X311 14，AC = 7, DC = 3,D在厶ABC 中，-AC =-AB-si nB sinC:AB = SBAC= 54 護(hù) 7=導(dǎo)33.在 ABC 中，已知 cosA=¥5sinB=尋cosC的值.解：T cosA= 3 v 2= cos45°520v Av n 45° v Av 90° sinA=-5/ sinB = v113 v 2 0°v Bv 30°或 若B> 150°則=sin30 ,° 0 v B v