第五章 相關(guān)分析

1、第五章第五章 變量的相關(guān)變量的相關(guān) 【教學(xué)目標(biāo)】識記相關(guān)、散點圖、相關(guān)系數(shù)的類別和含義；理解各類相關(guān)系數(shù)的意義和適用條件；熟練掌握常用相關(guān)系數(shù)的計算方法；恰當(dāng)應(yīng)用各類相關(guān)系數(shù)進行相關(guān)分析。 【學(xué)習(xí)重點】相關(guān)的基本類型；各種相關(guān)系數(shù)的適用條件和計算方法；積差相關(guān)、等級相關(guān)、質(zhì)量相關(guān)、品質(zhì)相關(guān) 。 【難點】肯德爾U系數(shù)、品質(zhì)相關(guān) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 一、相關(guān)的概念一、相關(guān)的概念 二、積差相關(guān)二、積差相關(guān) 三、等級相關(guān)三、等級相關(guān) 四、質(zhì)量相關(guān)四、質(zhì)量相關(guān) 五、品質(zhì)相關(guān)品質(zhì)相關(guān) 六、相關(guān)系數(shù)的選用與解釋六、相關(guān)系數(shù)的選用與解釋一、相關(guān)的概念一、相關(guān)的概念 1.1.事物之間的三種關(guān)系事物之間的三種關(guān)系

2、因果關(guān)系因果關(guān)系：一種現(xiàn)象是另一現(xiàn)象的因，而另一現(xiàn)象是果。 共變關(guān)系共變關(guān)系：表面看來有聯(lián)系的兩種事物與第三種現(xiàn)象現(xiàn)象有關(guān)，這是兩種事物的關(guān)系就是共變關(guān)系。 相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系：兩種現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向方向和大小大小方面存在一定的關(guān)系，但不能確定不能確定這兩種現(xiàn)象哪是因哪是果；也有理由認(rèn)為這兩者并不同時受第三因素的影響 。下列現(xiàn)象屬于什么關(guān)系？下列現(xiàn)象屬于什么關(guān)系？ 數(shù)學(xué)成績影響物理成績 種瓜得瓜，種豆得豆 智力和創(chuàng)造性 小孩和小樹的生長 河里的漂浮的兩塊木頭 學(xué)習(xí)壓力和學(xué)習(xí)焦慮 挫折和攻擊行為 環(huán)境對人的成長的影響 教師的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)成績 2.2.相關(guān)的實質(zhì)相關(guān)的實質(zhì) 變量之間沒有嚴(yán)格

3、確定的依存關(guān)系變量之間沒有嚴(yán)格確定的依存關(guān)系，當(dāng)一個變量（自變量）發(fā)生變化時，另一個變量（因變量）也許也許會發(fā)生相應(yīng)的變化，但它們之間沒有嚴(yán)格的確定關(guān)系，因為事物的變化發(fā)展是受很多因素很多因素影響的。 3.3.三種相關(guān)關(guān)系：三種相關(guān)關(guān)系： 正相關(guān)正相關(guān)：變量之間變動的方向相同，同增同減。 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)：變量之間變動方向相反，一個增加而另一個減小。 零相關(guān)零相關(guān)：變量之間的變動無規(guī)律可循。 4.4.相關(guān)的程度相關(guān)的程度 完全正相關(guān)完全正相關(guān)：兩個變量變化的速度完全一致，相關(guān)系數(shù)為1 完全負(fù)相關(guān)完全負(fù)相關(guān)：一個變量增加的同時，另一個變量以相同的速度減小，相關(guān)系數(shù)為1 不完全正相關(guān)不完全正相關(guān)：相關(guān)

4、系數(shù)在01之間 不完全負(fù)相關(guān)不完全負(fù)相關(guān)：相關(guān)系數(shù)在10間 5.5.相關(guān)次數(shù)相關(guān)次數(shù) 單相關(guān)單相關(guān)：兩個變量之間的相關(guān)； 復(fù)相關(guān)復(fù)相關(guān)：多個變量之間的相關(guān) 表現(xiàn)形態(tài)表現(xiàn)形態(tài)：線性相關(guān)包括直線直線和曲線曲線相關(guān) 二、積差相關(guān)二、積差相關(guān) 1.1.積差相關(guān)的概念積差相關(guān)的概念 積差相關(guān)（product-moment coefficient of product-moment coefficient of corralationcorralation）是英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜是英國統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜于于2020世世紀(jì)初提出的計算方法，簡稱：紀(jì)初提出的計算方法，簡稱：PearsonPearson 相關(guān)相關(guān)系數(shù)

5、（軟件中常用此名稱）。積差相關(guān)又稱系數(shù)（軟件中常用此名稱）。積差相關(guān)又稱為為積矩相關(guān)積矩相關(guān)。 離均差乘方之和除以離均差乘方之和除以N N稱做稱做“矩矩”(moment)(moment)，把把X X的離均差和的離均差和Y Y的離均差兩者的積總和除以的離均差兩者的積總和除以N N，用用“積矩積矩”表示。表示。 2.2.積差相關(guān)的適用條件積差相關(guān)的適用條件 （1）兩個變量都是由測量獲得的等距等距或或等等比比數(shù)據(jù)； （2）兩個變量都呈正態(tài)正態(tài)或或接近接近正態(tài)分布； （3）兩個變量必須是直線直線關(guān)系； （4）數(shù)據(jù)必須是成對成對數(shù)據(jù)，數(shù)目數(shù)目至少至少30對對（簡述使用積差相關(guān)系數(shù)的條件，首都師大簡述使用

6、積差相關(guān)系數(shù)的條件，首都師大2003試題試題）YYyXXxSNSxyryX,式中Nxy也可寫成： 22yxxyr協(xié)方差（協(xié)方差（covariance)covariance)：共變方差，反應(yīng)兩列變量變化的一致性程度3.計算公式（1 1）基本公式）基本公式（2 2）運用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)計算相關(guān)系數(shù)的公式）運用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)計算相關(guān)系數(shù)的公式NZZSNSYYXXrYXYX)(3)(3)用原始數(shù)據(jù)直接計算的簡化公式用原始數(shù)據(jù)直接計算的簡化公式： 2222YYNXXNYXXYNr例題P116118 （4 4）計算積差相關(guān)系數(shù)的差法公式）計算積差相關(guān)系數(shù)的差法公式Y(jié)XYXYXYXYXYXSSSSSSSSSSr22222

7、222加差法減差法例題P120 4.4.積差相關(guān)系數(shù)的合并積差相關(guān)系數(shù)的合并 即為求幾個樣本的相關(guān)系數(shù)的平均相關(guān)系數(shù)。由于相關(guān)系數(shù)不是等距數(shù)據(jù)須將其變成等距數(shù)據(jù)方可合成。其方法是采用費舍Zr轉(zhuǎn)化法（見P469附表。8）（例題P123） （1）將r轉(zhuǎn)換成Z （2）求各樣本的Z分?jǐn)?shù)之和 （3）利用公式求平均Z分?jǐn)?shù) （4）將平均Z分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成r) 3(3iiinZnZ）（三、等級相關(guān)三、等級相關(guān) 1.1.等級相關(guān)的概念等級相關(guān)的概念 兩列變量所對應(yīng)的數(shù)據(jù)是等級順序的測量數(shù)據(jù)時，或者兩列變量所對應(yīng)的等距或等比數(shù)據(jù)的分布非正態(tài)時，求兩列變量的相關(guān)，即為等級相關(guān)。 等級相關(guān)也屬于線性相關(guān)，亦為非參數(shù)相等級相

8、關(guān)也屬于線性相關(guān)，亦為非參數(shù)相關(guān)。關(guān)。 2.2.斯皮爾曼等級相關(guān)（斯皮爾曼等級相關(guān)（Spearmans Spearmans correlation coeficientcorrelation coeficient for ranked data for ranked data） 適用條件適用條件: （1）數(shù)據(jù)是等級順序等級順序的測量數(shù)據(jù)，不是等距或等比數(shù)據(jù)； （2）非正態(tài)分布非正態(tài)分布的等比或等距數(shù)據(jù)。 優(yōu)點：比積差相關(guān)的適用范圍廣，對數(shù)據(jù)總體不作要求； 缺點：如果將能作積差相關(guān)的數(shù)據(jù)改作等級相關(guān)，其精確度稍差。（1）定義公式（等級差數(shù)法）定義公式（等級差數(shù)法）16122nnDrRD DRxR

9、xRyRy是是對偶等級之差對偶等級之差（2）原始等級計算公式（等級序數(shù)法）原始等級計算公式（等級序數(shù)法）11413nnnRRnryxR例題見書P125計算公式計算公式（3）遇到相同等級時的計算公式）遇到相同等級時的計算公式 222222yxDyxrRC上式中：上式中：121121121121222222nnNNynnNNxN N成對數(shù)據(jù)數(shù)目成對數(shù)據(jù)數(shù)目n n為某一變量的為某一變量的相同等級數(shù)相同等級數(shù)例題見書P127128為矯正數(shù)，即減少的差數(shù)3.3.肯德爾等級相關(guān)肯德爾等級相關(guān)（多列等級變量的相關(guān)）（多列等級變量的相關(guān)） （1 1）肯德爾和諧系數(shù)）肯德爾和諧系數(shù) 肯德爾和諧系數(shù)肯德爾和諧系數(shù)

10、( (KendallKendall coefficient of coefficient of concordance), concordance), 是表示多列等級變量相關(guān)是表示多列等級變量相關(guān)程度的一種方法程度的一種方法 , , 適用于兩列以上的等級適用于兩列以上的等級變量?？系聽柡椭C系數(shù)常用符號變量?？系聽柡椭C系數(shù)常用符號 W W 表示。表示。 適用條件適用條件 K K個評價者對個評價者對 N N 件事物或件事物或 N N 種作品進行等級種作品進行等級評定評定, ,每個評價者都能對每個評價者都能對N N件事物件事物( (或作品或作品) )的好壞、的好壞、優(yōu)劣、喜好、大小、高低等優(yōu)劣、喜好

11、、大小、高低等 排出一個等級順序。排出一個等級順序。最小的等級序數(shù)為最小的等級序數(shù)為 1, 1, 最大的為最大的為N, KN, K個評價者便個評價者便可得到可得到K K從從1 1至至N N的等級變量資料。的等級變量資料。 一個評價者先后一個評價者先后K K次評價次評價 N N 件事物或件事物或 N N 件作件作品品, ,也是采用等級評定法也是采用等級評定法, ,這樣也可得到這樣也可得到 K K 列從列從 1 1 至至 N N 的等級變量資料。這類的等級變量資料。這類 K K 列等級變量資料列等級變量資料綜合起來求相關(guān)綜合起來求相關(guān), ,就用肯德爾就用肯德爾 W W 系數(shù)。系數(shù)。NRRSSNNK

12、SSWiiRiRi2232121Ri被評價者的K個等級和，SSRi為Ri的離差平方和，K為評價者數(shù)目，N為被評價的事物的數(shù)目?？系聽柨系聽朩 W系數(shù)的變系數(shù)的變化范圍為化范圍為0W10W1基本公式例題P131 肯德爾肯德爾W W系數(shù)的設(shè)計思想系數(shù)的設(shè)計思想：。故，則不完全一致存在一定的關(guān)系，但又個評價者若個評價者完全不一致，若；此時分別為個則致，個評價者的意見完全一如果件事物進行等級評定，個評價者對當(dāng)100,; 0, 01),(12)4) 1(6)2)(1()(,2) 1(,3 ,2 ,3222WSSKWSSKWnnKnnnnnKRRSSnKRnKKKKRnKnKRiRiiRii出現(xiàn)相同等級時

13、的公式出現(xiàn)相同等級時的公式為相同等級數(shù)），（式中：nnnTTKNNKSSWRic12121332例題P132 （2 2）肯德爾）肯德爾U U系數(shù)系數(shù) 適用條件適用條件 K個評價者對N件事物采用兩兩配對的方法進行評價，可配成N(N1)/2對，然后進行兩兩比較，較好的記1分，較差者記0分，最后整理所有評價者的評價結(jié)果是否一致。 計算公式（計算公式（例題例題P133134） 如果評價者的態(tài)度完全一致，則U1；若對角線上下格子中出現(xiàn)的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)相同，則一致性為0；若K為奇數(shù)時每格的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)為（K1）/2與（K1）/2均勻分布在對角線上下，U1/K；若K為偶數(shù)時，U1/K1，U的取值正負(fù)并不表示方向的一致

14、性。1) 1() 1()( 82KKNNrKrUijijrij對偶記錄表中某一格的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)四、質(zhì)量相關(guān)四、質(zhì)量相關(guān) 在研究中，當(dāng)一列變量按事物的屬性屬性劃分種類，而另一列變量為等比等比或等距等距的測量數(shù)據(jù)時，求得的相關(guān)叫質(zhì)量相關(guān)。 包括點二列相關(guān)、二列相關(guān)和多系列相關(guān)。1.1.點二列相關(guān)點二列相關(guān)(point-biserial(point-biserial correlation) correlation) 適用條件適用條件一列數(shù)據(jù)來自于正態(tài)分布的總體的等比或等距數(shù)據(jù)等比或等距數(shù)據(jù)，另一列變量為二分變量二分變量(dichotomous variable) ，即按事物的某一性質(zhì)只能分為兩類相互獨

15、立的變量。pqSXXrxqPpbP P為二分稱名變量取某一值的變量比例為二分稱名變量取某一值的變量比例 q q為二分稱名變量中取另一值的變量比例為二分稱名變量中取另一值的變量比例XpXp等距（比）變量中與等距（比）變量中與P P對應(yīng)那部分變量的平均值對應(yīng)那部分變量的平均值XqXq等距（比）變量中與等距（比）變量中與q q對應(yīng)那部分變量的平均值對應(yīng)那部分變量的平均值SxSx為全部等距或等比變量的標(biāo)準(zhǔn)差為全部等距或等比變量的標(biāo)準(zhǔn)差例題P136 2.二列相關(guān) (biserail correlation，中科院中科院2004試題試題) 適用條件適用條件 兩列變量都來自于正態(tài)分布的等比或等距等比或等距數(shù)

16、據(jù)，而其中一列被人為地劃分為兩個類別的數(shù)據(jù) ypqSXXrtqPby y標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下p p和和q q交界交界點的點的y y軸的高度軸的高度 （例題P138139） 二列相關(guān)一般不常用 一般用于對項目（題目）的區(qū)分度的確定 當(dāng)相關(guān)系數(shù)越接近1時，項目的區(qū)分度越高；當(dāng)相關(guān)系數(shù)越接近0時，其區(qū)分度越低。 3.多列相關(guān)（multiserialsmultiserials correlation correlation） 適用資料適用資料 多列相關(guān)適合處理兩列正態(tài)變量資料多列相關(guān)適合處理兩列正態(tài)變量資料, ,其中其中一列為等距或等比的測量數(shù)據(jù)一列為等距或等比的測量數(shù)據(jù), ,另一列被人另一列

17、被人為劃分為為劃分為多個類別多個類別的名義變量。的名義變量。 多列相關(guān)用于一列正態(tài)連續(xù)變量與另一列多列相關(guān)用于一列正態(tài)連續(xù)變量與另一列正態(tài)的正態(tài)的稱名變量稱名變量之間的一致性分析之間的一致性分析, ,在測驗在測驗中時常用于中時常用于效度檢驗效度檢驗。差為整列連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)變量的平均數(shù)為每一名義變量所對應(yīng)態(tài)表得出正態(tài)曲線的高度，查正為每一名義變量上限的態(tài)表得出正態(tài)曲線的高度，查正為每一名義變量下限的的比率為每系列次數(shù)與總次數(shù)tiHLiiHLtiHLssXyyPPyysXyyr2計算公式例題P141五、品質(zhì)相關(guān)品質(zhì)相關(guān) 品質(zhì)相關(guān)品質(zhì)相關(guān)是指是指R R（行）（行）C(C(列列) )表的兩個表的

18、兩個分類變量分類變量之之間的關(guān)聯(lián)程度。間的關(guān)聯(lián)程度。 品質(zhì)相關(guān)處理的數(shù)據(jù)類型一般都是計數(shù)數(shù)據(jù)而非測品質(zhì)相關(guān)處理的數(shù)據(jù)類型一般都是計數(shù)數(shù)據(jù)而非測量數(shù)據(jù)。量數(shù)據(jù)。 品質(zhì)相關(guān)是編制心理測驗、項目分析時的常用方法。品質(zhì)相關(guān)是編制心理測驗、項目分析時的常用方法。 主要有四分相關(guān)、主要有四分相關(guān)、相關(guān)、列聯(lián)表相關(guān)相關(guān)、列聯(lián)表相關(guān)等。等。 1.1.四分相關(guān)（四格表）四分相關(guān)（四格表） 當(dāng)兩個變量都是連續(xù)變量當(dāng)兩個變量都是連續(xù)變量,且每一個變量的變化都且每一個變量的變化都被被人為地分為兩種類型人為地分為兩種類型時時, 求兩個變量之間的相求兩個變量之間的相關(guān)為四分相關(guān)。關(guān)為四分相關(guān)。 計算時將資料整理成計算時將

19、資料整理成22的四格表。四格表是由的四格表。四格表是由兩個因素兩個因素,各有兩項分類計數(shù)。各有兩項分類計數(shù)。計算公式計算公式：例題P143144 2.2.相關(guān)相關(guān) 適用資料適用資料 當(dāng)兩變量是真正（自然）的二分變量時，當(dāng)兩變量是真正（自然）的二分變量時，求兩變量之間的相關(guān)為求兩變量之間的相關(guān)為相關(guān)。相關(guān)。 例題例題P144P144 當(dāng)當(dāng)值小于值小于0.30.3時，相關(guān)較弱；當(dāng)時，相關(guān)較弱；當(dāng)值大于值大于0.60.6時，時，相關(guān)較強。完全正相關(guān)，數(shù)據(jù)落入相關(guān)較強。完全正相關(guān)，數(shù)據(jù)落入adad兩格中，完兩格中，完全負(fù)相關(guān)，數(shù)據(jù)落入全負(fù)相關(guān)，數(shù)據(jù)落入bcbc兩格中。應(yīng)用時一般不指兩格中。應(yīng)用時一般不指出其相關(guān)方向。出其相關(guān)方向。)()()(dcdbcababcadr 還可以用還可以用關(guān)聯(lián)系數(shù)關(guān)聯(lián)系數(shù)Q Q和和歸結(jié)系數(shù)歸結(jié)系數(shù)表示其相表示其相關(guān)程度關(guān)程度。bcadbcadbcadbcadQ（5-18a）（5-18b）例題P145 3.列聯(lián)表相關(guān)（涉及后面的內(nèi)容故從略）六、相關(guān)系數(shù)的選用與解釋六、相關(guān)系數(shù)的選用與解釋 1.1.如何選擇合適的相關(guān)系數(shù)如