例談數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應(yīng)用

1、點(diǎn)，若 AM = 2,則OA(OB +OC)的最小值是 例談數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應(yīng)用河北省遵化市東舊寨中學(xué)王廣平郵編064203向量的幾何表示，三角形，平行四邊行法則使向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示，和坐標(biāo)運(yùn)算又讓向量具備數(shù)的特征.所以，向量融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”。我們?cè)谘芯肯蛄繂栴}或用向量解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果恰到好處地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以將許多復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題直觀化。本文結(jié)合實(shí)例，將數(shù)形結(jié)合思想在解決向量問題的妙處做一總結(jié)，以供參考。一、利用平行四邊形、三角形法則。例1、(2005年江蘇試題)在ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)T分析

2、：本題關(guān)鍵是用平行四邊形法則OB+OC轉(zhuǎn)化為2OM。如圖，設(shè)|OA|=x,則|OM|=2x(0<x<2).由M為BC的中點(diǎn)，知OB+OC=2OM,而OA(OB+OC)=OA2OM=2x(2-x)cos180°=2x24x=2(x-1)2-2(0<x<2).所以當(dāng)x=1時(shí)，取最小值2注：計(jì)算OA2OM的最值亦可用均值不等式。二、利用模的幾何意義。.4彳4例2、：已知向量a=|b=1,且a與由勺夾角為120°,問x為何值時(shí)，a-xb的值最??？并求此時(shí)b與a-x附勺夾角.,由分析：畫出圖形(如下圖)，易知a-xb就是點(diǎn)A到直線OB上的點(diǎn)的的距離。所以，AH

3、在|_AOH中易得AH=o此，一*5田沂二點(diǎn)人到直線OB的距離，即圖中所示的時(shí)2注：本題亦可有代數(shù)方法解決，但運(yùn)算量較大。用數(shù)形結(jié)合的方法，就顯得簡(jiǎn)潔。例3(2005年浙江試題)已知a0e,q=1,對(duì)任意任r,恒有a_t：之6_e,則()彳*44444葉A.aleB.a_L(a-e)C.e_L(a-e)D.(a+e)_L(a-e)分析：如下圖，a-te至口-e恒成立即3-e是點(diǎn)A到向量e所在直線的距離。很顯然e_(a-e)注：本題是向量與不等式綜合題。一般資料上都是用代數(shù)方法求解。比較繁瑣，若能聯(lián)想到向量的幾何意義，則可收到更好的解答效果三、利用向量的方向(夾角)。例4、已知，a=(2cos8

4、,2sin&),8乏(一產(chǎn)),b=(0,-1),求aW的夾角。3二分析：在平面直角坐標(biāo)系中做出向量a,b,可直觀地觀察出結(jié)果日。2注：本題亦可用夾角公式，但還需借助三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，方可求解。四、利用幾何圖形。例5、已知點(diǎn)G是ABO的重心若PQ過ABO的重心G-11OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求證：一+=3.mn分析：本題做出相應(yīng)圖形，再運(yùn)用向量的幾何形式運(yùn)算.及向量平行的定理及推論即可解決。'1.ff、顯然OM=(ab).2因?yàn)镚是AABC的重心,所以O(shè)G21、二OM=(ab)33由P、G、Q三點(diǎn)共線，有PG,GQ共線，所以，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)九，PG=>“GQ.而PG二1一一-11OG-OP=-(ab)-ma=(-m)a-b,GQ=OQ-OG=33311-1nb-(ab)二-a(n-)b,333,111所以(m